Jump to content

Модуль коэффициентов

В алгебре по модулю и подмодулю можно построить их фактормодуль . [1] [2] Эта конструкция, описанная ниже, очень похожа на конструкцию фактор-векторного пространства . [3] От аналогичных факторконструкций колец и групп оно отличается тем, что в этих случаях подпространство , используемое для определения фактора, не имеет той же природы, что и объемлющее пространство (т. е. факторкольцо это факторкольцо кольца по идеалу , а не по подкольцу , а факторгруппа — это факторгруппа по нормальной подгруппе , а не по общей подгруппе ).

Учитывая модуль A над кольцом R и подмодуль B кольца A , фактор-пространство A / B определяется отношением эквивалентности

тогда и только тогда, когда

для любых a, b в A . [4] Элементы A / B являются классами эквивалентности. Функция перевод a из A в его класс эквивалентности a + B называется фактор-отображением или проекционным отображением и является гомоморфизмом модулей .

Операция сложения В на А / определяется для двух классов эквивалентности как класс эквивалентности суммы двух представителей этих классов; и скалярное умножение элементов A / B на элементы R определяется аналогично. Обратите внимание: необходимо показать, что эти операции четко определены . Тогда A / B сам становится R -модулем, называемым фактормодулем . В символах для всех a, b в A и r в R :

Примеры [ править ]

Рассмотрим кольцо полиномов , с действительными коэффициентами и -модуль . Рассмотрим подмодуль

A X , то есть подмодуль всех многочленов, делящихся на 2 + 1 . Отсюда следует, что отношение эквивалентности, определяемое этим модулем, будет иметь вид

P ( X ) ~ Q ( X ) тогда и только тогда, когда P ( X ) и Q ( X ) дают одинаковый остаток при делении на X 2 + 1 .

в фактор-модуле A / B Следовательно , X 2 + 1 то же самое, что 0; поэтому можно рассматривать A / B как полученное из установив X 2 + 1 = 0 . Этот фактор-модуль изоморфен комплексным числам , рассматриваемым как модуль над действительными числами.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-471-43334-9 .
  2. ^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN  0-387-95385-Х .
  3. ^ Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. п. 117. ИСБН  978-0-387-72828-5 .
  4. ^ Роман 2008 , с. 118 Теорема 4.7.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a27ebb021d78a5bc7e3356ddc1863b4a__1685112840
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a2/4a/a27ebb021d78a5bc7e3356ddc1863b4a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Quotient module - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)