Коэффициентное кольцо

В теории колец — раздел абстрактной алгебры , факторкольцо , также известное как факторкольцо , разностное кольцо. ^[1] или кольцо классов вычетов , представляет собой конструкцию, очень похожую на факторгруппу в теории групп и на факторпространство в линейной алгебре . ^[2]^[3] Это конкретный пример фактора , если смотреть с общей точки зрения универсальной алгебры . Начиная с кольца R и двустороннего идеала I в R новое кольцо, факторкольцо R / I , строится классами , элементы которого являются смежными I в R, подвергающимися специальным + и ⋅ операциям . (В обозначении факторного кольца всегда используется дробная косая черта «/».)

Факторные кольца отличаются от так называемого «поля частных» или поля частных , области целостности а также от более общих «колец частных», полученных путем локализации .

факторкольца Формальное построение

Учитывая кольцо R и двусторонний идеал I в R , мы можем определить отношение эквивалентности ~ на R следующим образом:

a ~ b тогда и только тогда, когда − b находится в I. a

Используя идеальные свойства, нетрудно проверить, что ~ является отношением конгруэнтности .В случае a ~ b мы говорим, a и b конгруэнтны по модулю I. что Класс эквивалентности элемента a в R определяется выражением

[ а ] знак равно а + я := { а + р : р € I }.

класс эквивалентности также иногда записывается как mod I Этот и называется «классом остатка по I модулю » .

Множество всех таких классов эквивалентности обозначается R / I ; оно становится кольцом, факторкольцом или факторкольцом по R модулю I , если определить

( а + я ) + ( б + я ) знак равно ( а + б ) + я ;
( а + я )( б + я ) знак равно ( аб ) + я .

(Здесь необходимо проверить, что эти определения четко определены . Сравните смежный класс и факторгруппу .) Нулевой элемент R / I равен 0 = (0 + I ) = I , а мультипликативное тождество равно 1 = (1 + Я ) .

Отображение p из R в R / I , определяемое формулой p ( a ) = a + I, является сюръективным гомоморфизмом колец , иногда называемым естественным фактор-отображением или каноническим гомоморфизмом .

Примеры [ править ]

Фактор-кольцо R /{0} естественно изоморфно R R , а / R — это нулевое кольцо {0}, поскольку по нашему определению для любого r ∈ R имеем [ r ] = r + R = { r + b : b ∈ R } , что равно R. самому Это согласуется с эмпирическим правилом: чем больше идеал I , тем меньше кольцо частных R / I . Если I — собственный идеал кольца R , т. е. I ≠ R , то R / I не является нулевым кольцом.
Рассмотрим кольцо целых чисел Z и идеал четных чисел обозначаемый 2 Z. , Тогда факторкольцо Z /2 Z имеет только два элемента: класс 0 + 2 Z , состоящий из четных чисел, и класс 1 + 2 Z, состоящий из нечетных чисел; применяя определение, [ z ] = z + 2 Z = { z + 2 y : 2 y ∈ 2 Z } , где 2 Z — идеал четных чисел. Оно естественно изоморфно конечному полю с двумя элементами F ₂ . Интуитивно: если вы думаете обо всех четных числах как о 0, то каждое целое число равно либо 0 (если оно четное), либо 1 (если оно нечетное и, следовательно, отличается от четного числа на 1). Модульная арифметика — это, по сути, арифметика в факторкольце Z / n Z (которое имеет n элементов).
Теперь рассмотрим кольцо многочленов от переменной X с действительными коэффициентами R ( [ X ] и идеалом I = X ² + 1), состоящий из всех кратных многочлена X ² + 1 . Факторкольцо R [ X ] / ( X ² + 1) естественно изоморфно полю комплексных чисел C играет класс [ X , причем роль мнимой единицы i ] . Причина в том, что мы «заставили» X ² + 1 = 0 , т.е. X ² = −1 , что является определяющим свойством i . Поскольку любой целочисленный показатель i должен быть либо ± i, либо ±1, это означает, что все возможные многочлены существенно упрощаются до формы a + bi . (Для пояснения: факторкольцо R [ X ] / ( X ² + 1) на самом деле естественным образом изоморфно полю всех линейных многочленов aX + b , a , b ∈ R , где операции выполняются по модулю ( X ² + 1) . Взамен мы имеем X ² = −1 , и это соответствует X мнимой единице в изоморфном поле комплексных чисел.)
Обобщая предыдущий пример, факторкольца часто используются для построения расширений полей . Предположим, что K — некоторое поле и f — неприводимый многочлен из K [ X ]. Тогда L = K [ X ]/( f ) — поле, минимальный полином которого над K равен f , которое содержит K , а также элемент x = X +( f ) .
Важным примером предыдущего примера является построение конечных полей. Рассмотрим, например, поле F ₃ = Z /3 Z с тремя элементами. Полином f ( X ) = X ² + 1 неприводим над F ₃ (так как не имеет корня), и мы можем построить фактор-кольцо F ₃ [ X ] / ( f ) . Это поле с 3 ² = 9 элементов, обозначаемых F ₉ . Остальные конечные поля могут быть построены аналогичным образом.
Координатные кольца алгебраических многообразий — важные примеры факторколец в алгебраической геометрии . В качестве простого случая рассмотрим вещественное многообразие V = { ( x , y ) | х ² = и ³ } как подмножество реальной плоскости R ². Кольцо вещественных полиномиальных функций, определенных на V, можно отождествить с факторкольцом R [ X , Y ] / ( X ² − И ³) , и это координатное кольцо V . Многообразие V теперь исследуется путем изучения его координатного кольца.
Предположим, что M — это C ^∞-многообразие , а p точка M. — Рассмотрим кольцо R = C ^∞( M ) всех C ^∞-функции, определенные на M , и пусть I — идеал в R, состоящий из тех функций f , которые тождественно равны нулю в некоторой окрестности U точки p (где U может зависеть от f ). Тогда факторкольцо R / I является кольцом ростков C ^∞-функции на M в точке p .
Рассмотрим кольцо F конечных элементов гипердействительного поля * R . Он состоит из всех гипердействительных чисел, отличающихся от стандартного действительного на бесконечно малую величину, или, что то же самое: из всех гипердействительных чисел x, для которых существует стандартное целое число n с − n < x < n . Множество I всех бесконечно малых чисел в * R вместе с 0 является идеалом в F кольцо F / I изоморфно действительным числам R. , а фактор - Изоморфизм индуцируется путем сопоставления каждому элементу , т.е. уникального действительного числа , x из F стандартной части x которое отличается от x на бесконечно малую величину. Фактически, можно получить тот же результат, а именно R , если начать с кольца F конечных гиперрациональных чисел (т.е. отношения пары гиперцелых чисел ), см. построение действительных чисел .

Вариации сложных плоскостей [ править ]

Факторы R [ X ] / ( X ) , R [ X ] / ( X + 1) и R [ X ] / ( X − 1) изоморфны R и поначалу не представляют особого интереса. Но обратите внимание, что R [ X ] / ( X ²) называется двойственной числовой плоскостью в геометрической алгебре. Он состоит только из линейных биномов как «остатков» после сокращения элемента R [ X ] на X. ². Эта вариация комплексной плоскости возникает как подалгебра всякий раз, когда алгебра содержит вещественную прямую и нильпотент .

Более того, кольцевой фактор R [ X ] / ( X ² − 1) распадается на R [ X ] / ( X + 1) и R [ X ] / ( X − 1) , поэтому это кольцо часто рассматривается как прямая сумма R ⊕ R .Тем не менее, вариация комплексных чисел z = x + y j предлагается j как корень X ² − 1 по сравнению с i как корнем X ² + 1 = 0 . Эта плоскость расщепленных комплексных чисел нормализует прямую сумму R ⊕ R , обеспечивая базис {1, j} для 2-пространства, где единица алгебры находится на единичном расстоянии от нуля. На этом основании единичную гиперболу можно сравнить с единичным кругом обычной комплексной плоскости .

Кватернионы и вариации [ править ]

Предположим, что X и Y — два некоммутирующих неопределенных числа , образующие свободную алгебру R ⟨ X , Y ⟩ . Гамильтона Тогда кватернионы 1843 года можно записать как

р ⟨ Икс , Y ⟩ / ( Икс ² + 1, И ² + 1, XY + YX ).

Если Y ² − 1 заменяется на Y ² + 1 , то получается кольцо расщепленных кватернионов . Антикоммутативное свойство YX = − XY означает, что XY имеет в качестве квадрата

( XY )( XY ) = X ( YX ) Y = - X ( XY ) Y = - ( XX )( YY ) = -(-1)(+1) = +1.

Замена минуса на плюс в обоих квадратных биномах также приводит к расщеплению кватернионов.

Три типа бикватернионов также можно записать как факторы с помощью свободной алгебры с тремя неопределенными R ⟨ X , Y , Z ⟩ и построения соответствующих идеалов.

Свойства [ править ]

Ясно, что если R — коммутативное кольцо , то и R / I — коммутативное ; обратное, однако, в целом неверно.

Естественное фактор-отображение p имеет I в качестве своего ядра ; поскольку ядро всякого гомоморфизма колец является двусторонним идеалом, мы можем утверждать, что двусторонние идеалы являются в точности ядрами гомоморфизмов колец.

Тесную связь между кольцевыми гомоморфизмами, ядрами и факторкольцами можно резюмировать следующим образом: кольцевые гомоморфизмы, определенные на R / I , по существу такие же, как и кольцевые гомоморфизмы, определенные на R , которые обращаются в нуль (т. е. равны нулю) на I . Точнее, для двустороннего идеала I в R и кольцевого гомоморфизма f : R → S , ядро которого содержит I , существует ровно один кольцевой гомоморфизм g : R / I → S с gp = f (где p — натуральный фактор карта). Отображение g здесь задается четко определенным правилом g ([ a ]) = f ( a ) для всех a в R . Действительно, это универсальное свойство можно использовать для определения фактор-колец и их естественных фактор-отображений.

Как следствие вышесказанного, получаем фундаментальное утверждение: каждый гомоморфизм колец f : R → S индуцирует кольцевой изоморфизм между фактор-кольцом R /ker( f ) и образом im( f ). (См. также: Основная теорема о гомоморфизмах .)

Идеалы R и R / I тесно связаны: естественное фактор-отображение обеспечивает биекцию между двусторонними идеалами R, содержащими I , и двусторонними идеалами R / I (то же самое верно для левого и правого идеалы). Эта связь между двусторонним идеалом распространяется на связь между соответствующими факторкольцами: если M — двусторонний идеал в R , который содержит I , и мы пишем M / I для соответствующего идеала в R / I (т. е. M / I = p ( M ) ), факторкольца R / M и ( R / I ) / ( M / I ) естественно изоморфны посредством (корректно определенного) отображения a + M ↦ ( a + I ) + M / I .

Следующие факты оказываются полезными в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии : для R ≠ {0} коммутативного R / I является полем тогда и только тогда, когда I является максимальным идеалом , а R / I является областью целостности тогда и только тогда, I когда первичный идеал . Ряд подобных утверждений связывают свойства идеала I со свойствами факторкольца R / I .

Китайская теорема об остатках утверждает, что если идеал I является пересечением (или, что то же самое, произведением) попарно взаимно простых идеалов I ₁ , ..., I _k , то фактор-кольцо R / I изоморфно произведению фактор -кольца кольца R / I _n , n = 1, ..., k .

Для алгебр над кольцом [ править ]

Ассоциативная алгебра A над коммутативным кольцом R сама является кольцом. Если I — идеал в A (замкнутый относительно R -умножения), то A / I наследует структуру алгебры над R и является фактор-алгеброй .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Джейкобсон, Натан (1984). Структура колец (переработанная ред.). Американское математическое соц. ISBN 0-821-87470-5 .
^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .

Дальнейшие ссылки [ править ]

Ф. Каш (1978) Moduln und Ringe , перевод Д.А.Р. Уоллеса (1982) Модули и кольца , Academic Press , стр. 33.
Нил Х. Маккой (1948) Кольца и идеалы , §13 Кольца классов вычетов, стр. 61, Математические монографии Каруса № 8, Математическая ассоциация Америки .
Джозеф Ротман (1998). Теория Галуа (2-е изд.). Спрингер. стр. 21–23. ISBN 0-387-98541-7 .
Б.Л. ван дер Варден (1970) Алгебра , перевод Фреда Блюма и Джона Р. Шуленбергера, издательство Frederick Ungar Publishing, Нью-Йорк. См. главу 3.5 «Идеалы. Кольца классов вычетов», стр. 47–51.

Внешние ссылки [ править ]

«Частокольцо» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Идеалы и факторные кольца Джона Бичи из «Абстрактной алгебры онлайн»

[1] Джейкобсон, Натан (1984). Структура колец (переработанная ред.). Американское математическое соц. ISBN 0-821-87470-5 .

[2] Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .

[3] Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .

[1]

[2]

[3]

факторкольца Формальное построение ​