Класс сопряжения
В математике , особенно в теории групп , два элемента и группы , сопряжены если существует элемент в группе такой, что Это отношение эквивалентности которого , классы эквивалентности называются классами сопряженности . Другими словами, каждый класс сопряженности замкнут относительно для всех элементов в группе.
Членов одного и того же класса сопряженности нельзя отличить, используя только групповую структуру, и поэтому они имеют много общих свойств. Изучение классов сопряженности неабелевых групп имеет фундаментальное значение для изучения их строения. [1] [2] Для абелевой группы каждый класс сопряженности представляет собой множество , содержащее один элемент ( одноэлементное множество ).
Функции , постоянные для членов одного и того же класса сопряженности, называются функциями класса .
Определение
[ редактировать ]Позволять быть группой. Два элемента сопряжены , если существует элемент такой, что в этом случае называется сопряженным и называется сопряженным
В случае общей линейной группы Для обратимых матриц отношение сопряженности называется подобием матриц .
Легко показать, что сопряженность является отношением эквивалентности и, следовательно, разбиения на классы эквивалентности. (Это означает, что каждый элемент группы принадлежит ровно одному классу сопряженности, а классы и равны тогда и только тогда, когда и сопряжены, а в противном случае не пересекаются .) Класс эквивалентности, содержащий элемент является и называется сопряженности классом класса номер — количество различных (неэквивалентных) классов сопряженности. Все элементы, принадлежащие к одному классу сопряженности, имеют одинаковый порядок .
Классы сопряженности можно обозначать путем их описания или, более кратко, с помощью таких сокращений, как «6A», что означает «определенный класс сопряжения с элементами порядка 6», а «6B» будет другим классом сопряжения с элементами порядка 6; класс сопряжения 1А — это класс сопряжения единицы, имеющий порядок 1. В некоторых случаях классы сопряжения могут быть описаны единообразно; например, в симметричной группе они могут быть описаны типом цикла .
Примеры
[ редактировать ]Симметричная группа состоящий из 6 перестановок трех элементов, имеет три класса сопряженности:
- Без изменений . Единственный член имеет порядок 1.
- Транспонирование двух . Все 3 участника имеют порядок 2.
- Циклическая перестановка всех трех . Оба члена имеют порядок 3.
Этим трем классам соответствует также классификация изометрий равностороннего треугольника .
Симметричная группа состоящий из 24 перестановок четырех элементов, имеет пять классов сопряженности, перечисленных с их описанием, типом цикла , порядком членов и членами:
- Никаких изменений. Тип цикла = [1 4 ]. Порядок = 1. Члены = { (1, 2, 3, 4) }. Единственная строка, содержащая этот класс сопряженности, показана в соседней таблице в виде ряда черных кружков.
- Меняем местами два (остальные два остаются без изменений). Тип цикла = [1 2 2 1 ]. Порядок = 2. Члены = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены зеленым цветом в соседней таблице.
- Циклическая перестановка трех (другой остается неизменным). Тип цикла = [1 1 3 1 ]. Порядок = 3. Члены = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }). 8 строк, содержащих этот класс сопряженности, показаны обычным шрифтом (без жирного шрифта или цветового выделения) в соседней таблице.
- Циклическая перестановка всех четырех. Тип цикла = [4 1 ]. Порядок = 4. Члены = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены оранжевым цветом в соседней таблице.
- Меняем местами два, а также два других. Тип цикла = [2 2 ]. Порядок = 2. Члены = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }). Три строки, содержащие этот класс сопряженности, выделены жирным шрифтом в соседней таблице.
Собственные вращения куба , которые можно охарактеризовать перестановками диагоналей тела, также описываются сопряжением в
В общем случае количество классов сопряженности в симметрической группе равно числу целочисленных разделов Это связано с тем, что каждый класс сопряженности соответствует ровно одному разделу на циклы , с точностью до перестановки элементов
В общем, евклидову группу можно изучать путем сопряжения изометрий в евклидовом пространстве .
Пример
Пусть G =
а знак равно ( 2 3 )
Икс знак равно ( 1 2 3 )
х -1 = ( 3 2 1 )
Тогда хах -1
= ( 1 2 3 ) ( 2 3 ) ( 3 2 1 ) = ( 3 1 )
= ( 3 1 ) сопряжено с ( 2 3 )
Характеристики
[ редактировать ]- Идентификатор всегда является единственным элементом в своем классе, то есть
- Если абелева тогда для всех , то есть для всех (и обратное также верно: если все классы сопряженности являются одиночными, то абелева).
- Если два элемента принадлежат одному классу сопряженности (т. е. если они сопряжены), то они имеют один и тот же порядок . В более общем плане каждое утверждение о можно перевести в утверждение о потому что карта является автоморфизмом называется внутренним автоморфизмом . Пример см. в следующем свойстве.
- Если и сопряжены, то и их силы сопряжены и (Доказательство: если затем ) Таким образом, взятие k- й степени дает карту классов сопряженности, и можно рассмотреть, какие классы сопряженности находятся в ее прообразе. Например, в симметричной группе квадрат элемента типа (3)(2) (3-цикл и 2-цикл) является элементом типа (3), поэтому один из классов усиления (3) – это класс (3)(2) (где это класс усиления ).
- Элемент лежит в центре из тогда и только тогда, когда его класс сопряженности имеет только один элемент, сам. В более общем смысле, если обозначает централизатор т. е. подгруппа , состоящая из всех элементов такой, что тогда индекс равно числу элементов в классе сопряженности (по теореме о стабилизаторе орбиты ).
- Брать и пусть — отдельные целые числа, которые появляются как длины циклов в типе цикла (включая 1-циклы). Позволять быть числом циклов длины в для каждого (так что ). Тогда число конъюгатов является: [1]
Сопряжение как групповое действие
[ редактировать ]Для любых двух элементов позволять Это определяет групповое действие на Орбитами данного элемента является этого действия являются классы сопряженности, а стабилизатором его централизатор . [3]
Аналогично мы можем определить групповое действие на множестве подмножеств всех написав или на множестве подгрупп
Уравнение класса сопряженности
[ редактировать ]Если — конечная группа , то для любого элемента группы элементы класса сопряженности находятся во взаимно однозначном соответствии со смежными централизатора классами В этом можно убедиться, заметив, что любые два элемента и принадлежащие одному и тому же классу (следовательно, для некоторых в центраторе ) дают при сопряжении один и тот же элемент : Это также можно увидеть из теоремы о стабилизаторе орбиты , когда группа рассматривается как действующая сама на себя посредством сопряжения, так что орбиты являются классами сопряженности, а подгруппы стабилизаторов являются централизаторами. Обратное также справедливо.
Таким образом, количество элементов в классе сопряженности это индекс центратора в ; следовательно, размер каждого класса сопряженности делит порядок группы.
Более того, если мы выберем один репрезентативный элемент из каждого класса сопряженности, на основании непересекаемости классов сопряженности мы заключаем, что где является централизатором элемента Заметив, что каждый элемент центра образует класс сопряженности, содержащий только самого себя, приводит к уравнению класса : [4] где сумма ведется по репрезентативному элементу каждого класса сопряженности, который не находится в центре.
Знание делителей группового порядка часто можно использовать для получения информации о порядке центра или классов сопряжения.
Пример
[ редактировать ]Рассмотрим конечный -группа (то есть группа с порядком где является простым числом и ). Мы собираемся доказать, что каждое конечное -группа имеет нетривиальный центр .
Поскольку порядок любого класса сопряженности необходимо разделить порядок отсюда следует, что каждый класс сопряженности то, что не в центре, также имеет порядок некоторой мощности где Но тогда уравнение класса требует, чтобы Из этого мы видим, что должен разделить так
В частности, когда затем является абелевой группой, поскольку любой нетривиальный элемент группы имеет порядок или Если какой-то элемент из в порядке затем изоморфна циклической группе порядка следовательно, абелева. С другой стороны, если каждый нетривиальный элемент в в порядке отсюда и вывод выше затем или Нам остается рассмотреть лишь случай, когда тогда есть элемент из который находится не в центре Обратите внимание, что включает в себя и центр, который не содержит но по крайней мере элементы. Отсюда и порядок строго больше, чем поэтому поэтому является элементом центра противоречие. Следовательно абелева и фактически изоморфна прямому произведению двух циклических групп, каждая порядка
Сопряженность подгрупп и общих подмножеств
[ редактировать ]В более общем смысле, учитывая любое подмножество ( не обязательно подгруппа), определите подмножество быть сопряженным с если существует какой-то такой, что Позволять быть набором всех подмножеств такой, что сопряжено с
Часто используемая теорема состоит в том, что для любого подмножества индекс ( нормализатор ) в равна мощности :
Это следует из того, что если затем тогда и только тогда, когда другими словами, тогда и только тогда, когда в одном классе находятся
Используя эта формула обобщает формулу, приведенную ранее для числа элементов в классе сопряженности.
Вышеизложенное особенно полезно, когда речь идет о подгруппах Таким образом, подгруппы можно разделить на классы сопряженности, причем две подгруппы принадлежат одному и тому же классу тогда и только тогда, когда они сопряжены.Сопряженные подгруппы изоморфны , но изоморфные подгруппы не обязательно должны быть сопряжены. Например, абелева группа может иметь две разные подгруппы, которые изоморфны, но никогда не являются сопряженными.
Геометрическая интерпретация
[ редактировать ]Классы сопряженности в фундаментальной группе линейно -связного топологического пространства можно рассматривать как классы эквивалентности свободных петель при свободной гомотопии.
Класс сопряженности и неприводимые представления в конечной группе
[ редактировать ]В любой конечной группе число неизоморфных неприводимых представлений над комплексными числами равно числу классов сопряженности.
См. также
[ редактировать ]- Топологическая сопряженность - Понятие в топологии
- FC-группа - Группа в математике теории групп.
- Замкнутая по сопряженности подгруппа
Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .
- ^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .
- ^ Жареный (2007), стр. 56.
- ^ Жареный (2007), стр. 57.
Ссылки
[ редактировать ]- Грилье, Пьер Антуан (2007). Абстрактная алгебра . Дипломные тексты по математике. Том. 242 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-71567-4 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- «Сопряженные элементы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]