Отрицательная полугруппа

В математике полугруппа сокращения (также называемая полугруппой сокращения ) — это полугруппа, обладающая свойством сокращения . Говоря интуитивно, свойство отмены утверждает, что из равенства вида a · b = a · c , где · — бинарная операция , можно отменить элемент a и вывести равенство b = c . В этом случае исключаемый элемент появляется как левые множители a · b и a · c и, следовательно, это случай свойства левого сокращения . Свойство отмены права можно определить аналогично. Прототипическими примерами сокращающихся полугрупп являются положительные целые числа при сложении или умножении . Сократимые полугруппы считаются очень близкими к группам полугруппы , поскольку сократимость является одним из необходимых условий вложимости в группу. Более того, каждая конечная сокращающаяся полугруппа является группой. Одной из основных задач, связанных с изучением сокращающихся полугрупп, является определение необходимых и достаточных условий вложения сокращающейся полугруппы в группу.

Истоки изучения сокращающихся полугрупп можно отнести к первой существенной статье о полугруппах ( Сушкевич, 1928 ).

Формальные определения

Пусть S — полугруппа. Элемент a в S является сокращаемым слева (или упраздняемым слева , или имеет свойство отмены слева ), если = ac подразумевает b = c для всех b и c в S. ab Если каждый элемент в S является левосократимой полугруппой, то S называется левосократяющейся полугруппой .

Пусть S — полугруппа. Элемент a в S является сокращаемым справа (или упраздняемым справа , или обладает свойством правого сокращения ), если ba = ca подразумевает b = c для всех b и c в S . Если каждый элемент в S правосократима, то S называется правосократимой полугруппой .

Пусть S — полугруппа. Если каждый элемент в S является сокращающимся как слева, так и справа, то S называется сокращающейся полугруппой .

Альтернативные определения

Можно переформулировать характеристическое свойство сокращающегося элемента в терминах свойства, которым обладают соответствующие карты левого умножения L _a : S → S и правого умножения R _a : S → S , определяемые L _a ( b ) = ab и R. _a ( b ) = ba : элемент a в S является сокращающимся слева тогда и только тогда, когда , _{элемент} a L a инъективен является сокращающимся справа тогда и только тогда, когда R _a инъективен.

Примеры

1. Любая группа является сокращающейся полугруппой.
2. множество натуральных чисел представляет собой сокращающуюся полугруппу. Складываемое
3. Множество неотрицательных целых чисел при сложении представляет собой сокращающийся моноид .
4. Множество натуральных чисел при умножении представляет собой сокращающийся моноид.
5. Полугруппа левых нулей является сокращающейся справа, но не сокращающейся слева, если только она не тривиальна.
6. Полугруппа правых нулей является сокращающейся слева, но не сокращающейся справа, если только она не тривиальна.
7. Нулевая полугруппа с более чем одним элементом не является ни левосократяющейся, ни правосократительной. В такой полугруппе нет элемента, который сокращался бы слева или справа.
8. Пусть S — полугруппа вещественных квадратных матриц порядка n при умножении матриц . Пусть a — любой элемент S. из Если a несингулярна , то a является одновременно сокращающимся слева и справа. Если a единственное число, то a не является ни сокращающимся слева, ни правосократительным.

Конечные сокращающиеся полугруппы

Элементарный результат теории групп состоит в том, что конечная сокращающаяся полугруппа является группой. Пусть S — конечная сокращающаяся полугруппа. Сокращение и конечность, взятые вместе, означают, что Sa = aS = S для всех a в S . Итак, для данного элемента a в S существует элемент , _ea зависящий от a , в S такой, что ae _a = a . Далее из аннулируемости следует, что это e _a не зависит от a и что xe _a = e _a x = x для всех x в S . Таким образом, e _a является единичным элементом S , который с этого момента может обозначаться e . Используя свойство Sa = S, существует такой b теперь можно увидеть, что в S , что ba = e . Отмена также может быть использована, чтобы показать, что ab = e , тем самым устанавливая, что каждый элемент a в S имеет обратный в S . Таким образом, S обязательно должна быть группой.

Более того, каждая отменяющаяся эпигруппа также является группой.

Встраиваемость в группы

полугруппа Коммутативная может быть вложена в группу (т. е. изоморфна подполугруппе . группы) тогда и только тогда, когда она сократима Процедура для этого аналогична процедуре вложения области целостности в поле ( Клиффорд и Престон, 1961 , стр. 34) – она называется конструкцией группы Гротендика и представляет собой универсальное отображение коммутативной полугруппы в абелевы группы , которое вложение, если полугруппа сократима.

Для вложимости некоммутативных полугрупп в группы, очевидно, необходимым условием является сократимость. Однако этого недостаточно: существуют (некоммутативные и бесконечные) сокращающиеся полугруппы, которые не могут быть вложены в группу. Чтобы получить достаточное (но не необходимое) условие, можно заметить, что доказательство того, что конечная сокращающаяся полугруппа S является группой, критически зависит от того факта, что Sa = S для всех a из S . В статье ( Дюбрей, 1941 ) была обобщена эта идея и введено понятие обратимой справа полугруппы. Полугруппа S называется обратимой справа, если любые два главных идеала S пересекаются, то есть Sa ∩ Sb ≠ Ø для всех a и b в S . Достаточное условие вложимости полугрупп в группы теперь можно сформулировать следующим образом: ( Теорема Ора ) Любая обратимая справа сокращающаяся полугруппа может быть вложена в группу ( Клиффорд и Престон, 1961 , стр. 35).

Первый набор необходимых и достаточных условий вложимости полугруппы в группу был дан в ( Мальцев, 1939 ). Несмотря на свою теоретическую важность, число условий счетно бесконечно, и никакого конечного подмножества не будет достаточно, как показано в ( Malcev 1940 ). Другой (но также счетный) набор необходимых и достаточных условий был дан в ( Ламбек 1951 ), где было показано, что полугруппа может быть вложена в группу тогда и только тогда, когда она сократима и удовлетворяет так называемому «многограннику». состояние". Две теоремы вложения Мальцева и Ламбека были сопоставлены в ( Bush 1963 ), а затем пересмотрены и обобщены в ( Johnstone 2008 ), который также объяснил тесную связь между проблемой вложимости полугрупп и более общей проблемой вложения категории в группоид .

См. также

• Отмена собственности
• Специальные классы полугрупп

Ссылки

• Буш, Джордж К. (1963), «Теоремы вложения Мальцева и Ламбека», Canadian Journal of Mathematics , 15 : 49–58, doi : 10.4153/CJM-1963-006-x
• Клиффорд, Альфред Хоблицелле ; Престон, Гордон Бэмфорд (1961), Алгебраическая теория полугрупп. Том. I , Математические обзоры, № 7, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-0272-4 , МР   0132791
• Клиффорд, Альфред Хоблицелле ; Престон, Гордон Бэмфорд (1967), Алгебраическая теория полугрупп. Том. II , Математические обзоры, № 7, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR   0218472
• Дюбрей, Поль (1941), «Вклад в теорию полугрупп», Mém. акад. наук. Инст. Франция (2) , 63 (3): 52, MR   0016424
• Джонстон, Питер (2008), «О встраивании категорий в группоиды», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 145 (2): 273–294, doi : 10.1017/S0305004108001345
• Ламбек, Дж. (1951), «Погружаемость полугруппы в группу», Canadian Journal of Mathematics , 3 : 34–43, doi : 10.4153/CJM-1951-005-8
• Мальцев А.И. «О вложении ассоциативных систем в группы . » , , (1939 )   Rec
• Мальцев А.И. (1940), "О вложении ассоциативных систем в группы. II", Rec. Math (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 8 : 251–264, MR   0002895.
• Престон, Гордон Бэмфорд (1991), «Личные воспоминания о ранней истории полугрупп» , Конференция Монаша по теории полугрупп (Мельбурн, 1990) , World Sci. Publ., River Edge, NJ, стр. 16–30, MR   1232669 , заархивировано из оригинала 9 января 2009 г. , получено 12 мая 2009 г.
• Сушкевич, Антон (1928), «О конечных группах без закона однозначной обратимости», Mathematical Annals , 99 (1): 30–50, doi : 10.1007/BF01459084 , hdl : 10338.dmlcz/100078 , ISSN   0025-5831 , МР   1512437