домен GCD

В математике домен НОД — это область целостности R, обладающая тем свойством, что любые два элемента имеют наибольший общий делитель (НОД); т. е. существует единственный минимальный главный идеал , содержащий идеал, порожденный двумя заданными элементами. Эквивалентно, любые два элемента R имеют наименьшее общее кратное (НОК). ^[1]

Домен НОД обобщает область уникальной факторизации (UFD) до нетеровой ситуации в следующем смысле: область целостности является UFD тогда и только тогда, когда она является областью НОД, удовлетворяющей условию возрастающей цепи для главных идеалов (и, в частности, если это нетерово ).

Домены GCD появляются в следующей цепочке включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Свойства [ править ]

Каждый неприводимый элемент области НОД является простым . Область НОД целозамкнута , и каждый ненулевой элемент является простым . Другими словами, каждый домен GCD является доменом Шрайера .

Для каждой пары элементов x , y области НОД R НОД d из x и y и НОК m из x и y можно выбрать так, что dm = xy , или, другими словами, если x и y — ненулевые элементы и d — любой НОД d из x и y , тогда xy / d — НОК x и y , и наоборот. Отсюда следует , что операции НОД и НОК превращают фактор R /~ в дистрибутивную решетку , где «~» обозначает отношение эквивалентности ассоциированных элементов . Эквивалентность между существованием НОД и существованием НОК не является следствием аналогичного результата о полных решетках , поскольку фактор R должен быть полной решеткой для области НОД R. /~ не обязательно ^{[ нужна цитата ]}

Если R — область НОД, то кольцо многочленов R [ X ₁ ,..., X _n ] также является областью НОД. ^[2]

R является областью НОД тогда и только тогда, когда конечные пересечения ее главных идеалов являются главными. В частности, $(a)\cap (b)=(c)$ , где $c$ является LCM $a$ и $b$ .

Для многочлена от X над областью НОД можно определить его содержимое как НОД всех его коэффициентов. Тогда содержимое произведения полиномов является произведением их содержимого, как это выражено леммой Гаусса , справедливой для областей НОД.

Примеры [ править ]

Уникальный домен факторизации — это домен НОД. Среди областей НОД уникальными областями факторизации являются именно те, которые также являются атомарными областями (что означает, что по крайней мере одна факторизация на неприводимые элементы существует для любой ненулевой неединицы).
Область Безу (т. е. область целостности, в которой каждый конечно порожденный идеал является главным) является областью НОД. В отличие от областей главных идеалов (где каждый идеал является главным), область Безу не обязательно должна быть уникальной областью факторизации; например, кольцо целых функций представляет собой неатомарную область Безу, и есть много других примеров. Область целостности является областью Прюфера НОД тогда и только тогда, когда она является областью Безу. ^[3]
Если R является неатомарной областью НОД, то R [ X ] является примером области НОД, которая не является ни уникальной областью факторизации (поскольку она неатомарна), ни областью Безу (поскольку X и необратимая и ненулевой элемент a из R порождает идеал, не содержащий 1, но 1, тем не менее, является НОД X и a ); в более общем смысле любое кольцо R [ X ₁ ,..., X _n ] обладает этими свойствами.
кольцо Коммутативное моноидное $R[X;S]$ это домен GCD iff $R$ является доменом GCD и $S$ является без кручения . сокращающейся полугруппой НОД-полугруппа — это полугруппа с дополнительным свойством, что для любого $a$ и $b$ в полугруппе $S$ , существует $c$ такой, что $(a+S)\cap (b+S)=c+S$ . В частности, если $G$ является абелевой группой , то $R[X;G]$ это домен GCD iff $R$ является доменом GCD и $G$ не имеет скручивания. ^[4]
Кольцо $\mathbb {Z} [{\sqrt {-d}}]$ не является областью НОД для всех целых чисел без квадратов $d\geq 3$ . ^[5]

Домены G-GCD [ править ]

Многие свойства домена GCD переносятся на обобщенные домены GCD. ^[6]где главные идеалы обобщены до обратимых идеалов и где пересечение двух обратимых идеалов обратимо, так что группа обратимых идеалов образует решетку. В кольцах НОД идеалы обратимы тогда и только тогда, когда они являются главными, а это означает, что операции НОД и НОК также можно рассматривать как операции над обратимыми идеалами.

Примеры областей G-НОД включают области НОД, кольца полиномов над областями НОД, области Прюфера и π-домены (области, где каждый главный идеал является произведением простых идеалов), что обобщает свойство НОД областей Безу и уникальных областей факторизации .

Ссылки [ править ]

^ Андерсон, Д.Д. (2000). «Области НОД, лемма Гаусса и содержание многочленов». В Чепмене, Скотт Т.; Глаз, Сара (ред.). Ненётерова коммутативная теория колец . Математика и ее применение. Том. 520. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. стр. 1–31. дои : 10.1007/978-1-4757-3180-4_1 . МР 1858155 .
^ Роберт В. Гилмер, Коммутативные полугрупповые кольца , University of Chicago Press, 1984, стр. 172.
^ Али, Маджид М.; Смит, Дэвид Дж. (2003), «Обобщенные кольца НОД. II» , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 75–98, MR 1990985 . Стр. 84: «Легко видеть, что целая область является НОД-доменом Прюфера тогда и только тогда, когда она является областью Безу, и что домен Прюфера не обязательно должен быть НОД-доменом».
^ Гилмер, Роберт; Паркер, Том (1973), «Свойства делимости в полугрупповых кольцах» , Michigan Mathematical Journal , 22 (1): 65–86, MR 0342635 .
^ Михет, Дорел (2010), «Заметка о неуникальных областях факторизации (UFD)» , Resonance , 15 (8): 737–739 .
^ Андерсон, Д. (1980), «Обобщенные домены НОД». , Математические комментарии Университета Святого Павла. , 28 (2): 219–233

[1] Андерсон, Д.Д. (2000). «Области НОД, лемма Гаусса и содержание многочленов». В Чепмене, Скотт Т.; Глаз, Сара (ред.). Ненётерова коммутативная теория колец . Математика и ее применение. Том. 520. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. стр. 1–31. дои : 10.1007/978-1-4757-3180-4_1 . МР 1858155 .

[2] Роберт В. Гилмер, Коммутативные полугрупповые кольца , University of Chicago Press, 1984, стр. 172.

[3] Али, Маджид М.; Смит, Дэвид Дж. (2003), «Обобщенные кольца НОД. II» , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 75–98, MR 1990985 . Стр. 84: «Легко видеть, что целая область является НОД-доменом Прюфера тогда и только тогда, когда она является областью Безу, и что домен Прюфера не обязательно должен быть НОД-доменом».

[4] Гилмер, Роберт; Паркер, Том (1973), «Свойства делимости в полугрупповых кольцах» , Michigan Mathematical Journal , 22 (1): 65–86, MR 0342635 .

[5] Михет, Дорел (2010), «Заметка о неуникальных областях факторизации (UFD)» , Resonance , 15 (8): 737–739 .

[6] Андерсон, Д. (1980), «Обобщенные домены НОД». , Математические комментарии Университета Святого Павла. , 28 (2): 219–233

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]