Нулевая полугруппа
В математике нулевая полугруппа (также называемая нулевой полугруппой ) — это полугруппа с поглощающим элементом , называемым нулем , в которой произведение любых двух элементов равно нулю. [1] Если каждый элемент полугруппы является левым нулем , то полугруппа называется полугруппой левых нулей ; полугруппа правых нулей определяется аналогично. [2]
По мнению А. Х. Клиффорда и Дж. Престона , «несмотря на свою тривиальность, эти полугруппы естественным образом возникают в ряде исследований». [1]
Нулевая полугруппа [ править ]
Пусть S — полугруппа с нулевым элементом 0. Тогда S называется нулевой полугруппой , если xy = 0 для всех x и y в S .
Таблица Кэли для нулевой полугруппы [ править ]
Пусть S = {0, a , b , c } — (основное множество) нулевой полугруппы. Тогда таблица Кэли для S будет выглядеть следующим образом:
0 | а | б | с | |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
а | 0 | 0 | 0 | 0 |
б | 0 | 0 | 0 | 0 |
с | 0 | 0 | 0 | 0 |
Левая нулевая полугруппа
Полугруппа, в которой каждый элемент является левым нулевым элементом, называется полугруппой левых нулей . Таким образом, полугруппа S является полугруппой левых нулей, если xy = x для всех x и y в S .
полугруппы левых Таблица Кэли для нулей
Пусть S = { a , b , c } — полугруппа левых нулей. Тогда таблица Кэли для S будет выглядеть следующим образом:
а | б | с | |
---|---|---|---|
а | а | а | а |
б | б | б | б |
с | с | с | с |
Правая нулевая полугруппа [ править ]
Полугруппа, в которой каждый элемент является элементом правого нуля , называется полугруппой правых нулей . Таким образом, полугруппа S является полугруппой правых нулей, если xy = y для всех x и y в S .
полугруппы правых Таблица Кэли для нулей
Пусть S = { a , b , c } — полугруппа правых нулей. Тогда таблица Кэли для S будет выглядеть следующим образом:
а | б | с | |
---|---|---|---|
а | а | б | с |
б | а | б | с |
с | а | б | с |
Свойства [ править ]
Нетривиальная нулевая (левый/правый ноль) полугруппа не содержит единичного элемента . Отсюда следует, что единственный нулевой (левый/правый ноль) моноид — это тривиальный моноид.
Класс нулевых полугрупп:
- замкнутый при взятии подполугрупп
- замкнутый при факторизации подполугруппы
- замкнутый при произвольном прямом произведении .
Отсюда следует, что класс нулевых (левый/правый нуль) полугрупп является разновидностью универсальной алгебры и, следовательно, разновидностью конечных полугрупп . Многообразие конечных нуль-полугрупп определяется тождеством ab = cd .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: а б А. Х. Клиффорд; ГБ Престон (1964). Алгебраическая теория полугрупп, том I. математические обзоры. Том. 1 (2-е изд.). Американское математическое общество . стр. 3–4. ISBN 978-0-8218-0272-4 .
- ^ М. Килп, У. Кнауэр, А. В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам , Изложения Де Грюйтера по математике, том. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000 г., ISBN 3-11-015248-7 , с. 19