Полиномиальная матрица

Не путать с матричным полиномом .

В математике полиномиальная матрица или матрица полиномов — это матрица , элементами которой являются одномерные или многомерные полиномы . Эквивалентно, полиномиальная матрица — это многочлен, коэффициенты которого являются матрицами.

Одномерная полиномиальная матрица P степени p определяется как:

$P=\sum _{n=0}^{p}A(n)x^{n}=A(0)+A(1)x+A(2)x^{2}+\cdots +A(p)x^{p}$

где $A(i)$ обозначает матрицу постоянных коэффициентов, а $A(p)$ не равно нулю. Пример полиномиальной матрицы 3×3 степени 2:

$P={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.$

Мы можем выразить это, сказав, что для кольца R кольца $M_{n}(R[X])$ и $(M_{n}(R))[X]$ изоморфны ​ .

Характеристики

• Полиномиальная матрица над полем с определителем, равным ненулевому элементу этого поля, называется унимодулярной и имеет обратную матрицу , которая также является полиномиальной матрицей. Обратите внимание, что единственными скалярными унимодулярными многочленами являются многочлены степени 0 – ненулевые константы, поскольку обратный к произвольному многочлену более высокой степени является рациональной функцией.
• Корни полиномиальной матрицы по комплексным числам — это точки комплексной плоскости , в которых матрица теряет ранг .
• Определителем матричного многочлена с эрмитовыми положительно определенными (полуопределенными) коэффициентами является многочлен с положительными (неотрицательными) коэффициентами.

Обратите внимание, что полиномиальные матрицы не следует путать с мономиальными матрицами , которые представляют собой просто матрицы с ровно одним ненулевым элементом в каждой строке и столбце.

Если через λ мы обозначим любой элемент поля , по которому мы построили матрицу, через I — единичную матрицу и пусть A — полиномиальная матрица, то матрица λ I − A является характеристической матрицей матрицы A . Его определитель |λ I − A | является характеристическим полиномом матрицы A .

Ссылки

• Е. В. Кришнамурти, Безошибочные полиномиальные матричные вычисления, Springer Verlag, Нью-Йорк, 1985.