Симплектическая матрица

В математике симплектическая матрица – это $2n\times 2n$ матрица $M$ с реальными записями, удовлетворяющими условию

$M^{\text{T}}\Omega M=\Omega ,$ ( 1 )

где $M^{\text{T}}$ обозначает транспонирование ​ $M$ и $\Omega$ является фиксированным $2n\times 2n$ неособая , кососимметричная матрица . Это определение можно распространить на $2n\times 2n$ матрицы с записями в других полях , таких как комплексные числа , конечные поля , p -адические числа и функциональные поля .

Обычно $\Omega$ выбирается в качестве блочной матрицы $$\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},$$где $I_{n}$ это $n\times n$ идентификационная матрица . Матрица $\Omega$ имеет определитель $+1$ и его обратная сторона $\Omega ^{-1}=\Omega ^{\text{T}}=-\Omega$.

Характеристики

Генераторы симплектических матриц

Каждая симплектическая матрица имеет определитель $+1$и $2n\times 2n$ симплектические матрицы с вещественными элементами образуют подгруппу общей линейной группы $\mathrm {GL} (2n;\mathbb {R} )$ при умножении матриц , поскольку симплектичность является свойством, стабильным при умножении матриц. Топологически эта симплектическая группа представляет собой связную некомпактную вещественную группу Ли вещественной размерности. $n(2n+1)$, и обозначается $\mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )$. Симплектическую группу можно определить как набор линейных преобразований , сохраняющих симплектическую форму вещественного симплектического векторного пространства .

Эта симплектическая группа имеет выдающийся набор образующих, с помощью которого можно найти все возможные симплектические матрицы. Сюда входят следующие наборы $${\begin{aligned}D(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{pmatrix}}:A\in {\text{GL}}(n;\mathbb {R} )\right\}\\N(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}:B\in {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )\right\}\end{aligned}}$$где ${\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )$ это набор $n\times n$ симметричные матрицы . Затем, $\mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )$ генерируется набором ^{п. 2} $$\{\Omega \}\cup D(n)\cup N(n)$$матриц. Другими словами, любую симплектическую матрицу можно построить умножением матриц на $D(n)$ и $N(n)$ вместе, наряду с некоторой силой $\Omega$.

Обратная матрица

Каждая симплектическая матрица обратима с обратной матрицей, заданной формулой $$M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega .$$Более того, произведение двух симплектических матриц снова является симплектической матрицей. Это придает множеству всех симплектических матриц структуру группы . В этой группе существует естественная структура многообразия , которая превращает ее в (действительную или комплексную) группу Ли, называемую симплектической группой .

Детерминантные свойства

Из определения легко следует, что определитель любой симплектической матрицы равен ±1. На самом деле оказывается, что для любого поля определитель всегда равен +1. Один из способов увидеть это — использовать пфаффиан и тождество $${\mbox{Pf}}(M^{\text{T}}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega ).$$С $M^{\text{T}}\Omega M=\Omega$ и ${\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0$ у нас есть это $\det(M)=1$.

Когда лежащее в основе поле действительное или комплексное, это также можно показать, факторизовав неравенство $\det(M^{\text{T}}M+I)\geq 1$.

Блочная форма симплектических матриц

Предположим, что Ω задана в стандартной форме и пусть $M$ быть $2n\times 2n$ блочная матрица, заданная формулой $$M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$$

где $A,B,C,D$ являются $n\times n$ матрицы. Условие для $M$ быть симплектическим эквивалентно двум следующим эквивалентным условиям

$A^{\text{T}}C,B^{\text{T}}D$ симметричный и $A^{\text{T}}D-C^{\text{T}}B=I$

$AB^{\text{T}},CD^{\text{T}}$ симметричный и $AD^{\text{T}}-BC^{\text{T}}=I$

Второе условие исходит из того, что если $M$ симплектичен, то $M^{T}$ также симплектичен. Когда $n=1$ эти условия сводятся к единственному условию $\det(M)=1$. Таким образом $2\times 2$ Матрица является симплектической тогда и только тогда, когда ее определитель равен единице.

Обратная матрица блочной матрицы

С $\Omega$ в стандартной форме, обратное $M$ дается $$M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\text{T}}&-B^{\text{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.$$Группа имеет размерность $n(2n+1)$. В этом можно убедиться, заметив, что $(M^{\text{T}}\Omega M)^{\text{T}}=-M^{\text{T}}\Omega M$ является антисимметричным. Поскольку пространство антисимметричных матриц имеет размерность ${\binom {2n}{2}},$ личность $M^{\text{T}}\Omega M=\Omega$ навязывает $2n \choose 2$ ограничения на $(2n)^{2}$ коэффициенты $M$ и листья $M$ с $n(2n+1)$ независимые коэффициенты.

Симплектические преобразования

В абстрактной формулировке линейной алгебры матрицы заменяются преобразованиями конечномерных линейными векторных пространств . Абстрактным аналогом симплектической матрицы является симплектическое преобразование симплектического векторного пространства . Короче говоря, симплектическое векторное пространство $(V,\omega )$ это $2n$-мерное векторное пространство $V$ имеет невырожденную кососимметричную билинейную форму $\omega$ называется симплектической формой .

Тогда симплектическое преобразование является линейным преобразованием $L:V\to V$ который сохраняет $\omega$, то есть

$\omega (Lu,Lv)=\omega (u,v).$

Устанавливаем основу для $V$, $\omega$ можно записать в виде матрицы $\Omega$ и $L$ как матрица $M$. Условие, которое $L$ быть симплектическим преобразованием — это в точности условие того, что M — симплектическая матрица:

$M^{\text{T}}\Omega M=\Omega .$

При замене базиса , представленного матрицей A , имеем

$\Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A$

$M\mapsto A^{-1}MA.$

Всегда можно принести $\Omega$ к стандартной форме, приведенной во введении, или к блочно-диагональной форме, описанной ниже, путем подходящего выбора A .

Матрица Ω

Симплектические матрицы определяются относительно фиксированной неособой кососимметричной матрицы. $\Omega$. Как объяснялось в предыдущем разделе, $\Omega$ можно рассматривать как координатное представление невырожденной кососимметричной билинейной формы . Основной результат линейной алгебры состоит в том, что любые две такие матрицы отличаются друг от друга заменой базиса .

Самая распространенная альтернатива стандартному. $\Omega$ приведенное выше представляет собой блочную диагональную форму

$\Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}.$

Этот выбор отличается от предыдущего перестановкой базисных векторов .

Иногда обозначения $J$ используется вместо $\Omega$ для кососимметричной матрицы. Это особенно неудачный выбор, поскольку он приводит к путанице с понятием сложной структуры , которая часто имеет то же координатное выражение, что и $\Omega$ но представляет собой совсем другую структуру. Сложная структура $J$ - это координатное представление линейного преобразования, которое приводит в квадрат к $-I_{n}$, тогда как $\Omega$ — координатное представление невырожденной кососимметричной билинейной формы. Можно легко выбрать базы, в которых $J$ не является кососимметричным или $\Omega$ не соответствует $-I_{n}$.

Учитывая эрмитову структуру в векторном пространстве, $J$ и $\Omega$ связаны через

$\Omega _{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}$

где $g_{ac}$ это метрика . Что $J$ и $\Omega$ обычно имеют одинаковое координатное выражение (с точностью до общего знака) — это просто следствие того, что метрика g обычно является единичной матрицей.

Диагонализация и декомпозиция

• Для любой положительно определенной симметричной вещественной симплектической матрицы S существует U в $\mathrm {U} (2n,\mathbb {R} )=\mathrm {O} (2n)$ такой, что

$S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),$
где диагональные элементы D являются значениями S собственными .

• Любая вещественная симплектическая матрица S имеет полярное разложение вида:

$S=UR\quad$ для $\quad U\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} )$ и $R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} ).$

• Любую действительную симплектическую матрицу можно разложить в произведение трех матриц:

$S=O{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}O',$
( 2 )

такие, что O и O' одновременно симплектичны и ортогональны , а D положительно определен и диагональен . Это разложение тесно связано с по сингулярным значениям разложением матрицы и известно как разложение «Эйлера» или «Блоха-Мессии».

Комплексные матрицы

Если вместо этого M представляет собой размером 2 n × 2 n матрицу с комплексными элементами, определение не является стандартным во всей литературе. Многие авторы скорректируйте приведенное выше определение, чтобы

$M^{*}\Omega M=\Omega \,.$ ( 3 )

где М ^* обозначает транспонирование сопряженное M . В этом случае определитель может быть не 1, а иметь абсолютное значение 1. В случае 2×2 ( n =1) M будет произведением действительной симплектической матрицы и комплексного числа с абсолютным значением 1.

Другие авторы сохраняем определение ( 1 ) для комплексных матриц и называем матрицы, удовлетворяющие ( 3 ) , сопряженными симплектическими .

Приложения

Преобразования, описываемые симплектическими матрицами, играют важную роль в квантовой оптике и в квантовой теории информации с непрерывной переменной . Например, симплектические матрицы можно использовать для описания гауссовских (боголюбовских) преобразований квантового состояния света. В свою очередь, разложение Блоха-Мессии ( 2 ) означает, что такое произвольное гауссово преобразование можно представить как совокупность двух пассивных линейно-оптических интерферометров (соответствующих ортогональным матрицам O и O' ), перемежающихся слоем активных нелинейных сжимающие преобразования (заданные в терминах матрицы D ). Фактически, можно обойти необходимость в таких поточных преобразованиях активного сжатия, если двухмодовые состояния сжатого вакуума доступны только в качестве априорного ресурса.

См. также

• Симплектическое векторное пространство
• Симплектическая группа
• Симплектическое представление
• Ортогональная матрица
• Унитарная матрица
• гамильтонова механика
• Линейная сложная структура