Проводник (теория колец)

В теории колец , разделе математики , проводник — это мера расстояния между коммутативным кольцом и кольцом расширения . Чаще всего большее кольцо представляет собой область, целостно замкнутую в своем поле дробей , и тогда проводник измеряет неспособность меньшего кольца быть целостно замкнутым.

Проводник имеет большое значение при изучении немаксимальных порядков в кольце целых чисел поля алгебраических чисел . Одна из интерпретаций проводника состоит в том, что он измеряет неудачу уникальной факторизации в простые идеалы .

Определение

Пусть A и B — коммутативные кольца, и пусть A ⊆ B . Дирижер ​ А ​ в Б является идеалом

${\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Ann} _{A}(B/A).$

Здесь B / A рассматривается как фактор A модулей - а , Ann обозначает аннулятор . Более конкретно, проводником является множество

${\mathfrak {f}}(B/A)=\{a\in A\colon aB\subseteq A\}.$

Поскольку проводник определен как аннигилятор, он является идеалом A .

Если B — целая область , то проводник можно переписать как

$\{0\}\cup \left\{a\in A\setminus \{0\}:B\subseteq \textstyle {\frac {1}{a}}A\right\},$

где $\textstyle {\frac {1}{a}}A$ рассматривается как подмножество поля дробей B . То есть, если a не равно нулю и находится в проводнике, то каждый элемент B можно записать в виде дроби, числитель которой находится в A , а знаменатель равен a . Следовательно, ненулевые элементы проводника — это те, которых достаточно в качестве общих знаменателей при записи элементов B как частных элементов A .

Предположим, — кольцо, содержащее B. R Например, R может равняться B или B может быть доменом, а R — полем дробей. Тогда, поскольку 1 ∈ B , проводник также равен

$\{r\in R:rB\subseteq A\}.$

Элементарные свойства

Проводником является все кольцо A тогда и только тогда, когда оно содержит 1 ∈ A и, следовательно, тогда и только тогда, когда A = B . В противном случае проводник является идеалом A собственным .

Если индекс m = [ B : A ] конечен, то mB ⊆ A , поэтому $m\in {\mathfrak {f}}(B/A)$. В этом случае проводник ненулевой. Это применимо, в частности, когда B — кольцо целых чисел в поле алгебраических чисел, а A — порядок (подкольцо, для которого B / A конечно).

Проводник также является идеалом B , поскольку для любого b в B и любого a в ${\mathfrak {f}}(B/A)$, baB ⊆ aB ⊆ А . Фактически, идеал J из B содержится в A тогда и только тогда, когда J содержится в проводнике. Действительно, для такого JB J ⊆ J ⊆ A , поэтому по определению J содержится в ${\mathfrak {f}}(B/A)$. И наоборот , проводник является идеалом А содержащийся в нем, содержится в А. , поэтому любой идеал , Этот факт подразумевает, что ${\mathfrak {f}}(B/A)$ — наибольший идеал A который также является идеалом B. , (Может случиться так, что идеалы А в проводнике содержатся , которые не являются идеалами Б. )

Предположим, что — мультипликативное подмножество A S . Затем

$S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)\subseteq {\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A),$

с равенством в случае, когда B — конечно порожденный A -модуль.

Проводники дедекиндовых доменов

Некоторые из наиболее важных применений проводника возникают, когда B является дедекиндовой областью и B / A конечна. Например, B может быть кольцом целых чисел числового поля , а A - немаксимальным порядком. Или B может быть аффинным координатным кольцом гладкой проективной кривой над конечным полем , а A - аффинным координатным кольцом сингулярной модели. Кольцо A не имеет уникальной факторизации на простые идеалы, а неспособность однозначной факторизации измеряется проводником ${\mathfrak {f}}(B/A)$.

Идеалы , взаимно простые с проводником, разделяют многие приятные свойства идеалов в дедекиндовских областях. Более того, для этих идеалов существует тесное соответствие между идеалами B и идеалами A :

• Идеалы A , которые относительно просты по отношению к ${\mathfrak {f}}(B/A)$ имеют уникальную факторизацию в произведения обратимых простых идеалов, взаимно простых с проводником. В частности, все такие идеалы обратимы.
• Если I — идеал B , который относительно прост ${\mathfrak {f}}(B/A)$, то I ∩ A — идеал кольца A , взаимно простой с ${\mathfrak {f}}(B/A)$ и естественный гомоморфизм колец $A/(I\cap A)\to B/I$ является изоморфизмом . В частности, I простое тогда и только тогда, когда I ∩ A простое.
• Если J — идеал A , взаимно простой с ${\mathfrak {f}}(B/A)$, то JB — идеал B , взаимно простой с ${\mathfrak {f}}(B/A)$ и естественный гомоморфизм колец $A/J\to B/JB$ является изоморфизмом. В частности, J является простым тогда и только тогда, когда JB является простым.
• Функции $I\mapsto I\cap A$ и $J\mapsto JB$ определить биекцию между идеалами A относительно простыми ${\mathfrak {f}}(B/A)$ и идеалы B относительно просты ${\mathfrak {f}}(B/A)$. Эта биекция сохраняет свойство простоты. Оно также мультипликативно, т.е. $(I\cap A)(I'\cap A)=II'\cap A$ и $(JB)(J'B)=JJ'B$.

Все эти свойства вообще не работают для идеалов, не взаимно простых с проводником. Чтобы увидеть некоторые трудности, которые могут возникнуть, предположим, что J — ненулевой идеал как A , так и B (в частности, он содержится в проводнике и, следовательно, не взаимно прост с ним). Тогда J быть обратимым дробным идеалом A , если только A = B. не может Поскольку B — дедекиндова область, J обратима в B и, следовательно,

$\{x\in K\colon xJ\subseteq J\}=B,$

поскольку мы можем умножить обе части уравнения xJ ⊆ J на ​​J ⁻¹ . Если J также обратим в A , то применимы те же рассуждения. Но левая часть приведенного выше уравнения не ссылается на A или B , а только на их общее поле дроби, и, следовательно A = B. , Поэтому быть идеалом как A, так и B означает необратимость в A .

Проводники полей квадратичных чисел

Пусть K — квадратичное расширение и Q OK — _его кольцо целых чисел. Расширяя 1 ∈ OK _{-базиса, мы видим ,} до Z что каждый порядок O в K имеет вид Z + cO _K для некоторого натурального числа c . Проводник этого порядка равен идеалу cO _K . Действительно, ясно, что cO _K — идеал OK _, содержащийся в O , а значит, он содержится в проводнике. С другой стороны, идеалы O , содержащие cO _K совпадают с идеалами факторкольца ( Z + cO K ₎ / cO _K. , Последнее кольцо изоморфно Z / c Z по второй теореме об изоморфизме , поэтому все такие идеалы кольца являются суммой cO _K с идеалом из Z. O При этом изоморфизме проводник аннулирует Z / c Z он должен быть c Z. , поэтому

В этом случае индекс [ OK _{, поэтому} : O ] также равен c для порядков полей квадратичных чисел индекс можно отождествлять с проводником. Эта идентификация невозможна для полей чисел более высокой степени.

См. также

• Интегральный элемент