Нулевая матрица

В математике , особенно в линейной алгебре , нулевая матрица или нулевая матрица — это матрица , все элементы которой равны нулю . также служит аддитивной идентичностью аддитивной группы Он $m\times n$ матриц и обозначается символом $O$ или $0$ за которыми следуют индексы, соответствующие размеру матрицы, в зависимости от контекста. Некоторые примеры нулевых матриц:

$0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\$

Свойства

Набор $m\times n$ матрицы с элементами в кольце K образуют кольцо $K_{m,n}$. Нулевая матрица $0_{K_{m,n}}\,$ в $K_{m,n}\,$ - матрица, все элементы которой равны $0_{K}\,$, где $0_{K}$ является аддитивным тождеством в K.

$0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}$

Нулевая матрица является аддитивным тождеством в $K_{m,n}\,$. То есть для всех $A\in K_{m,n}\,$ оно удовлетворяет уравнению

$0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.$

Существует ровно одна нулевая матрица любого заданного размера m × n (с элементами из данного кольца), поэтому, когда контекст ясен, часто говорят о нулевой матрице. В общем, нулевой элемент кольца уникален и обычно обозначается цифрой 0 без индекса , обозначающего родительское кольцо. Следовательно, приведенные выше примеры представляют нулевые матрицы над любым кольцом.

Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование , которое переводит все векторы в нулевой вектор . Оно идемпотентно , что означает, что при умножении его на самого себя результатом будет он сам.

Нулевая матрица — это единственная матрица, ранг которой равен 0.

События

В обычной регрессии наименьших квадратов , если данные идеально подходят, матрица аннулятора является нулевой матрицей.

См. также

• Матрица идентичности , мультипликативное тождество для матриц
• Матрица единиц , матрица, в которой все элементы едины.
• Нильпотентная матрица
• Матрица с одной записью — матрица, в которой все элементы, кроме одного, равны нулю.