Максимальный тор

В математической теории компактных групп Ли особую роль играют подгруппы торов, в частности максимальные подгруппы торов .

Тор — в компактной группе Ли G это компактная связная абелева следовательно , группы подгруппа Ли G (и , изоморфная ^[1] стандартный тор T ^н). Максимальный тор — это максимальный среди таких подгрупп. То есть T является максимальным тором, если для любого тора T ′, содержащего T, выполнено T = T ′. Каждый тор содержится в максимальном торе просто из соображений размерности . Некомпактная группа Ли не обязана иметь нетривиальные торы (например, R ^н).

Размерность максимального тора G называется рангом G . в Ранг корректно определен, поскольку все максимальные торы оказываются сопряженными . Для полупростых групп ранг равен числу узлов в соответствующей диаграмме Дынкина .

Примеры [ править ]

Унитарная группа U( n ) имеет в качестве максимального тора подгруппу всех диагональных матриц . То есть,

T=\left\{\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right):\forall j,\theta _{j}\in \mathbb {R} \right\}.

T явно изоморфно произведению n окружностей, поэтому унитарная группа U( n ) имеет ранг n . Максимальный тор в специальной унитарной группе SU( n ) ⊂ U( n ) — это просто пересечение T и SU( n ), которое является тором размерности n − 1.

Максимальный тор в специальной ортогональной группе SO(2 n ) задается множеством всех одновременных вращений в любом фиксированном выборе из n попарно ортогональных плоскостей (т. е. двумерных векторных пространств). Конкретно, один максимальный тор состоит из всех блочно-диагональных матриц с $2\times 2$ диагональные блоки, где каждый диагональный блок представляет собой матрицу вращения.Это также максимальный тор в группе SO(2 n +1), где действие фиксирует оставшееся направление. Таким образом, SO(2 n ) и SO(2 n +1) имеют ранг n . Например, в группе вращений SO(3) максимальные торы задаются вращением вокруг фиксированной оси.

Симплектическая группа Sp( n ) имеет ранг n . Максимальный тор задается набором всех диагональных матриц, все элементы которых лежат в фиксированной комплексной подалгебре H .

Свойства [ править ]

Пусть G — компактная связная группа Ли и пусть ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли группы G . Первым основным результатом является теорема о торе, которую можно сформулировать следующим образом: ^[2]

Теорема о торе : Если T фиксированный максимальный тор в G , то каждый элемент G сопряжен элементу T. — один

Эта теорема имеет следующие следствия:

Все максимальные торы в G сопряжены. ^[3]
торы имеют одинаковую размерность, известную ранг G. Все максимальные как
Максимальный тор в G является максимальной абелевой подгруппой, но обратное не обязательно. ^[4]
Максимальные торы в G — это в точности подгруппы Ли, соответствующие максимальным абелевым подалгебрам ${\mathfrak {g}}$ ^[5] (ср. Картановская подалгебра )
Каждый элемент группы G лежит в некотором максимальном торе; таким образом, экспоненциальное отображение для G сюръективно.
Если G имеет размерность n и ранг r, то n − r четно.

Корневая система [ править ]

Если T — максимальный тор в компактной группе Ли G , можно определить систему корней следующим образом. Корни — это веса присоединенного действия T на комплексифицированной алгебре Ли G. группы Чтобы быть более явным, пусть ${\mathfrak {t}}$ обозначим алгебру Ли группы T , пусть ${\mathfrak {g}}$ обозначим алгебру Ли $G$ , и пусть ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}}$ обозначают комплексификацию ${\mathfrak {g}}$ . Тогда мы говорим, что элемент $\alpha \in {\mathfrak {t}}$ является корнем относительно G T , если $\alpha \neq 0$ и существует ненулевое значение $X\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }$ такой, что

\mathrm {Ad} _{e^{H}}(X)=e^{i\langle \alpha ,H\rangle }X

для всех $H\in {\mathfrak {t}}$ . Здесь $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является фиксированным внутренним продуктом на ${\mathfrak {g}}$ инвариантный относительно присоединенного действия связных компактных групп Ли.

Корневая система как подмножество алгебры Ли ${\mathfrak {t}}$ T охватывать , имеет все обычные свойства корневой системы, за исключением того, что корни не могут ${\mathfrak {t}}$ . ^[6] Корневая система является ключевым инструментом в классификации и представления G. теории понимании

Группа Вейля [ править ]

тор T (не обязательно максимальный), Вейля G T относительно T может быть определена как нормализатор модулю T по централизатора Учитывая группа . То есть,

W(T,G):=N_{G}(T)/C_{G}(T).

Зафиксируйте максимальный тор $T=T_{0}$ в G; тогда соответствующая группа Вейля называется группой Вейля группы G (она зависит с точностью до изоморфизма от выбора T ).

Первые два основных результата о группе Вейля заключаются в следующем.

Централизатор T в G равен T , поэтому группа Вейля равна N ( T )/ T . ^[7]
Группа Вейля порождается размышлениями о корнях ассоциированной алгебры Ли. ^[8] Таким образом, группа Вейля группы T изоморфна группе Вейля корневой системы алгебры Ли группы G .

Перечислим некоторые следствия этих основных результатов.

Два элемента из T когда они сопряжены элементом из W. сопряжены тогда и только тогда , То есть каждый класс сопряженности G пересекает T ровно по одной орбите Вейля . ^[9] Фактически пространство классов сопряженности в G гомеоморфно пространству орбит T / W .
Группа Вейля действует посредством ( внешних ) автоморфизмов на T (и его алгебре Ли).
Единичный компонент нормализатора T также равен T . Таким образом, группа Вейля равна компонентов группе N ( T ).
Группа Вейля конечна.

Теория представлений G T определяется и существу W. по

В качестве примера рассмотрим случай $G=SU(n)$ с $T$ являющаяся диагональной подгруппой $G$ . Затем $x\in G$ принадлежит $N(T)$ тогда и только тогда, когда $x$ отображает каждый стандартный базовый элемент $e_{i}$ кратному некоторому другому стандартному базисному элементу $e_{j}$ , то есть тогда и только тогда, когда $x$ переставляет стандартные элементы базиса, вплоть до умножения на некоторые константы. Группа Вейля в этом случае является группой перестановок на $n$ элементы.

Интегральная формула Вейля [ править ]

Предположим, — непрерывная функция на G. f Тогда интеграл по G от f относительно нормированной меры Хаара dg можно вычислить следующим образом:

\displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}|\Delta (t)|^{2}\int _{G/T}f\left(yty^{-1}\right)\,d[y]\,dt,}

где $d[y]$ — нормированная мера объема на фактормногообразии $G/T$ и $dt$ — нормированная мера Хаара на T . ^[10] Здесь Δ определяется формулой знаменателя Вейля , а $|W|$ есть порядок группы Вейля. Важный частный случай этого результата возникает, когда f является функцией класса , то есть функцией, инвариантной относительно сопряжения. В таком случае мы имеем

\displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}f(t)|\Delta (t)|^{2}\,dt.}

Рассмотрим в качестве примера случай $G=SU(2)$ , с $T$ являющаяся диагональной подгруппой. Тогда интегральная формула Вейля для функций класса принимает следующий явный вид: ^[11]

\displaystyle {\int _{SU(2)}f(g)\,dg={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }f\left(\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)\right)\,4\,\mathrm {sin} ^{2}(\theta )\,{\frac {d\theta }{2\pi }}.}

Здесь $|W|=2$ , нормированная мера Хаара на $T$ является ${\frac {d\theta }{2\pi }}$ , и $\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)$ обозначает диагональную матрицу с диагональными элементами $e^{i\theta }$ и $e^{-i\theta }$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Холл, 2015 г. , Теорема 11.2.
^ Холл 2015. Лемма 11.12.
^ Холл, 2015 г., Теорема 11.9.
^ Холл, 2015 г. Теорема 11.36 и упражнение 11.5.
^ Зал 2015 г. , Предложение 11.7
^ Зал 2015 г., раздел 11.7.
^ Холл, 2015 г., Теорема 11.36.
^ Холл, 2015 г., Теорема 11.36.
^ Холл, 2015 г. , Теорема 11.39.
^ Холл 2015. Теорема 11.30 и предложение 12.24.
^ Холл 2015 г. Пример 11.33

Адамс, Дж. Ф. (1969), Лекции по группам лжи , University of Chicago Press, ISBN 0226005305
Бурбаки, Н. (1982), Группы и алгебры Ли (глава 9) , Элементы математики, Массон, ISBN 354034392X
Дьедонне, Ж. (1977), Компактные группы Ли и полупростые группы Ли, Глава XXI , Трактат об анализе, том. 5, Академическое издательство, ISBN 012215505X
Дуйстермаат, Джей-Джей; Колк, А. (2000), Группы Ли , Universitext, Springer, ISBN 3540152938
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN 0821828487
Хохшильд, Г. (1965), Структура групп Ли , Холден-Дей

[1] Холл, 2015 г. , Теорема 11.2.

[2] Холл 2015. Лемма 11.12.

[3] Холл, 2015 г., Теорема 11.9.

[4] Холл, 2015 г. Теорема 11.36 и упражнение 11.5.

[5] Зал 2015 г. , Предложение 11.7

[6] Зал 2015 г., раздел 11.7.

[7] Холл, 2015 г., Теорема 11.36.

[8] Холл, 2015 г., Теорема 11.36.

[9] Холл, 2015 г. , Теорема 11.39.

[10] Холл 2015. Теорема 11.30 и предложение 12.24.

[11] Холл 2015 г. Пример 11.33

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]