Интегральный элемент

В коммутативной алгебре элемент b коммутативного кольца B называется над подкольцом кольца A B , если b является корнем некоторого монического многочлена над A. целым

Если A , B — поля , то понятия «интеграл по» и «целое расширение» — это в точности « алгебраические над» и « алгебраические расширения » в теории поля (поскольку корень любого многочлена является корнем монического многочлена). ).

Наибольший интерес в теории чисел представляет случай комплексных чисел, интегрированных по Z (например, ${\sqrt {2}}$ или $1+i$); в этом контексте целые элементы обычно называются алгебраическими целыми числами . Алгебраические целые числа в конечном поле расширения k рациональных чисел Q образуют подкольцо k , называемое кольцом целых чисел k , центральный объект исследования в теории алгебраических чисел .

В этой статье под термином « кольцо» будем понимать коммутативное кольцо с мультипликативным тождеством.

Определение

Позволять $B$ будь кольцом и пусть $A\subset B$ быть подкольцом $B.$ Элемент $b$ из $B$ называется целым по $A$ если для некоторых $n\geq 1,$ Существует $a_{0},\ a_{1},\ \dots ,\ a_{n-1}$ в $A$ такой, что

$$b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0.$$

Набор элементов $B$ которые являются целыми по $A$ называется замыканием интегральным $A$ в $B.$ Целочисленное замыкание любого подкольца $A$ в $B$ само по себе является подкольцом $B$ и содержит $A.$ Если каждый элемент $B$ является целым по $A,$ тогда мы говорим это $B$ является целым по $A$или эквивалентно $B$ является неотъемлемым продолжением $A.$

Примеры

Интегральное замыкание в

Существует множество примеров интегрального замыкания, которые можно найти в теории алгебраических чисел, поскольку они имеют фундаментальное значение для определения кольца целых чисел для расширения алгебраического поля. $K/\mathbb {Q}$ (или $L/\mathbb {Q} _{p}$).

Интегральное замыкание целых чисел в рациональных числах

Целые числа — единственные элементы Q которые являются целыми по Z. , Другими словами, — целое замыкание Z в Q. Z

Квадратичные расширения

— Целые числа Гаусса это комплексные числа вида $a+b{\sqrt {-1}},\,a,b\in \mathbf {Z}$, и являются целыми по Z . $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]$ тогда является интегральным замыканием Z в $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})$. Обычно это кольцо обозначается ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [i]}$.

Интегральное замыкание Z в $\mathbf {Q} ({\sqrt {5}})$ это кольцо

${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right]$

Этот и предыдущий примеры являются примерами квадратичных целых чисел . Интегральное замыкание квадратичного расширения $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ можно найти, построив минимальный полином произвольного элемента $a+b{\sqrt {d}}$и найти теоретико-числовой критерий того, что полином имеет целые коэффициенты. Этот анализ можно найти в статье о квадратичных расширениях .

Корни единства

Пусть ζ — корень из единицы . Тогда интегральное замыкание Z в круговом поле Q (ζ) есть Z [ζ]. Это можно найти, используя минимальный полином и критерий Эйзенштейна .

Кольцо целых алгебраических чисел

Целое замыкание Z в поле комплексных чисел C или алгебраическое замыкание ${\overline {\mathbb {Q} }}$ называется кольцом целых алгебраических чисел .

Другое

Корни из единицы , нильпотентные элементы и идемпотентные элементы кольце целы над Z. в любом

Интегральное замыкание в алгебраической геометрии

В геометрии интегральное замыкание тесно связано с нормализацией и нормальными схемами . Это первый шаг в разрешении особенностей , поскольку он дает процесс разрешения особенностей коразмерности 1.

• Например, интегральное замыкание $\mathbb {C} [x,y,z]/(xy)$ это кольцо $\mathbb {C} [x,z]\times \mathbb {C} [y,z]$ поскольку геометрически первое кольцо соответствует $xz$-плоскость, соединенная с $yz$-самолет. Они имеют особенность коразмерности 1 вдоль $z$-ось, где они пересекаются.
• Пусть конечная группа G. действует кольце A на Тогда A цело над A ^г , набор элементов, фиксированных G ; см. Кольцо инвариантов .
• Пусть R — кольцо, а u — в единица кольце, R. содержащем Затем

1. в ⁻¹ является целым по R тогда и только тогда, когда u ⁻¹ ∈ р [ ты ].
2. $R[u]\cap R[u^{-1}]$ является целым R. над
3. Целое замыкание однородного координатного кольца нормального проективного многообразия X есть кольцо сечений

$\bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {H} ^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).$

Целостность в алгебре

• Если ${\overline {k}}$ является алгебраическим замыканием поля k , то ${\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]$ является целым по $k[x_{1},\dots ,x_{n}].$
• Целое замыкание C [[ x ]] в конечном расширении C (( x )) имеет вид $\mathbf {C} [[x^{1/n}]]$ (см. серию Пюизо )

Эквивалентные

Пусть B — кольцо, и пусть A — подкольцо в B . Учитывая элемент b в B , следующие условия эквивалентны:

(i) b целочислен над A ;

(ii) подкольцо A [ b ] кольца B , порожденное A и b , является конечно порожденным A -модулем ;

(iii) существует подкольцо C кольца B , содержащее A [ b ] и являющееся конечно порожденным A -модулем;

(iv) существует точный A [ b ]-модуль M такой, что M конечно порожден как A -модуль.

Обычное доказательство этого использует следующий вариант теоремы Кэли-Гамильтона об определителях :

Теорема. Пусть u — эндоморфизм A — -модуля M порожденный n элементами, а I идеал , такой A , что $u(M)\subset IM$. Тогда существует соотношение:

$u^{n}+a_{1}u^{n-1}+\cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,\,a_{i}\in I^{i}.$

Эта теорема (с I = A и u умножением на b ) дает (iv) ⇒ (i), а остальное легко. По совпадению, лемма Накаямы также является непосредственным следствием этой теоремы.

Элементарные свойства

Цельное закрытие образует кольцо

Из четырех приведенных выше эквивалентных утверждений следует, что множество элементов $B$ которые являются целыми по $A$ образует подкольцо $B$ содержащий $A$. (Доказательство: если x , y являются элементами $B$ которые являются целыми по $A$, затем $x+y,xy,-x$ являются целыми по $A$ поскольку они стабилизируют $A[x]A[y]$, который является конечно порожденным модулем над $A$ и уничтожается только нулем.) Это кольцо называется целым замыканием $A$ в $B$.

Транзитивность целостности

Другим следствием приведенной выше эквивалентности является то, что «целостность» транзитивна в следующем смысле. Позволять $C$ быть кольцом, содержащим $B$ и $c\in C$. Если $c$ является целым по $B$ и $B$ интеграл по $A$, затем $c$ является целым по $A$. В частности, если $C$ сам является целым по $B$ и $B$ является целым по $A$, затем $C$ также является целым по $A$.

Интеграл, замкнутый в дробном поле

Если $A$ происходит интегральное замыкание $A$ в $B$, то A называется целозамкнутым в $B$. Если $B$ кольцо полное дробей $A$, (например, поле дробей при $A$ является целостной областью ), то иногда отбрасывают уточнение «в $B$ и просто говорит: «интегральное закрытие $A$" и " $A$ » полностью закрыта . Например, кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}_{K}$ является целозамкнутым в поле $K$.

Транзитивность интегрального замыкания с

Пусть А — область целостности с полем частных К , а А' — замыкание А в расширении алгебраического поля L поля К. целое Тогда поле дробей A равно L. ' В частности, А' — целозамкнутая область .

теории

Эта ситуация применима в теории алгебраических чисел при связи кольца целых чисел и расширения поля. В частности, учитывая расширение поля $L/K$ интегральное закрытие ${\mathcal {O}}_{K}$ в $L$ кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}_{L}$.

Замечания

Обратите внимание, что из приведенной выше транзитивности целостности следует, что если $B$ является целым по $A$, затем $B$ является объединением (эквивалентно индуктивным пределом ) подколец, которые конечно порождены $A$-модули.

Если $A$ нётерова , то транзитивность целостности можно ослабить до утверждения:

Существует конечно порожденный $A$-субмодуль $B$ который содержит $A[b]$.

с

Наконец, предположение о том, что $A$ быть подкольцом $B$можно немного изменить. Если $f:A\to B$ является кольцевым гомоморфизмом , то говорят $f$ является целым , если $B$ является целым по $f(A)$. Точно так же говорят $f$ конечно ​ ( $B$ конечно сгенерированный $A$-модуль) или конечного типа ( $B$ конечно сгенерированный $A$- алгебра ). С этой точки зрения, есть то, что

$f$ конечно тогда и только тогда, когда $f$ является целым и имеет конечный тип.

Или более явно,

$B$ является конечно порожденным $A$-модуль тогда и только тогда, когда $B$ генерируется как $A$-алгебра конечным числом элементов, целых по $A$.

Интегральные расширения

Коэна

Целочисленное расширение A ⊆ B обладает свойством подъема вверх , свойством лежания над и свойством несравнимости ( теоремы Коэна–Зейденберга ). Явно, если дана цепочка простых идеалов ${\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ в A существует ${\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}$ в B с ${\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}'_{i}\cap A$(подъём и лежание) и два различных простых идеала с отношением включения не могут сузиться до одного и того же простого идеала (несравнимость). В частности, Крулла размеры A и B одинаковы. При этом, если A — целозамкнутая область, то имеет место движение вниз (см. ниже).

В общем, подъем подразумевает лежание. Таким образом, ниже мы просто говорим «восхождение», имея в виду «восхождение» и «лежание».

Когда A , B являются областями, такими что B является целым над A , A является полем тогда и только тогда, когда B является полем. Как следствие : дан простой идеал ${\mathfrak {q}}$ из Б , ${\mathfrak {q}}$ является максимальным идеалом B когда тогда и только тогда, ${\mathfrak {q}}\cap A$является максимальным идеалом A . Еще одно следствие: если L / K — алгебраическое расширение, то любое подкольцо L , содержащее K , является полем.

Приложения

Пусть B — кольцо, целое над подкольцом A , а k — поле алгебраически замкнутое . Если $f:A\to k$ является гомоморфизмом, то f продолжается до гомоморфизма B → k . Это следует из подъема.

Геометрическая интерпретация подъема

Позволять $f:A\to B$быть целым расширением колец. Тогда индуцированное отображение

${\begin{cases}f^{\#}:\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A\\p\mapsto f^{-1}(p)\end{cases}}$

это закрытая карта ; фактически, $f^{\#}(V(I))=V(f^{-1}(I))$ для любого идеала я и $f^{\#}$является сюръективным если f инъективен , . Это геометрическая интерпретация подъема.

целочисленных

Пусть B — кольцо, а A — подкольцо, являющееся нетеровой целозамкнутой областью (т. е. $\operatorname {Spec} A$ — нормальная схема .) Если B целое над A , то $\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A$является погружным ; есть топология то $\operatorname {Spec} A$ является фактортопологией . В доказательстве используется понятие конструктивных множеств . (См. также: Торсор (алгебраическая геометрия) .)

основания, универсально-замкнутость

Если $B$ является целым по $A$, затем $B\otimes _{A}R$ является целой над R для любой A -алгебры R . В частности, $\operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R$закрыто; т. е. интегральное расширение индуцирует « универсально замкнутое » отображение. Это приводит к геометрической характеристике интегрального расширения . А именно, пусть B — кольцо только с конечным числом минимальных простых идеалов (например, область целостности или нётерово кольцо). Тогда B целое над (подкольцом) A тогда и только тогда, когда $\operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R$ замкнута для любой - алгебры R. A В частности, всякое собственное отображение универсально замкнуто.

расширениях целозамкнутых

Предложение. Пусть A — целозамкнутая область с полем частных K , L — нормальное расширение K целое , B — замыкание A в L. конечное Затем группа $G=\operatorname {Gal} (L/K)$ действует транзитивно на каждом слое $\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A$.

Доказательство. Предполагать ${\mathfrak {p}}_{2}\neq \sigma ({\mathfrak {p}}_{1})$ для любого $\sigma$в Г. ​ Тогда, благодаря избеганию в , простому ${\mathfrak {p}}_{2}$ такой, что $\sigma (x)\not \in {\mathfrak {p}}_{1}$ для любого $\sigma$. G фиксирует элемент $y=\prod \nolimits _{\sigma }\sigma (x)$и, таким образом y неразделим совершенно над K. , Тогда немного силы $y^{e}$принадлежит К ; поскольку A целозамкнуто, имеем: $y^{e}\in A.$ Таким образом, мы нашли $y^{e}$ в ${\mathfrak {p}}_{2}\cap A$ но не в ${\mathfrak {p}}_{1}\cap A$; то есть ${\mathfrak {p}}_{1}\cap A\neq {\mathfrak {p}}_{2}\cap A$.

алгебраической теории

Группа Галуа $\operatorname {Gal} (L/K)$ тогда действует на все простые идеалы ${\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})$ лежащий над фиксированным простым идеалом ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$. То есть, если

${\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\subset {\mathcal {O}}_{L}$

то на съемочной площадке происходит действие Галуа $S_{\mathfrak {p}}=\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}$. Это называется расщеплением простых идеалов в расширениях Галуа .

Замечания

Та же идея в доказательстве показывает, что если $L/K$ является чисто неотделимым расширением (не обязательно должно быть нормальным), тогда $\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A$ является биективным .

Пусть A , K и т. д., как и раньше, но предположим, что L является лишь конечным полевым расширением K . Затем

(я) $\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A$ имеет конечные слои.

(ii) движение вниз имеет место между A и B : при условии ${\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'_{n}\cap A$, Существует ${\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}$ это сводится к нему.

Действительно, в обоих утверждениях, увеличивая L , мы можем считать, что L — нормальное расширение. Тогда (i) является непосредственным. Что касается (ii), то, поднимаясь вверх, можно найти цепочку ${\mathfrak {p}}''_{i}$ который заключает контракт на ${\mathfrak {p}}'_{i}$. По транзитивности существует $\sigma \in G$ такой, что $\sigma ({\mathfrak {p}}''_{n})={\mathfrak {p}}'_{n}$ а потом ${\mathfrak {p}}'_{i}=\sigma ({\mathfrak {p}}''_{i})$ являются искомой цепочкой.

Интегральное закрытие

Смотрите также: Интегральное замыкание идеала

Пусть A ⊂ B — кольца и A' — целое замыкание A в B . (Определение см. выше.)

Цельные затворы хорошо себя ведут в различных конструкциях. для мультипликативно замкнутого подмножества S в A локализация S В частности , ⁻¹ A' — интегральное замыкание S ⁻¹ А в С ⁻¹ Группа ​ $A'[t]$ является интегральным замыканием $A[t]$ в $B[t]$. Если $A_{i}$ являются подкольцами колец $B_{i},1\leq i\leq n$, то интегральное замыкание $\prod A_{i}$ в $\prod B_{i}$ является $\prod {A_{i}}'$ где ${A_{i}}'$ являются целыми замыканиями $A_{i}$ в $B_{i}$.

Целое замыкание локального кольца A , скажем, в B не обязательно должно быть локальным. (В этом случае кольцо называется одноветвевым .) Это имеет место, например, когда A является гензелевым , а B является полем расширения поля частных A .

Если A — подкольцо поля K , то целое замыкание A в K есть пересечение всех колец нормирования поля K содержащих A. ,

Пусть А будет $\mathbb {N}$-градуированное подкольцо $\mathbb {N}$- кольцо Б. класса Тогда интегральное замыкание A в B есть $\mathbb {N}$-градуированное подкольцо B .

Существует также понятие интегральной замкнутости идеала . Интегральное замыкание идеала $I\subset R$, обычно обозначается ${\overline {I}}$, представляет собой набор всех элементов $r\in R$ такой, что существует монический полином

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x^{1}+a_{n}$

с $a_{i}\in I^{i}$ с $r$ как корень. Радикал идеала целозамкнут.

Для нётеровых колец также существуют альтернативные определения.

• $r\in {\overline {I}}$ если существует $c\in R$ не содержится ни в одном минимальном простом числе, таком, что $cr^{n}\in I^{n}$ для всех $n\geq 1$.
• $r\in {\overline {I}}$если в нормализованном расширении I обратный образ r содержится в прообразе I . Разрушение идеала — это операция схемы, заменяющая данный идеал главным идеалом. Нормализация схемы — это просто схема, соответствующая целостному замыканию всех ее колец.

Понятие интегрального замыкания идеала используется в некоторых доказательствах теоремы о спуске .

Дирижер

Основная статья: Проводник (теория колец)

Пусть B — кольцо, а A — подкольцо в B такое, что целое над A. B Тогда аннулятор модуля A - B / A называется проводником A ​ в B. ​ Поскольку это понятие имеет происхождение из теории алгебраических чисел , проводник обозначается ${\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}(B/A)$. Явно, ${\mathfrak {f}}$ состоит из элементов a из A таких, что $aB\subset A$. (ср. идеализатор в абстрактной алгебре.) Это наибольший идеал A , который также является идеалом B . Если S — мультипликативно замкнутое подмножество A , то

$S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)={\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A)$.

Если B — подкольцо полного кольца дробей A , то мы можем отождествить

${\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Hom} _{A}(B,A)$.

Пример. Пусть k — поле и пусть $A=k[t^{2},t^{3}]\subset B=k[t]$ (т. е. A — координатное кольцо аффинной кривой $x^{2}=y^{3}$.) B — целое замыкание A в $k(t)$. Проводник A в B является идеальным $(t^{2},t^{3})A$. В более общем смысле, дирижер $A=k[[t^{a},t^{b}]]$, a , b относительно простые, есть $(t^{c},t^{c+1},\dots )A$ с $c=(a-1)(b-1)$.

Предположим, что B — целое замыкание области целостности A в поле частных A такое, что A -модуль $B/A$конечно порождено. Тогда дирижер ${\mathfrak {f}}$ A определяющим является идеалом, опору $B/A$; таким образом, A совпадает с B в дополнении к $V({\mathfrak {f}})$ в $\operatorname {Spec} A$. В частности, набор $\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid A_{\mathfrak {p}}{\text{ is integrally closed}}\}$, дополнение $V({\mathfrak {f}})$, является открытым множеством .

Конечность

Важный, но трудный вопрос — о конечности интегрального замыкания конечно порожденной алгебры. Известны несколько результатов.

Целое замыкание дедекиндовой области в конечном расширении поля частных является дедекиндовой областью; в частности, нётерово кольцо. Это следствие теоремы Крулля–Акизуки . В общем, интегральное замыкание нетеровой области размерности не более 2 является нетеровым; Нагата привел пример нетеровой области размерности 3, интегральное замыкание которой не является нетеровым. Более хорошее утверждение таково: интегральное замыкание нётеровой области является областью Крулля ( теорема Мори–Нагаты ). Нагата также привел пример нётеровой локальной области размерности 1, в которой интегральное замыкание не является конечным в этой области.

Пусть A нётерова целозамкнутая область с полем частных K. — Если L / K — конечное сепарабельное расширение, то интегральное замыкание $A'$ A является в L конечно порожденным A -модулем. Это просто и стандартно (используется тот факт, что трасса определяет невырожденную билинейную форму).

Пусть A — конечно порожденная алгебра над полем k являющимся областью целостности с полем частных K. , Если L — конечное расширение K , то интегральное замыкание $A'$ A -модулем , в L является конечно порожденным A а также конечно порожденной k -алгеброй. Результат принадлежит Нётер и может быть показан с помощью леммы о нормализации Нётер следующим образом. Ясно, что достаточно доказать утверждение, когда L / K либо сепарабельна, либо чисто несепарабельна. Сепарабельный случай отмечен выше, поэтому предположим, что L / K совершенно неразделима. По лемме о нормализации A цело над кольцом многочленов $S=k[x_{1},...,x_{d}]$. Поскольку L / K — конечное чисто неразделимое расширение, существует степень q простого числа что каждый элемент L является корнем q -й степени из элемента из K. такая , Позволять $k'$— конечное расширение k , содержащее все корни q -й степени из коэффициентов конечного числа рациональных функций, порождающих L . Тогда у нас есть: $L\subset k'(x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}).$ Кольцо справа — поле дробей $k'[x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}]$, которое является интегральным замыканием S ; таким образом, содержит $A'$. Следовательно, $A'$конечен над S ; тем более, А. над Результат останется верным, если мы k на Z. заменим

Целое замыкание полной локальной нетеровой области A в конечном расширении поля частных A конечно над A . Точнее, для локального нётерова кольца R имеем следующие цепочки импликаций:

(i Полное ) $\Rightarrow$ А — кольцо Нагата

(ii) A является доменом Нагата. $\Rightarrow$ Аналитически неразветвленный $\Rightarrow$ интегральное закрытие завершения ${\widehat {A}}$ конечно над ${\widehat {A}}$ $\Rightarrow$ интегральное замыкание A конечно над A.

Нётер

Основная статья: Лемма Нётер о нормализации

Лемма Нётер о нормализации — теорема коммутативной алгебры . Для заданного поля K и конечно порожденной K -алгебры A можно найти элементы y1 _такие , y2 _, ..., ym _, теорема гласит, что в A над алгебраически независимые K , , что A конечен (и, следовательно, интеграл) по B = K [ y1 _, ..., ym _] . Таким образом, расширение K ⊂ A можно записать в виде композиции K ⊂ B ⊂ A, где K ⊂ B — чисто трансцендентное расширение, а B ⊂ A конечно.

Интегральные

В алгебраической геометрии морфизм $f:X\to Y$ схем , является целым если оно аффинно и если для некоторого (т. е. любого) аффинного открытого покрытия $U_{i}$ Y , каждая карта $f^{-1}(U_{i})\to U_{i}$ имеет форму $\operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)$где A — целая B -алгебра. Класс целочисленных морфизмов более общий, чем класс конечных морфизмов, поскольку существуют целые расширения, которые не являются конечными, например, во многих случаях, алгебраическое замыкание поля над полем.

Абсолютное интегральное замыкание

Пусть A — область целостности и L (некоторое) алгебраическое замыкание поля частных A . Тогда интегральное замыкание $A^{+}$ A в L целым называется замыканием A . абсолютным Оно единственно с точностью до неканонического изоморфизма . следовательно , Примером является кольцо всех целых алгебраических чисел (и, $A^{+}$ обычно не нётеровский).

См. также

• Нормальная схема
• Лемма Нётер о нормализации
• Алгебраическое целое число
• Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
• Торсор (алгебраическая геометрия)

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, Ян Г. (1994). Введение в коммутативную алгебру Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-40751-5 .
• Бурбаки, Николя (2006). Коммутативная алгебра . Берлин: Шпрингер. ISBN  978-3-540-33937-3 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике, том. 150, Шпрингер-Верлаг , ISBN  0-387-94268-8
• Каплански, Ирвинг (сентябрь 1974 г.). Коммутативные кольца . Лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN  0-226-42454-5 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Мацумура, Х (1970), Коммутативная алгебра
• Х. Мацумура Коммутативная теория колец. Перевод с японского М. Рида. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.
• Милн, Дж. С. (19 июля 2020 г.). «Алгебраическая теория чисел» .
• Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 336, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-68860-4 , MR   2266432 , заархивировано из оригинала 15 ноября 2019 г. , получено 01 марта 2011 г.
• М. Рид , Коммутативная алгебра для студентов , Лондонское математическое общество, 29 , издательство Кембриджского университета, 1995.

Дальнейшее чтение

• Ирена Суонсон, Интегральные замыкания идеалов и колец
• Есть ли в DG-алгебрах какое-либо разумное понятие интегрального замыкания?
• Является $k[x_{1},\ldots ,x_{n}$ всегда является неотъемлемым продолжением $k[f_{1},\ldots ,f_{n}]$ для регулярной последовательности $(f_{1},\ldots ,f_{n})$?]