Сопряжение изометрий в евклидовом пространстве

В группе сопряжение ​ по g h ​ равно ghg ⁻¹ .

Перевод

Если h — перевод, то его сопряжение изометрией можно описать как применение изометрии к переводу:

• сопряжение перевода переводом – это первый перевод
• сопряжение перевода вращением - это перевод повернутым вектором перевода
• сопряжение перевода отражением - это перевод отраженным вектором перевода

Таким образом, класс сопряженности внутри евклидовой группы E ( n перевода ) представляет собой набор всех переводов на одно и то же расстояние.

Наименьшая подгруппа евклидовой группы, содержащая все переводы на заданное расстояние, представляет собой множество всех переводов. Итак, это сопряженное замыкание синглтона, содержащего перевод.

Таким образом, E ( n ) является прямым произведением ортогональной группы O ( n ) и подгруппы сдвигов T , а O ( n ) изоморфна фактор- E группе ( n ) по T :

На ) ​ ​ $\cong$ Э ( н ) / Т

Таким образом, существует разделение евклидовой группы с в каждом подмножестве по одной изометрии, сохраняющее начало координат фиксированным, и его комбинация со всеми переводами.

Каждая изометрия задается ортогональной матрицей A в O ( n ) и вектором b :

$x\mapsto Ax+b$

и каждое подмножество в факторгруппе задается матрицей A. только

Аналогично для специальной ортогональной группы SO ( n ) имеем

ТАК ( н ) $\cong$ И ⁺ ( п ) / Т

Инверсия

Сопряжение инверсии в точке переносом — инверсия в транслируемой точке и т. д.

Таким образом, класс сопряженности внутри евклидовой группы E ( n ) инверсии в точке представляет собой множество инверсий во всех точках.

Поскольку комбинация двух инверсий является трансляцией, сопряженное замыкание одиночного элемента, содержащего инверсию в точке, представляет собой набор всех трансляций и инверсий во всех точках. Это обобщенная группа диэдра dih ( R ^н ).

Аналогично { I , − I } является нормальной подгруппой O ( n ) , и мы имеем:

E ( n ) / полный ( R ^н ) $\cong$ О ( п ) / { я , - я }

Для нечетного n мы также имеем:

На ) ​ ​ $\cong$ ТАК ( п ) × { я , - я }

и, следовательно, не только

О ( п ) / ТАК ( п ) $\cong$ { Я , − Я }

но и:

О ( п ) / { я , - я } $\cong$ ТАК ( н )

Для четного n имеем:

И ⁺ ( n ) / дыхание ( R ^н ) $\cong$ ТАК ( п ) / { я , - я }

Вращение

В 3D сопряжение путем перемещения вращения вокруг оси представляет собой соответствующее вращение вокруг смещенной оси. Такое сопряжение создает винтовое смещение, которое, как известно, выражает произвольное евклидово движение согласно теореме Шаля .

Классом сопряженности внутри евклидовой группы E (3) вращения вокруг оси является поворот на один и тот же угол вокруг любой оси.

Сопряженное замыкание синглтона, содержащего вращение в 3D, равно E ⁺ (3).

В 2D все по-другому в случае k -кратного вращения: сопряженное замыкание содержит k вращений (включая тождественное) в сочетании со всеми перемещениями.

E (2) имеет факторгруппу O (2) / _Ck и E ⁺ (2) имеет факторгруппу SO (2) /C _k . Для k = 2 об этом уже говорилось выше.

Отражение

Сопряженные отражения — это отражения с перенесенной, повернутой и отраженной зеркальной плоскостью. Сопряженное замыкание синглтона, содержащего отражение, — это целое E ( n ).

Роторное отражение

Левый, а также правый смежный класс отражения в плоскости, совмещенный с поворотом на заданный угол вокруг перпендикулярной оси, — это совокупность всех комбинаций отражения в той же или параллельной плоскости, совмещенных с поворотом на тот же угол. около одной или параллельной оси, сохраняя ориентацию

Группы изометрии

Говорят, что две группы изометрий равны с точностью до сопряжения относительно аффинных преобразований , если существует аффинное преобразование такое, что все элементы одной группы получаются путем сопряжения с помощью этого аффинного преобразования всех элементов другой группы. Это применимо, например, к группам симметрии двух рисунков, оба из которых относятся к определенному типу группы обоев . Если бы мы рассматривали просто сопряженность по изометриям, мы бы не допустили масштабирования, а в случае параллелограмматической решетки – изменения формы параллелограмма . Однако обратите внимание, что сопряжение относительно аффинного преобразования изометрии, как правило, не является изометрией, хотя объем (в 2D: площадь) и ориентация сохраняются.

Циклические группы

Циклические группы абелевы, поэтому сопряжение каждого элемента каждого элемента является последним.

З _мн / З _м $\cong$ З _н .

Z _mn является прямым произведением Z m _и Z n _тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты . Так, например, Z ₁₂ является прямым произведением Z ₃ и Z ₄ , но не Z ₆ и Z ₂ .

Диэдральные группы

Рассмотрим точечную группу двумерной изометрии D _n . Сопряженные вращения те же, что и обратное вращение. Сопряженные отражения — это отражения, повернутые на любую кратную единицу полного вращения. Для нечетного n это все отражения, для четного — половина из них.

Эта группа и, в более общем смысле, абстрактная группа Dihn _n имеет нормальную подгруппу Z _m для всех делителей m числа n , включая n само .

Кроме того, Dih _{2 n} имеет две нормальные подгруппы, изоморфные Dih _n . Оба они содержат одни и те же групповые элементы, образующие группу Z _n , но каждый дополнительно имеет один из двух классов сопряженности Dih _{2 n} \ Z _{2 n} .

Фактически:

Дих _мн / З _н $\cong$ Дих _н

Дих _{2 н} / Дих _н $\cong$ З ₂

Дих _{4 н +2} $\cong$ Dih _{2 n +1} × Z ₂