Теорема Шасла (кинематика)

См. Также: Винтовая ось

Чтобы узнать о других значениях, см. теорему Часла (значения) .

Винтовая ось . Теорема Моцци-Шасля гласит, что каждое евклидово движение представляет собой винтовое перемещение вдоль некоторой винтовой оси.

В кинематике или теорема Шасла теорема Моцци-Шалеса гласит, что наиболее общее смещение твердого тела может быть произведено перемещением вдоль линии (называемой ее винтовой осью или осью Моцци), за которым (или предшествует) вращение вокруг ось, параллельная этой линии. Такая комбинация перевода и вращения называется винтовым смещением .

История

Доказательство того, что пространственное смещение можно разложить на вращение и скольжение вокруг и вдоль линии, приписывают астроному и математику Джулио Моцци традиционно называется ассе ди Моцци (1763 г.), ведь ось винта в Италии . Однако большинство учебников ссылаются на последующую аналогичную работу Мишеля Шаля, датированную 1830 годом. Примерно в это же время несколько других современников М. Шаля получили такие же или подобные результаты, в том числе Дж. Джорджини, Коши, Пуансо, Пуассон и Родриг. Отчет Джулио Моцци о доказательстве 1763 года и некоторые подробности его истории можно найти здесь.

Доказательство

Моцци рассматривает твердое тело, испытывающее сначала вращение вокруг оси, проходящей через центр масс, а затем перемещение смещения D в произвольном направлении. Любое твердое движение можно осуществить таким образом благодаря теореме Эйлера о существовании оси вращения. Смещение D центра масс можно разложить на составляющие, параллельные и перпендикулярные оси. Перпендикулярный (и параллельный) компонент действует на все точки твердого тела, но Моцци показывает, что для некоторых точек предыдущее вращение действовало точно с противоположным смещением, поэтому эти точки перемещаются параллельно оси вращения. Эти точки лежат на оси Моцци, через которую можно осуществить жесткое движение посредством винтового движения.

Другое элементарное доказательство теоремы Моцци – Шаля было дано Э. Т. Уиттекером в 1904 году. Предположим, что необходимо преобразовать в B. A Уиттекер предлагает выбрать линию АК параллельно оси данного вращения, при этом К будет основанием перпендикуляра В. из Соответствующее смещение винта происходит вокруг оси, параллельной AK так что K перемещается в B. , Метод соответствует изометрии евклидовой плоскости , где композиция вращения и перемещения может быть заменена вращением вокруг соответствующего центра . По словам Уиттекера, «поворот вокруг любой оси эквивалентен повороту на тот же угол вокруг любой оси, параллельной ей, вместе с простым перемещением в направлении, перпендикулярном этой оси».

Расчет

Расчет коммутирующего перемещения и вращения от винтового движения можно выполнить с помощью 3DPGA ( $\mathbb {R} _{3,0,1}$), геометрическая алгебра трехмерного евклидова пространства. Он имеет три евклидовых базисных вектора. $\mathbf {e} _{i}$ удовлетворяющий $\mathbf {e} _{i}^{2}=1$ представляющие ортогональные плоскости через начало координат и один грассмановский базисный вектор $\mathbf {e} _{0}$ удовлетворяющий $\mathbf {e} _{0}^{2}=0$для изображения плоскости в бесконечности. Любой самолет на расстоянии $\delta$ от начала координат может быть сформирована как линейная комбинация

$$a=\sum _{i=1}^{3}a^{i}\mathbf {e} _{i}-\delta \mathbf {e} _{0}$$

который нормирован так, что $a^{2}=1$. Поскольку отражения можно представить плоскостью, в которой происходит отражение, произведение двух плоскостей $a$ и $b$ это двойное отражение $ab$. Результатом является вращение вокруг линии их пересечения. $a\wedge b$, который также может лежать в плоскости на бесконечности, когда два отражения параллельны, и в этом случае двуотражение $ab$ это перевод.

Винтовое движение $S$ является продуктом четырех неколлинеарных отражений и, следовательно, $S=abcd$. Но согласно теореме Моцци-Шаля винтовое движение можно разложить на коммутирующее перемещение

$$T=e^{\alpha B_{1}}=1+\alpha B_{1}$$

где $B_{1}$ ось перевода, удовлетворяющая $B_{1}^{2}=0$и вращение

$$R=e^{\beta B_{2}}=\cos(\beta )+B_{2}\sin(\beta )$$

где $B_{2}$ ось вращения, удовлетворяющая $B_{2}^{2}=-1$. Две бивекторные линии $B_{1}$ и $B_{2}$ортогональны и коммутируют. Найти $T$ и $R$ от $S$, мы просто выписываем $S$ и рассмотрим результат по классам:

$${\begin{aligned}S&=TR\\&=e^{\alpha B_{1}}e^{\beta B_{2}}\\&=\underbrace {\cos \beta } _{\text{scalar}}+\underbrace {\sin \beta B_{2}+\alpha \cos \beta B_{1}} _{\text{bivector}}+\underbrace {\alpha \sin \beta B_{1}B_{2}} _{\text{quadvector}}\end{aligned}}$$

Поскольку квадровекторная часть $\langle S\rangle _{4}=\langle T\rangle _{2}\langle R\rangle _{2}$ и $B_{1}^{2}=0$, $T$ непосредственно оказывается

$$T=1+{\frac {\langle S\rangle _{4}}{\langle S\rangle _{2}}}$$

и поэтому

$$R=ST^{-1}=T^{-1}S={\frac {S}{T}}$$

Таким образом, при заданном движении винта $S$ коммутирующий сдвиг и вращение можно найти с помощью двух приведенных выше формул, после чего строки $B_{1}$ и $B_{2}$ оказываются пропорциональными $\langle T\rangle _{2}$ и $\langle R\rangle _{2}$ соответственно.

Другие измерения и поля

Теорема Картана -Дьедонне выражает аналогичную идею в измерениях, отличных от трех.

Дальнейшее чтение

• Бенджамин Пирс (1872) Система аналитической механики , III. Комбинированные движения вращения и перемещения, особенно § 32 и § 39, Дэвид ван Ностранд и компания, ссылка из Интернет-архива