Модуль коэффициентов
В алгебре по модулю и подмодулю можно построить их фактормодуль . [1] [2] Эта конструкция, описанная ниже, очень похожа на конструкцию фактор-векторного пространства . [3] От аналогичных факторконструкций колец и групп оно отличается тем, что в этих случаях подпространство , используемое для определения фактора, не имеет той же природы, что и объемлющее пространство (т. е. факторкольцо — это факторкольцо кольца по идеалу , а не по подкольцу , а факторгруппа — это факторгруппа по нормальной подгруппе , а не по общей подгруппе ).
Учитывая модуль A над кольцом R и подмодуль B кольца A , фактор-пространство A / B определяется отношением эквивалентности
для любых a, b в A . [4] Элементы A / B являются классами эквивалентности. Функция перевод a из A в его класс эквивалентности a + B называется фактор-отображением или проекционным отображением и является гомоморфизмом модулей .
Операция сложения В на А / определяется для двух классов эквивалентности как класс эквивалентности суммы двух представителей этих классов; и скалярное умножение элементов A / B на элементы R определяется аналогично. Обратите внимание: необходимо показать, что эти операции четко определены . Тогда A / B сам становится R -модулем, называемым фактормодулем . В символах для всех a, b в A и r в R :
Примеры [ править ]
Рассмотрим кольцо полиномов , с действительными коэффициентами и -модуль . Рассмотрим подмодуль
A X , то есть подмодуль всех многочленов, делящихся на 2 + 1 . Отсюда следует, что отношение эквивалентности, определяемое этим модулем, будет иметь вид
- P ( X ) ~ Q ( X ) тогда и только тогда, когда P ( X ) и Q ( X ) дают одинаковый остаток при делении на X 2 + 1 .
в фактор-модуле A / B Следовательно , X 2 + 1 то же самое, что 0; поэтому можно рассматривать A / B как полученное из установив X 2 + 1 = 0 . Этот фактор-модуль изоморфен комплексным числам , рассматриваемым как модуль над действительными числами.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .
- ^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .
- ^ Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. п. 117. ИСБН 978-0-387-72828-5 .
- ^ Роман 2008 , с. 118 Теорема 4.7.