Поглощающий элемент

В математике поглощающий элемент (или уничтожающий элемент ) — это особый тип элемента множества по отношению к бинарной операции над этим набором. Результатом объединения поглощающего элемента с любым элементом набора является сам поглощающий элемент. В теории полугрупп поглощающий элемент называется нулевым элементом. потому что нет риска путаницы с другими понятиями нуля , за одним заметным исключением: в аддитивной записи ноль может, вполне естественно, обозначать нейтральный элемент моноида. В данной статье «нулевой элемент» и «поглощающий элемент» являются синонимами.

Определение

Формально, пусть ( S , •) — множество S с замкнутой бинарной операцией • над ним (известной как магма ). Нулевой элемент (или поглощающий / уничтожающий элемент ) — это элемент z такой, что для s в S z s • всех = s • z = z . Это понятие можно уточнить до понятий левого нуля , где требуется только, чтобы z • s = z , и правого нуля , где s • z = z .

Поглощающие элементы представляют особый интерес для полугрупп , особенно мультипликативной полугруппы полукольца . В случае полукольца с 0 определение поглощающего элемента иногда ослабляется, так что от него не требуется поглощать 0; в противном случае 0 был бы единственным поглощающим элементом.

Характеристики

• Если магма имеет как левый ноль z, так и правый ноль z ′, то у нее есть ноль, поскольку z = z • z ′ = z ′ .
• Магма может содержать не более одного нулевого элемента.

Примеры

• Самый известный пример поглощающего элемента взят из элементарной алгебры, где любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Таким образом, ноль является поглощающим элементом.
• Ноль любого кольца также является поглощающим элементом. Для элемента r кольца R 0 r = r (0 + 0) = r 0 + r 0 , поэтому 0 = r 0 , поскольку ноль — это единственный элемент a, для которого r − r = a для любого r в кольцо Р. ​Это свойство справедливо и для генератора случайных чисел, поскольку мультипликативное тождество не требуется.
• Арифметика с плавающей запятой , как определено в стандарте IEEE-754, содержит специальное значение, называемое Not-a-Number («NaN»). Это поглощающий элемент каждой операции; т . е. x + NaN = NaN + x = NaN , x - NaN = NaN - x = NaN и т. д.
• Множество бинарных отношений над множеством X вместе с композицией отношений образует моноид с нулем, где нулевым элементом является пустое отношение ( пустое множество ).
• Замкнутый интервал H = [0, 1] с x • y = min( x , y ) также является моноидом с нулем, а нулевой элемент равен 0.
• Еще примеры:

Домен	Операция		поглотитель
действительные числа	⋅	умножение	0
целые числа		наибольший общий делитель	1
n - n квадратные матрицы		умножение матрицы		матрица всех нулей
расширенные действительные числа		наименьший/самый низкий	−∞
		величайший/высший	+∞
наборы	∩	пересечение	∅	пустой набор
подмножества множества M	∪	союз	М
Булева логика	∧	логичный и	⊥	ложь
	∨	логичный или	⊤	правда

См. также

• Поглощающий набор - набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.
• Аннигилятор (значения)
• Аннигилятор (теория колец) - идеал, который отображает в ноль подмножество модуля.
• Идемпотент (теория колец) . В математике элемент, равный своему квадрату, - элемент x кольца такой, что x ² = х
• Элемент идентичности - конкретный элемент алгебраической структуры.
• Нулевая полугруппа - полугруппа с поглощающим элементом, называемым нулем, в которой произведение любых двух элементов равно нулю. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп . Кларендон Пресс . ISBN  0-19-851194-9 .
• Килп, М.; Кнауэр, У.; Михалев, А.В. (2000), «Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам», Expositions De Gruyter in Mathematics , 29 , Walter de Gruyter, ISBN  3-11-015248-7
• Голан, Джонатан С. (1999). Полукольца и их применение . Спрингер. ISBN  0-7923-5786-8 .

Внешние ссылки

• Поглощающий элемент в PlanetMath