Уравнения Эйлера (динамика твердого тела)

В классической механике уравнения вращения Эйлера представляют собой векторное квазилинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка , описывающее вращение твердого тела с использованием вращающейся системы отсчета с угловой скоростью ω, оси которой неподвижны к телу. Их общая векторная форма:

\mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .

где M — приложенные крутящие моменты , а I — матрица инерции . Вектор ${\dot {\boldsymbol {\omega }}}$ это угловое ускорение . Еще раз обратите внимание, что все величины определяются во вращающейся системе отсчета.

В ортогональных главных осях координат инерции уравнения принимают вид

{\begin{aligned}I_{1}\,{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\,\omega _{2}\,\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}\,{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\,\omega _{3}\,\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}\,{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\,\omega _{1}\,\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}

где M _k — компоненты приложенных моментов, I _k — главные моменты инерции и ω _k — компоненты угловой скорости.

В отсутствие приложенных моментов получается волчок Эйлера . Когда крутящие моменты возникают под действием силы тяжести , существуют особые случаи, когда движение волчка интегрируемо .

Вывод

В инерциальной системе отсчета (с индексом «in») второй закон Эйлера гласит, что производная по времени углового момента L равна приложенному крутящему моменту :

{\frac {d\mathbf {L} _{\text{in}}}{dt}}=\mathbf {M} _{\text{in}}

Для точечных частиц, у которых внутренние силы являются центральными , это можно вывести с помощью второго закона Ньютона . Для твердого тела связь между угловым моментом и моментом инерции I _{определяется} как

\mathbf {L} _{\text{in}}=\mathbf {I} _{\text{in}}{\boldsymbol {\omega }}

В инерциальной системе дифференциальное уравнение не всегда помогает при решении задачи движения обычного вращающегося твердого тела, поскольку и I _in , и ω могут меняться во время движения. Вместо этого можно перейти к системе координат, закрепленной во вращающемся теле, в которой тензор момента инерции постоянен. При использовании такой системы отсчета, как система в центре масс, положение системы выпадает из уравнений. В любой вращающейся системе отсчета производную по времени необходимо заменить так, чтобы уравнение приняло вид

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {rot} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} =\mathbf {M}

и поэтому возникает векторное произведение, см. производную по времени во вращающейся системе отсчета . Векторные составляющие момента в инерциальной и вращающейся системах отсчета связаны соотношением $\mathbf {M} _{\text{in}}=\mathbf {Q} \mathbf {M} ,$ где $\mathbf {Q}$ — тензор вращения (не матрица вращения ), ортогональный тензор, связанный с вектором угловой скорости соотношением ${\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}={\dot {\mathbf {Q} }}\mathbf {Q} ^{-1}{\boldsymbol {u}}$ для любого вектора u . Сейчас $\mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}$ подставляется и производные по времени берутся во вращающейся системе отсчета, при этом понимая, что положения частиц и тензор инерции не зависят от времени. Это приводит к общей векторной форме уравнений Эйлера, которые справедливы в такой системе отсчета.

\mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .

Уравнения также получены из законов Ньютона при обсуждении результирующего крутящего момента .

В более общем смысле, согласно правилам тензорного преобразования, любой тензор ранга 2 $\mathbf {T}$ имеет производную по времени $\mathbf {\dot {T}}$ такой, что для любого вектора $\mathbf {u}$ , у одного есть $\mathbf {\dot {T}} \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {T} \mathbf {u} )-\mathbf {T} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u} )$ . Это дает уравнения Эйлера путем подстановки ${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .$

Форма главных осей

При выборе рамки так, чтобы ее оси совпадали с главными осями тензора инерции, матрица ее компонентов является диагональной, что еще больше упрощает расчеты. Как описано в статье о моменте инерции , угловой момент L можно записать

\mathbf {L} =L_{1}\mathbf {e} _{1}+L_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}I_{i}\omega _{i}\mathbf {e} _{i}

Также в некоторых системах, не привязанных к телу, можно получить такие простые (диагональные тензорные) уравнения для скорости изменения момента импульса. Тогда ω должна быть угловой скоростью вращения осей этой системы, а не вращения тела. Однако по-прежнему требуется, чтобы выбранные оси оставались главными осями инерции. Полученная форма уравнений вращения Эйлера полезна для вращательно-симметричных объектов, которые позволяют свободно выбирать некоторые из главных осей вращения.

Решения для особых случаев

Прецессии без крутящего момента

без крутящего момента Прецессии являются нетривиальным решением ситуации, когда крутящий момент в правой части равен нулю. Когда I не является постоянным во внешней системе отсчета (т. е. тело движется и его тензор инерции не является постоянно диагональным), тогда меня нельзя протянуть через оператор производной, действующий на L . В этом случае I ( t ) и ω ( t ) изменяются вместе таким образом, что производная их произведения по-прежнему равна нулю. Это движение можно представить с помощью конструкции Пуансо .

Обобщенные уравнения Эйлера

Уравнения Эйлера можно обобщить на любую простую алгебру Ли . ^{[ 1 ]} Исходные уравнения Эйлера возникли в результате фиксации алгебры Ли как ${\mathfrak {so}}(3)$ , с генераторами ${t_{1},t_{2},t_{3}}$ удовлетворение отношения $[t_{a},t_{b}]=\epsilon _{abc}t_{c}$ . Тогда, если ${\boldsymbol {\omega }}(t)=\sum _{a}\omega _{a}(t)t_{a}$ (где $t$ — временная координата, не путать с базисными векторами $t_{a}$ ) представляет собой ${\mathfrak {so}}(3)$ -значная функция времени, и $\mathbf {I} =\mathrm {diag} (I_{1},I_{2},I_{3})$ (относительно базиса алгебры Ли), то (незатянутые) исходные уравнения Эйлера можно записать ^{[ 2 ]} $\mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}=[\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\omega }}].$ Чтобы определить $\mathbf {I}$ независимо от базиса, это должно быть самосопряженное отображение на алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ относительно инвариантной билинейной формы на ${\mathfrak {g}}$ . Это выражение легко обобщается на произвольную простую алгебру Ли, скажем, в стандартной классификации простых алгебр Ли.

Это также можно рассматривать как парами Лакса формулировку обобщенных уравнений Эйлера , что предполагает их интегрируемость.

См. также

Ссылки

^ Хитчин, Найджел Дж.; Сигал, Грэм Б.; Уорд, Ричард С.; Сигал, Великобритания; Уорд, РС (2011). Интегрируемые системы: твисторы, группы петель и римановы поверхности; на основе лекций, прочитанных на конференции по интегрируемым системам, организованной Н. М. Дж. Вудхаусом и состоявшейся в Математическом институте Оксфордского университета в сентябре 1997 года . Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 65. ИСБН 9780198504214 .
^ Арнольд, Владимир. Собрание сочинений . Том. 2. спрингер. п. 37.

CA Truesdell, III (1991) Первый курс рациональной механики сплошной среды. Том. Т. 1: Общие понятия , 2-е изд., Академическое издательство. ISBN 0-12-701300-8 . Секты. И.8-10.
К. А. Трусделл, III и Р. А. Тупен (1960) Классические теории поля , в С. Флюгге (ред.) Энциклопедия физики. Том. III/1: Принципы классической механики и теории поля , Springer-Verlag. Секты. 166–168, 196–197 и 294.
Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. (1976) Механика , 3-е. изд., Пергамон Пресс. ISBN 0-08-021022-8 (твердый переплет) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкая обложка).
Гольдштейн Х. (1980) Классическая механика , 2-е изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9
Саймон КР. (1971) Механика , 3-я. изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7

[HSW-1] Хитчин, Найджел Дж.; Сигал, Грэм Б.; Уорд, Ричард С.; Сигал, Великобритания; Уорд, РС (2011). Интегрируемые системы: твисторы, группы петель и римановы поверхности; на основе лекций, прочитанных на конференции по интегрируемым системам, организованной Н. М. Дж. Вудхаусом и состоявшейся в Математическом институте Оксфордского университета в сентябре 1997 года . Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 65. ИСБН 9780198504214 .

[2] Арнольд, Владимир. Собрание сочинений . Том. 2. спрингер. п. 37.

[ 1 ]

[ 2 ]