Кинематика

«Кинематика» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об австралийском диапазоне, см. Кинематика (диапазон) .

Кинематика — раздел физики и математики , развитый в классической механике , который описывает движение точек, тел (объектов) и систем тел (групп объектов) без учета сил , вызывающих их движение. Кинематику как область исследования часто называют «геометрией движения» и иногда рассматривают как раздел как прикладной, так и чистой математики, поскольку ее можно изучать, не принимая во внимание массу тела или действующие на него силы. . Задача кинематики начинается с описания геометрии системы и объявления начальных условий любых известных значений положения, скорости и/или ускорения точек внутри системы. Затем, используя аргументы геометрии, можно определить положение, скорость и ускорение любых неизвестных частей системы. Изучение того, как силы действуют на тела, относится к кинетике , а не кинематике. Более подробную информацию см. в разделе «Аналитическая динамика» .

Кинематика используется в астрофизике для описания движения небесных тел и совокупностей таких тел. В машиностроении , робототехнике и биомеханике . кинематика используется для описания движения систем, состоящих из соединенных частей (многозвенных систем), таких как двигатель , роботизированная рука или человеческий скелет .

Геометрические преобразования, также называемые жесткими преобразованиями , используются для описания движения компонентов в механической системе , упрощая вывод уравнений движения. Они также играют центральную роль в динамическом анализе .

Кинематический анализ — это процесс измерения кинематических величин , используемых для описания движения. В технике, например, кинематический анализ может использоваться для определения диапазона движения данного механизма и, работая в обратном направлении, с использованием кинематического синтеза для проектирования механизма для желаемого диапазона движения. Кроме того, кинематика применяет алгебраическую геометрию для изучения механических преимуществ механической системы или механизма.

Этимология

Термин «кинематика» — это английская версия термина М. Ампера А. «кинематика» . который он построил от греческого κίνημα kinema («движение, движение»), которое само происходит от κινεῖν kinein («перемещаться»).

Kinematic и cinématique связаны с французским словом cinéma, но не являются производными от него напрямую. Тем не менее, у них есть общий корень, поскольку кино произошло от сокращенной формы слова cinématographe, «кинопроектор и камера», опять-таки от греческого слова, обозначающего движение, и от греческого ( γρᾰ́φωgrapho «писать»).

Кинематика траектории частицы в невращающейся системе отсчета

Кинематические величины классической частицы: масса m , положение r , скорость v , ускорение a .

Вектор положения r всегда указывает радиально от начала координат.

Вектор скорости v , всегда касательный к траектории движения.

Вектор ускорения a не параллелен радиальному движению, а смещен угловым ускорением и ускорением Кориолиса, не касается траектории, а смещен центростремительным и радиальным ускорениями.

Кинематические векторы в плоских полярных координатах. Обратите внимание, что установка не ограничивается двухмерным пространством, а плоскостью в любом более высоком измерении.

Кинематика частиц - это изучение траектории частиц. Положение частицы определяется как вектор координат от начала системы координат до частицы. Например, рассмотрим башню в 50 м к югу от вашего дома, где центр системы координат находится в вашем доме, так что восток находится в направлении оси X , а север - в направлении оси Y , тогда координата вектор к основанию башни равен r = (0 м, −50 м, 0 м). Если высота башни 50 м и эта высота измеряется по оси z , то вектор координат вершины башни равен r = (0 м, −50 м, 50 м).

В самом общем случае для определения положения частицы используется трехмерная система координат. Однако, если частица вынуждена двигаться внутри плоскости, достаточно двумерной системы координат. Все наблюдения в физике неполны, если они не описаны относительно системы отсчета.

Вектор положения частицы — это вектор , проведенный от начала системы отсчета до частицы. Он выражает как расстояние точки от начала координат, так и ее направление от начала координат. В трех измерениях вектор положения ${\bf {r}}$ может быть выражено как

$$\mathbf {r} =(x,y,z)=x{\hat {\mathbf {x} }}+y{\hat {\mathbf {y} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},$$

где $x$, $y$, и $z$ - декартовы координаты и ${\hat {\mathbf {x} }}$, ${\hat {\mathbf {y} }}$ и ${\hat {\mathbf {z} }}$ являются единичными векторами вдоль $x$, $y$, и $z$оси координат соответственно. Величина вектора положения $\left|\mathbf {r} \right|$ дает расстояние между точками $\mathbf {r}$ и происхождение.

$$|\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$$

Направляющие косинусы вектора положения обеспечивают количественную меру направления. В общем, вектор положения объекта будет зависеть от системы отсчета; разные кадры приведут к разным значениям вектора положения.

Траектория , частицы является векторной функцией времени $\mathbf {r} (t)$, который определяет кривую, по которой движется движущаяся частица, определяемая выражением

$$\mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},$$

где $x(t)$, $y(t)$, и $z(t)$ описать каждую координату положения частицы как функцию времени.

Пройденное расстояние всегда больше или равно перемещению.

Скорость и скорость

Скорость , частицы — это векторная величина, которая описывает как направление так и величину движения частицы. С математической точки зрения, скорость изменения вектора положения точки относительно времени — это скорость точки. Рассмотрим соотношение, образующееся при делении разности двух положений частицы ( перемещения ) на интервал времени. Это отношение называется средней скоростью за этот интервал времени и определяется как

$$\mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {v}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {v}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {v}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,$$

где $\Delta \mathbf {r}$ – вектор смещения за интервал времени $\Delta t$. В пределе, что интервал времени $\Delta t$ приближается к нулю, средняя скорость приближается к мгновенной скорости, определяемой как производная по времени вектора положения,

$$\mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.$$

Таким образом, скорость частицы — это скорость изменения ее положения во времени. Более того, эта скорость касается траектории частицы в каждой точке ее пути. В невращающейся системе отсчета производные координатных направлений не рассматриваются, поскольку их направления и величины являются постоянными.

Скорость . объекта – это величина его скорости Это скалярная величина:

$$v=|\mathbf {v} |={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}},$$

где $s$– длина дуги, измеренная вдоль траектории частицы. Эта длина дуги всегда должна увеличиваться по мере движения частицы. Следовательно, ${\text{d}}s/{\text{d}}t$ неотрицательен, а это означает, что скорость также неотрицательна.

Ускорение

Вектор скорости может изменяться по величине и направлению или по тому и другому одновременно. Следовательно, ускорение учитывает как скорость изменения величины вектора скорости, так и скорость изменения направления этого вектора. Те же рассуждения, которые использовались в отношении положения частицы для определения скорости, могут быть применены к скорости для определения ускорения. Ускорение . частицы — это вектор, определяемый скоростью изменения вектора скорости Среднее ускорение частицы за интервал времени определяется как соотношение.

$$\mathbf {\bar {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {\bar {v}} }{\Delta t}}={\frac {\Delta {\bar {v}}_{x}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{y}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{z}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {a}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {a}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {a}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,$$

где Δ v — средняя скорость, а Δ t — интервал времени.

Ускорение частицы является пределом среднего ускорения, когда временной интервал приближается к нулю, что является производной по времени,

$$\mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.$$

Альтернативно,

$$\mathbf {a} =\lim _{(\Delta t)^{2}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{(\Delta t)^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.$$

Таким образом, ускорение — это первая производная вектора скорости и вторая производная вектора положения этой частицы. В невращающейся системе отсчета производные координатных направлений не рассматриваются, поскольку их направления и величины являются постоянными.

Величина ускорения объекта равна величине | а | вектора его ускорения. Это скалярная величина:

$$|\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.$$

Вектор относительного положения

Вектор относительного положения — это вектор, который определяет положение одной точки относительно другой. Это разница в положении двух точек. Положение одной точки А относительно другой точки В — это просто разница между их положениями.

$\mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}$

что представляет собой разницу между компонентами их векторов положения.

Если точка А имеет компоненты положения $\mathbf {r} _{A}=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right)$

и точка B имеет компоненты положения $\mathbf {r} _{B}=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right)$

тогда положение точки А относительно точки В есть разность их составляющих: $\mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}\right)$

Относительная скорость

Основная статья: Относительная скорость

Относительные скорости между двумя частицами в классической механике.

Скорость одной точки относительно другой — это просто разность их скоростей.

$$\mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}$$

что является разницей между компонентами их скоростей.

Если точка А имеет компоненты скорости $\mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}\right)$ и точка B имеет компоненты скорости $\mathbf {v} _{B}=\left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)$ тогда скорость точки А относительно точки В равна разности их составляющих: $\mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)$

Альтернативно, тот же самый результат может быть получен путем вычисления производной по времени вектора относительного положения r _B/A .

Относительное ускорение

Ускорение одной точки C относительно другой точки B — это просто разность их ускорений.

$$\mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}$$

что и есть разность между компонентами их ускорений.

Если точка C имеет компоненты ускорения $\mathbf {a} _{C}=\left(a_{C_{x}},a_{C_{y}},a_{C_{z}}\right)$ и точка B имеет компоненты ускорения $\mathbf {a} _{B}=\left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}\right)$ тогда ускорение точки С относительно точки В равно разности их составляющих: $\mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}=\left(a_{C_{x}}-a_{B_{x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)$

Альтернативно, тот же самый результат может быть получен путем вычисления второй производной по времени вектора относительного положения r _B/A .

Полагая, что начальные условия положения, $\mathbf {r} _{0}$, и скорость $\mathbf {v} _{0}$ вовремя $t=0$ известны, первое интегрирование дает скорость частицы как функцию времени.

$$\mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} \,{\text{d}}\tau =\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t.$$

Второе интегрирование дает его путь (траекторию),

$$\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {v} (\tau )\,{\text{d}}\tau =\mathbf {r} _{0}+\int _{0}^{t}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} \tau \right){\text{d}}\tau =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}.$$

Можно вывести дополнительные зависимости между перемещением, скоростью, ускорением и временем. Поскольку ускорение постоянно,

$$\mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{t}}$$

можно подставить в приведенное выше уравнение и получить:

$$\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\right)t.$$

Взаимосвязь между скоростью, положением и ускорением без явной зависимости от времени можно получить, решив среднее ускорение для времени, заменив и упростив

$$t={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {a} }}$$

$$\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ ,$$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение , которое подходит, поскольку произведения являются скалярами, а не векторами.

$$2\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.$$

Скалярное произведение можно заменить косинусом угла α между векторами (более подробную информацию см. в разделе «Геометрическая интерпретация скалярного произведения ») и векторами по их величинам, и в этом случае:

$$2\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.$$

В случае ускорения всегда в направлении движения, а направление движения должно быть положительным или отрицательным, угол между векторами ( α ) равен 0, поэтому $\cos 0=1$, и

$$|\mathbf {v} |^{2}=|\mathbf {v} _{0}|^{2}+2\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|.$$

Это можно упростить, используя обозначения для величин векторов $|\mathbf {a} |=a,|\mathbf {v} |=v,|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|=\Delta r$ где $\Delta r$ может быть любой криволинейной траекторией, поскольку вдоль этой траектории действует постоянное тангенциальное ускорение. , так

$$v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta r.$$

Это сводит параметрические уравнения движения частицы к декартовой зависимости скорости от положения. Это соотношение полезно, когда время неизвестно. Мы также знаем, что ${\textstyle \Delta r=\int v\,{\text{d}}t}$ или $\Delta r$ – площадь под графиком скорость-время.

График физики скорости и времени

Мы можем взять $\Delta r$добавив верхнюю и нижнюю области. Нижняя область представляет собой прямоугольник, а площадь прямоугольника — это $A\cdot B$ где $A$ это ширина и $B$это высота. В этом случае $A=t$ и $B=v_{0}$ ( $A$ здесь отличается от ускорения $a$). Это означает, что нижняя область $tv_{0}$. Теперь найдем верхнюю область (треугольник). Площадь треугольника равна ${\textstyle {\frac {1}{2}}BH}$ где $B$ является основой и $H$ это высота. В этом случае, $B=t$ и $H=at$ или ${\textstyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}}$. Добавление $v_{0}t$ и ${\textstyle {\frac {at^{2}}{2}}}$ приводит к уравнению $\Delta r$ приводит к уравнению ${\textstyle \Delta r=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$. Это уравнение применимо, когда конечная скорость v неизвестна.

Рисунок 2: Скорость и ускорение при неравномерном круговом движении: вектор скорости направлен по касательной к орбите, но вектор ускорения не направлен радиально внутрь из-за его тангенциальной составляющей a _θ , которая увеличивает скорость вращения: d ω /d t = | а _θ |/ р .

полярных

См. также: Обобщенные координаты , Криволинейные координаты , Ортогональные координаты и формулы Френе-Серре.

Часто бывает удобно сформулировать траекторию частицы r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) с использованием полярных координат в X – Y. плоскости В этом случае его скорость и ускорение принимают удобный вид.

Напомним, что траектория частицы P определяется ее вектором координат r, в фиксированной системе отсчета F. измеренным Когда частица движется, ее координатный вектор r ( t ) отслеживает ее траекторию, которая представляет собой кривую в пространстве, определяемую формулой:

$$\mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},$$

где x̂ , ŷ и ẑ — единичные векторы вдоль осей x , y и z системы отсчета F соответственно.

Рассмотрим частицу P , которая движется только по поверхности круглого цилиндра r ( t ) = константа, можно совместить ось z неподвижной рамки F с осью цилиндра. Затем угол θ вокруг этой оси в плоскости x – y можно использовать для определения траектории как:

$$\mathbf {r} (t)=r\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},$$

где постоянное расстояние от центра обозначается как r , а θ ( t ) является функцией времени.

Цилиндрические координаты для r ( t ) можно упростить, введя радиальные и тангенциальные единичные векторы:

$${\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }},\quad {\hat {\mathbf {\theta } }}=-\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}.$$

и их производные по времени из элементарного исчисления:

$${\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t}}=\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}.$$

$${\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(\omega {\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=\alpha {\hat {\mathbf {\theta } }}-\omega {\hat {\mathbf {r} }}.$$

$${\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t}}=-\theta {\hat {\mathbf {r} }}.$$

$${\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(-\theta {\hat {\mathbf {r} }})}{{\text{d}}t}}=-\alpha {\hat {\mathbf {r} }}-\omega ^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}.$$

Используя эти обозначения, r ( t ) принимает форму:

$$\mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.$$

В общем, траектория r ( t ) не обязана лежать на круглом цилиндре, поэтому радиус R меняется со временем, и траектория частицы в цилиндрическо-полярных координатах становится:

$$\mathbf {r} (t)=r(t){\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.$$

Где r , θ и z могут быть непрерывно дифференцируемыми функциями времени, а обозначение функции опущено для простоты. Вектор скорости v _P является производной по времени траектории r ( t ), что дает:

$$\mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=v{\hat {\mathbf {r} }}+r\mathbf {\omega } {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v({\hat {\mathbf {r} }}+{\hat {\mathbf {\theta } }})+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.$$

Аналогично ускорение a _P , которое является производной скорости v _P по времени , определяется выражением:

$$\mathbf {a} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\hat {\mathbf {r} }}+v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\right)=(a-v\theta ){\hat {\mathbf {r} }}+(a+v\omega ){\hat {\mathbf {\theta } }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.$$

Термин $-v\theta {\hat {\mathbf {r} }}$действует по направлению к центру кривизны траектории в этой точке траектории, обычно называется центростремительным ускорением . Термин $v\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}$ называется ускорением Кориолиса .

Постоянный радиус

Если траектория частицы ограничена цилиндром, то радиус r постоянен, а векторы скорости и ускорения упрощаются. Скорость v _P — это производная по времени траектории r ( t ),

$$\mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.$$

Плоские круговые траектории

Каждая частица на колесе движется по плоской круговой траектории («Кинематика машин», 1876 г.).

Частный случай траектории частицы по круговому цилиндру возникает при отсутствии движения вдоль оси z :

$$\mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},$$

где r и z ₀ — константы. В этом случае скорость v _P определяется выражением:

$$\mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }},$$

где $\omega$ - угловая скорость единичного вектора θ ^{^} вокруг оси z цилиндра.

Ускорение a _P частицы P теперь определяется выражением:

$$\mathbf {a} _{P}={\frac {{\text{d}}(v{\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=a{\hat {\mathbf {\theta } }}-v\theta {\hat {\mathbf {r} }}.$$

Компоненты

$$a_{r}=-v\theta ,\quad a_{\theta }=a,$$

называются соответственно радиальной и тангенциальной составляющими ускорения.

Обозначения угловой скорости и углового ускорения часто определяются как

$$\omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},$$

поэтому радиальные и тангенциальные компоненты ускорения для круговых траекторий также записываются как

$$a_{r}=-r\omega ^{2},\quad a_{\theta }=r\alpha .$$

Траектории точек в теле, движущемся в плоскости

Движение компонентов механической системы анализируется путем прикрепления системы отсчета к каждой детали и определения того, как различные системы отсчета движутся относительно друг друга. Если конструктивная жесткость деталей достаточна, то их деформацией можно пренебречь и использовать жесткие преобразования для определения этого относительного движения. Это сводит описание движения различных частей сложной механической системы к задаче описания геометрии каждой части и геометрической связи каждой части относительно других частей.

Геометрия — это изучение свойств фигур, которые остаются неизменными, пока пространство трансформируется различными способами; более технически, это изучение инвариантов при ряде преобразований. Эти преобразования могут вызвать смещение треугольника в плоскости, оставив при этом угол при вершине и расстояния между вершинами неизменными. Кинематику часто называют прикладной геометрией, в которой движение механической системы описывается с помощью жестких преобразований евклидовой геометрии.

Координаты точек на плоскости представляют собой двумерные векторы в R ² (двумерное пространство). Жесткие преобразования — это преобразования, сохраняющие расстояние между любыми двумя точками. Множество жестких преобразований в n -мерном пространстве называется специальной евклидовой группой на R ^н , и обозначается SE( n ) .

Смещения и движение

Движение каждого из компонентов паровой машины Бултона и Уатта (1784 г.) моделируется непрерывным набором жестких перемещений.

Положение одного компонента механической системы относительно другого определяется введением системы отсчета, скажем , M на одном из компонентов, которая перемещается относительно неподвижной системы F на другом. Жесткая трансформация или смещение M относительно F определяет относительное положение двух компонентов. Смещение состоит из комбинации вращения и перемещения .

Совокупность всех перемещений M относительно F называется конфигурационным пространством M. M Гладкая кривая из одного положения в другое в этом конфигурационном пространстве представляет собой непрерывный набор перемещений, называемый движением относительно F. F. Движение M относительно тело состоит из непрерывной совокупности вращений и перемещений.

Матричное представление

Сочетание вращения и перемещения в плоскости R ² может быть представлен матрицей определенного типа 3×3, известной как однородное преобразование. Однородное преобразование 3×3 строится из матрицы вращения A ( φ ) 2×2 и вектора перемещения 2×1 d = ( d _x , d _y ), как:

$$[T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.$$

Эти однородные преобразования выполняют жесткие преобразования в точках плоскости z = 1, то есть в точках с координатами r = ( x , y , 1).

В частности, пусть r определяет координаты точек в системе отсчета M, совпадающих с фиксированной системой отсчета F . Затем, когда начало координат M смещается вектором перемещения d относительно начала координат F и поворачивается на угол φ относительно оси x F , новые координаты в F точек в M определяются как:

$$\mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.$$

Гомогенные преобразования представляют собой аффинные преобразования . Эта формулировка необходима, поскольку не является линейным преобразованием R сдвиг ² . Однако, используя проективную геометрию, так что R ² считается подмножеством R ³ , трансляции становятся аффинными линейными преобразованиями.

Чистый перевод

Если твердое тело движется так, что его система отсчета M не вращается ( θ = 0) относительно неподвижной системы F , движение называется чистым перемещением. В этом случае траектория каждой точки тела является смещением траектории d ( t ) начала координат M, то есть:

$$\mathbf {r} (t)=[T(0,\mathbf {d} (t))]\mathbf {p} =\mathbf {d} (t)+\mathbf {p} .$$

Таким образом, для тел в чистом поступлении скорость и ускорение каждой точки P в теле определяются выражением:

$$\mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {r} }}(t)={\dot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {v} _{O},\quad \mathbf {a} _{P}={\ddot {\mathbf {r} }}(t)={\ddot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {a} _{O},$$

где точка обозначает производную по времени, а v _O и a _O — скорость и ускорение соответственно начала координат движущейся системы отсчета M . Напомним, что координатный вектор p в M постоянен, поэтому его производная равна нулю.

Вращение тела вокруг неподвижной оси

Основная статья: Вращение вокруг фиксированной оси

Рисунок 1. Вектор угловой скорости Ω направлен вверх при вращении против часовой стрелки и вниз при вращении по часовой стрелке, как указано в правиле правой руки . Угловое положение θ ( t ) меняется со временем со скоростью ω ( t ) знак равно d θ /d t .

Вращательная или угловая кинематика – это описание вращения объекта. В дальнейшем внимание ограничивается простым вращением вокруг оси фиксированной ориентации. Ось Z выбрана для удобства.

Должность

Это позволяет описать вращение как угловое положение плоской системы отсчета M относительно фиксированной F вокруг этой общей оси z . Координаты p = ( x , y ) в M связаны с координатами P = (X, Y) в F матричным уравнением:

$$\mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,$$

где

$$[A(t)]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t))\end{bmatrix}},$$

- матрица вращения, которая определяет угловое положение M относительно F как функцию времени.

Скорость

Если точка p не движется в M , ее скорость в F определяется выражением

$$\mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .$$

Удобно исключить координаты p и записать это как операцию на траектории P ( t ),

$$\mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,$$

где матрица

$$[\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},$$

известна как матрица угловой скорости M относительно F . Параметр ω — это производная по времени угла θ , то есть:

$$\omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}.$$

Ускорение

Ускорение P ( t ) в F получается как производная скорости по времени,

$$\mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},$$

который становится

$$\mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,$$

где

$$[{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},$$

- матрица углового ускорения M на F , и

$$\alpha ={\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}.$$

Тогда описание вращения включает в себя эти три величины:

• Угловое положение : ориентированное расстояние от выбранного начала координат на оси вращения до точки объекта представляет собой вектор r ( t ), определяющий точку. Вектор r ( t ) имеет некоторую проекцию (или, что то же самое, некоторую компоненту) r⊥ _{) на плоскость ,} ( t перпендикулярную оси вращения. Тогда угловое положение этой точки — это угол θ от базовой оси (обычно положительной оси x ) к вектору r _⊥ ( t ) в известном направлении вращения (обычно задаваемом правилом правой руки ).
• Угловая скорость : угловая скорость ω — это скорость, с которой угловое положение θ изменяется по отношению ко времени t :
  $$\omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}$$
  Угловая скорость представлена ​​на рисунке 1 вектором Ω , направленным вдоль оси вращения с величиной ω и смыслом, определяемым направлением вращения, заданным правилом правой руки .
• Угловое ускорение : величина углового ускорения α — это скорость, с которой угловая скорость ω изменяется по отношению ко времени t :
  $$\alpha ={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}$$

Уравнения поступательной кинематики можно легко расширить до плоской кинематики вращения для постоянного углового ускорения с простыми заменами переменных:

$$\omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!$$

$$\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}$$

$$\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t$$

$$\omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).$$

Здесь θi _— и θf _— соответственно начальное и конечное угловые положения, ωi _и . ωf _— соответственно начальная и конечная угловые скорости, а α постоянное угловое ускорение Хотя положение в пространстве и скорость в пространстве являются истинными векторами (с точки зрения их свойств при вращении), как и угловая скорость, угол сам по себе не является истинным вектором.

Траектории точек в теле, движущихся

Важные формулы кинематики определяют скорость и ускорение точек движущегося тела, когда они прослеживают траектории в трехмерном пространстве. Это особенно важно для центра масс тела, который используется для вывода уравнений движения с использованием либо второго закона Ньютона, либо уравнений Лагранжа .

Должность

Для определения этих формул движение компонента B механической системы определяется набором вращений [A( t )] и трансляций d ( t ), собранных в однородное преобразование [T( t )]=[A ( т ), д ( т )]. Если p — координаты точки P в B , измеренные в движущейся системе отсчета M , то траектория этой точки, прослеживаемая в F , определяется выражением:

$$\mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.$$

В этом обозначении не проводится различие между P = (X, Y, Z, 1) и P = (X, Y, Z), что, надеюсь, ясно из контекста.

Это уравнение траектории P можно инвертировать для вычисления координатного вектора p в M следующим образом:

$$\mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.$$

В этом выражении используется тот факт, что транспонирование матрицы вращения также является ее обратной, то есть:

$$[A(t)]^{\text{T}}[A(t)]=I.\!$$

Скорость

Скорость точки P вдоль ее траектории P ( t ) получается как производная по времени этого вектора положения,

$$\mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.$$

Точка обозначает производную по времени; поскольку p постоянно, его производная равна нулю.

Эту формулу можно изменить, чтобы получить скорость P , воздействуя на его траекторию P ( t измеренную в фиксированной системе отсчета F. ) , Подстановка обратного преобразования для p в уравнение скорости дает:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}$$

Матрица [ S ] определяется следующим образом:

$$[S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}$$

где

$$[\Omega ]={\dot {A}}A^{\text{T}},$$

– матрица угловой скорости.

Умножая на оператор [ S ], формула для скорости v _P принимает вид:

$$\mathbf {v} _{P}=[\Omega ](\mathbf {P} -\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},$$

где вектор ω — вектор угловой скорости, полученный из компонент матрицы [Ом]; вектор

$$\mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,$$

— положение P относительно начала координат O движущейся системы отсчета M ; и

$$\mathbf {v} _{O}={\dot {\mathbf {d} }},$$

скорость начала координат O. —

Ускорение

Ускорение точки P в движущемся теле B находится как производная по времени ее вектора скорости:

$$\mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S][S]\mathbf {P} .$$

Это уравнение можно сначала расширить, вычислив

$$[{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d} }}+{\ddot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v} _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}$$

и

$$[S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.$$

Формулу ускорения AP _теперь можно получить как:

$$\mathbf {A} _{P}={\dot {\Omega }}(\mathbf {P} -\mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),$$

или

$$\mathbf {A} _{P}=\alpha \times \mathbf {R} _{P/O}+\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},$$

где α — вектор углового ускорения, полученный из производной матрицы угловой скорости;

$$\mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,$$

— вектор относительного положения (положение P относительно начала координат O движущейся системы отсчета M ); и

$$\mathbf {A} _{O}={\ddot {\mathbf {d} }}$$

— ускорение начала координат движущейся системы M. отсчёта

Кинематические ограничения

Кинематические ограничения — это ограничения на движение компонентов механической системы. Можно считать, что кинематические ограничения имеют две основные формы: (i) ограничения, возникающие из шарниров, ползунков и кулачковых соединений, которые определяют конструкцию системы, называемые голономными ограничениями , и (ii) ограничения, налагаемые на скорость системы, такие как ограничение ножевого края коньков на плоской плоскости или катание без проскальзывания диска или сферы, контактирующих с плоскостью, которые называются неголономными ограничениями . Ниже приведены некоторые распространенные примеры.

Кинематическая муфта

Кинематическая муфта точно ограничивает все 6 степеней свободы.

Катиться без скольжения

Объект, катящийся по поверхности без скольжения, подчиняется условию, что скорость его центра масс равна векторному произведению его угловой скорости на вектор от точки контакта к центру масс:

$${\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.$$

Для случая объекта, который не наклоняется и не поворачивается, это сводится к $v=r\omega$.

Нерастяжимый шнур

Это тот случай, когда тела соединены идеализированной нитью, которая остается в натянутом состоянии и не может изменить длину. Ограничение состоит в том, что сумма длин всех отрезков шнура равна общей длине, и соответственно производная по времени от этой суммы равна нулю. Динамическая задача такого типа — маятник . Другой пример — барабан, вращающийся под действием силы тяжести под действием падающего груза, прикрепленного к ободу нерастяжимым шнуром. Задача равновесия (т.е. некинематическая) такого типа — это цепная линия .

Кинематические пары

Основная статья: Кинематическая пара

Рело назвал идеальные связи между компонентами, образующими кинематические пары машины . Он различал высшие пары, которые, как утверждается, имеют линейный контакт между двумя звеньями, и низшие пары, которые имеют пространственный контакт между звеньями. Дж. Филлипс показывает, что существует множество способов построения пар, не подпадающих под эту простую классификацию.

Нижняя пара

Нижняя пара — это идеальный сустав, или голономная связь, которая поддерживает контакт между точкой, линией или плоскостью движущегося твердого (трехмерного) тела с соответствующей точечной линией или плоскостью в неподвижном твердом теле. Бывают следующие случаи:

• Вращающаяся пара, или шарнирное соединение, требует, чтобы линия или ось в движущемся теле оставалась коллинеарной с линией в неподвижном теле, а плоскость, перпендикулярная этой линии в движущемся теле, поддерживала контакт с аналогичной перпендикулярной плоскостью. в фиксированном теле. Это накладывает пять ограничений на относительное перемещение звеньев, которое, следовательно, имеет одну степень свободы, то есть чистое вращение вокруг оси шарнира.
• Призматическое соединение , или ползун, требует, чтобы линия или ось в движущемся теле оставалась коллинеарной с линией в неподвижном теле, а плоскость, параллельная этой линии в движущемся теле, сохраняла контакт с аналогичной параллельной плоскостью в фиксированное тело. Это накладывает пять ограничений на относительное перемещение звеньев, которые, следовательно, имеют одну степень свободы. Эта степень свободы представляет собой расстояние скольжения вдоль линии.
• Цилиндрическое соединение требует, чтобы линия или ось в движущемся теле оставалась коллинеарной с линией в неподвижном теле. Это комбинация вращающегося и скользящего соединения. Этот сустав имеет две степени свободы. Положение движущегося тела определяется как вращением вокруг оси, так и скольжением вдоль нее.
• Сферический шарнир или шаровой шарнир требует, чтобы точка движущегося тела поддерживала контакт с точкой неподвижного тела. Этот сустав имеет три степени свободы.
• Плоское соединение требует, чтобы плоскость движущегося тела поддерживала контакт с плоскостью неподвижного тела. Этот сустав имеет три степени свободы.

Старшие пары

Вообще говоря, высшая пара — это ограничение, которое требует, чтобы кривая или поверхность движущегося тела поддерживала контакт с кривой или поверхностью неподвижного тела. Например, контакт между кулачком и его толкателем представляет собой высшую пару, называемую кулачковым соединением . Аналогично контакт между эвольвентными кривыми, образующими зацепляющиеся зубья двух шестерен, представляет собой кулачковые соединения.

Кинематические цепи

Иллюстрация четырехзвенной связи из книги «Кинематика машин», 1876 г.

Твердые тела («звенья»), соединенные кинематическими парами («сочленениями»), называются кинематическими цепями . Механизмы и роботы являются примерами кинематических цепей. Степень свободы кинематической цепи вычисляется по числу звеньев, а также количеству и типу соединений по формуле подвижности . Эту формулу можно также использовать для перечисления топологий называется синтезом типов кинематических цепей, имеющих заданную степень свободы, что в машиностроении .

Примеры

Плоские тяги с одной степенью свободы , собранные из N звеньев и j шарниров или скользящих соединений, представляют собой:

• N = 2, j = 1: двухзвенная связь — рычаг;
• N = 4, j = 4 : четырехзвенная связь ;
• N = 6, j = 7: шестизвенная навеска . Он должен иметь два звена («тройные звенья»), которые поддерживают три соединения. Существуют две различные топологии, которые зависят от того, как соединены две тройные связи. В топологии Ватта две тройные связи имеют общее соединение; в топологии Стивенсона два тройных звена не имеют общего соединения и соединены бинарными звеньями.
• N = 8, j = 10: восьмизвенная связь с 16 различными топологиями;
• N = 10, j = 13: десятизвенная связь с 230 различными топологиями;
• N = 12, j = 16: двенадцатизвенная связь с 6856 топологиями.

О более крупных цепях и топологиях их связей см. RP Sunkari и LC Schmidt , «Структурный синтез плоских кинематических цепей путем адаптации алгоритма типа Маккея», Mechanism and Machine Theory # 41, стр. 1021–1030 (2006).

См. также

• Рассеянно
• Ускорение
• Аффинная геометрия § Кинематика
• Аналитическая механика
• Прикладная механика
• Небесная механика
• Центростремительная сила
• Классическая механика
• Расстояние
• Динамика (физика)
• Фиктивная сила
• Передняя кинематика
• Четырехзвенная связь
• Обратная кинематика
• Джерк (физика)
• Законы Кеплера
• Кинематическая муфта
• Кинематическая схема
• Кинематический синтез
• Кинетика (физика)
• Движение (физика)
• Орбитальная механика
• Статика
• Скорость
• Интегральная кинематика
• Критерий Чебычева–Грюблера–Куцбаха

Дальнейшее чтение

• Кутсьер, Теун (1994), «§8.3 Кинематика», в Граттан-Гиннессе, Айвор (ред.), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук , том. 2, Рутледж , стр. 994–1001, ISBN.  0-415-09239-6
• Мун, Фрэнсис К. (2007). Машины Леонардо да Винчи и Франца Рело, Кинематика машин от Возрождения до XX века . Спрингер. ISBN  978-1-4020-5598-0 .
• Эдуард Этюд (1913) переводчик Д. Х. Дельфениха, "Основы и цели аналитической кинематики" .

Внешние ссылки

• Java-апплет 1D-кинематики
• Physclips: Механика с анимацией и видеоклипами от Университета Нового Южного Уэльса.
• Цифровая библиотека кинематических моделей для проектирования (KMODDL) , в которой представлены фильмы и фотографии сотен рабочих моделей механических систем Корнелльского университета , а также библиотека электронных книг с классическими текстами по механическому проектированию и машиностроению.
• Микродюймовое позиционирование с помощью кинематических компонентов