Обобщенная матрица перестановок

В математике обобщенная матрица перестановок (или мономиальная матрица ) — это матрица с тем же ненулевым образцом, что и матрица перестановок , т. е. в каждой строке и каждом столбце есть ровно один ненулевой элемент. В отличие от матрицы перестановок, где ненулевой элемент должен быть равен 1, в обобщенной матрице перестановок ненулевой элемент может быть любым ненулевым значением. Пример обобщенной матрицы перестановок:

${\begin{bmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.$

Структура

Обратимая матрица A является обобщенной матрицей перестановок тогда и только тогда, когда ее можно записать как произведение обратимой диагональной матрицы D и (неявно обратимой ) матрицы перестановок P : т.е.

$A=DP.$

Структура группы

Набор GL обобщенных матриц перестановок размера n × n с элементами в поле F образует подгруппу общей линейной группы ( n , F ), в которой группа неособых диагональных матриц Δ( n , F ) образует нормальную подгруппу . Действительно, обобщенные матрицы перестановок являются нормализатором диагональных матриц, а это означает, что обобщенные матрицы перестановок являются наибольшей подгруппой GL( n , F ), в которой диагональные матрицы нормальны.

Абстрактная группа обобщенных матриц перестановок сплетением F является ^× и Сн _​ . Конкретно это означает, что это полупрямое произведение ∆( n , F ) на симметрическую группу S _n :

S _n ⋉ Δ( n , F ),

где Sn _n действует перестановкой координат, а диагональные матрицы ∆( , F ) изоморфны n произведению -кратному ( F ^× ) ^н .

Точнее, обобщенные матрицы перестановок представляют собой (точное) линейное представление этого абстрактного сплетения: реализацию абстрактной группы как подгруппы матриц.

Подгруппы

• Подгруппа, где все элементы равны 1, представляет собой в точности матрицы перестановок , которые изоморфны симметричной группе.
• Подгруппа, где все элементы равны ±1, представляет собой матрицы перестановок со знаком , то есть гипероктаэдрическую группу .
• Подгруппа, в которой элементы имеют корни m- й степени из единицы. $\mu _{m}$ изоморфна обобщенной симметрической группе .
• Подгруппа диагональных матриц абелева , нормальная и максимальная абелева подгруппа. Факторгруппа максимальный — это симметрическая группа, и эта конструкция по сути является группой Вейля полной линейной группы: диагональные матрицы представляют собой тор в полной линейной группе (и являются собственным централизатором ), обобщенные матрицы перестановок — это нормализатор этого тора, и частное, $N(T)/Z(T)=N(T)/T\cong S_{n}$ есть группа Вейля.

Характеристики

• Если невырожденная матрица и обратная к ней обе являются неотрицательными матрицами (т.е. матрицами с неотрицательными элементами), то матрица является обобщенной матрицей перестановок.
• Определитель обобщенной матрицы перестановок имеет вид $$\det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},$$ где $\operatorname {sgn} (\pi )$ это знак перестановки ​ $\pi$ связанный с $P$ и $d_{11},\ldots ,d_{nn}$ являются диагональными элементами $D$.

Обобщения

Можно сделать дальнейшее обобщение, разрешив записям располагаться в кольце , а не в поле. В том случае, если ненулевые записи должны быть единицами в кольце, снова получается группа. С другой стороны, если требуется, чтобы ненулевые элементы были только ненулевыми, но не обязательно обратимыми, этот набор матриц вместо этого образует полугруппу .

Можно также схематично разрешить ненулевым элементам находиться в группе G, понимая, что умножение матриц будет включать в себя только умножение одной пары элементов группы, а не «добавление» элементов группы. Это злоупотребление обозначениями , поскольку умножаемый элемент матриц должен допускать умножение и сложение, но это наводит на размышления для (формально правильной) абстрактной группы. $G\wr S_{n}$ (сплетение группы G с симметрической группой).

Знаковая группа перестановок

Дополнительная информация: Гипероктаэдрическая группа.

Матрица перестановок со знаком — это обобщенная матрица перестановок, ненулевые элементы которой равны ±1, и это целочисленные обобщенные матрицы перестановок с целочисленными обратными.

Характеристики

• Это группа Кокстера. $B_{n}$, и имеет порядок $2^{n}n!$.
• Это группа симметрии гиперкуба и (двойственно) кросс-многогранника .
• Ее индекса 2 с определителем, равным их базовой (беззнаковой) перестановке, является группой Коксетера. подгруппа матриц $D_{n}$ и – группа симметрии полугиперкуба .
• Это подгруппа ортогональной группы .

Приложения

Мономиальные представления

Основная статья: Мономиальное представление

Мономиальные матрицы встречаются в теории представлений в контексте мономиальных представлений . Мономиальное представление группы G — это линейное представление ρ : G → GL( n , F ) группы G (здесь F — определяющее поле представления) такое, что образ ρ ( G ) является подгруппой группы мономиалов. матрицы.

Ссылки

• Джойнер, Дэвид (2008). Приключения в теории групп. Кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки (2-е обновленное и исправленное издание). Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN  978-0-8018-9012-3 . Артикул   1221.00013 .