Гармонический осциллятор

В классической механике — гармонический осциллятор это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает возвращающую силу F , пропорциональную смещению x :

{\vec {F}}=-k{\vec {x}},

где k — положительная константа .

Если F — единственная сила, действующая на систему, система называется простым гармоническим осциллятором и совершает простое гармоническое движение : синусоидальные колебания около точки равновесия с постоянной амплитудой и постоянной частотой (которая не зависит от амплитуды ).

Если также присутствует сила трения ( затухания ), пропорциональная скорости , гармонический осциллятор описывается как затухающий осциллятор . В зависимости от коэффициента трения система может:

Колебания с частотой ниже, чем в незатухающем случае, и с уменьшающейся со временем амплитудой ( незатухающий генератор).
Распад до положения равновесия, без колебаний ( перезатухающий осциллятор).

Граничное решение между недозатухающим и перезатухающим осциллятором возникает при определенном значении коэффициента трения и называется критически затухающим .

Если присутствует внешняя сила, зависящая от времени, гармонический осциллятор описывается как управляемый осциллятор .

Механические примеры включают маятники (с небольшими углами смещения ), массы, соединенные с пружинами , и акустические системы . Другие аналогичные системы включают электрические гармонические генераторы, такие как схемы RLC . Модель гармонического осциллятора очень важна в физике, потому что любая масса, на которую действует сила, находящаяся в устойчивом равновесии, действует как гармонический осциллятор для малых вибраций. Гармонические генераторы широко распространены в природе и используются во многих искусственных устройствах, таких как часы и радиосхемы. Они являются источником практически всех синусоидальных колебаний и волн.

Простой гармонический генератор [ править ]

Гармонический осциллятор с массой и пружиной

Простые гармонические колебания

Простой гармонический осциллятор — это осциллятор, который не является ни возбужденным, ни затухающим . Он состоит из массы m , на которую действует единственная сила F , которая тянет массу в направлении точки $x = 0$ и зависит только от положения x массы и константы k . Баланс сил ( второй закон Ньютона ) для системы равен

F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}=-kx.

Решая это дифференциальное уравнение , находим, что движение описывается функцией

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi ),

где

\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.

Движение периодическое , повторяющееся синусоидально с постоянной А. амплитудой Помимо амплитуды движение простого гармонического осциллятора характеризуется его периодом $T=2\pi /\omega$ , время одного колебания или его частота $f=1/T$ , количество циклов в единицу времени. Положение в данный момент времени t также зависит от фазы φ , которая определяет начальную точку синусоидальной волны. Период и частота определяются размером массы m и силовой постоянной k , а амплитуда и фаза определяются начальным положением и скоростью .

Скорость и ускорение простого гармонического осциллятора колеблются с той же частотой, что и положение, но со смещенными фазами. Скорость максимальна при нулевом перемещении, а ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Потенциальная энергия, запасенная в простом гармоническом генераторе в положении x , равна

U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.

Затухающий гармонический генератор [ править ]

Видеоклип, демонстрирующий затухающий гармонический генератор, состоящий из динамической тележки между двумя пружинами. Акселерометр . наверху тележки показывает величину и направление ускорения

В реальных генераторах трение или затухание замедляет движение системы. Из-за силы трения скорость уменьшается пропорционально действующей силе трения. В то время как в простом неприводном гармоническом осцилляторе единственной силой, действующей на массу, является возвращающая сила, в затухающем гармоническом осцилляторе имеется, кроме того, сила трения, которая всегда направлена против движения. Во многих вибрирующих системах силу трения F _f можно смоделировать как пропорциональную скорости v объекта: $F f = - cv$ , где c называется коэффициентом вязкого демпфирования .

баланс сил ( второй закон Ньютона ) для затухающих гармонических осцилляторов равен Тогда ^[1]^[2]^[3]

F=-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},

которое можно переписать в виде

{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x=0,

где

${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ называется «незатухающей угловой частотой генератора»,
${\textstyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$ называется «коэффициентом демпфирования».

Величина коэффициента затухания ζ критически определяет поведение системы. Затухающий гармонический генератор может быть:

Сверхзатухающее ( ζ > 1): система возвращается ( экспоненциально затухает ) в устойчивое состояние без колебаний. Большие значения коэффициента демпфирования ζ возвращаются к равновесию медленнее.
Критическое затухание ( ζ = 1): система возвращается в устойчивое состояние как можно быстрее без колебаний (хотя может произойти перерегулирование, если начальная скорость не равна нулю). Это часто требуется для демпфирования таких систем, как двери.
Недостаточное демпфирование ( ζ < 1): система колеблется (с несколько иной частотой, чем в случае без демпфирования) с постепенно уменьшающейся до нуля амплитудой. Угловая частота недозатухающего гармонического генератора определяется выражением ${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$ экспоненциальное затухание недозатухающего гармонического осциллятора определяется выражением $\lambda =\omega _{0}\zeta .$

Добротность затухающего генератора определяется как

Q=2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy lost per cycle}}}.

Q связана с коэффициентом демпфирования соотношением ${\textstyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}$

генераторы Управляемые гармонические

Управляемые гармонические генераторы — это затухающие генераторы, на которые дополнительно влияет внешняя сила F ( t ).

Второй закон Ньютона принимает вид

F(t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.

Обычно его переписывают в виде

{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}}.

Это уравнение можно решить точно для любой движущей силы, используя решения z ( t ), которые удовлетворяют невынужденному уравнению

{\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}z=0,

и которые можно выразить как затухающие синусоидальные колебания:

z(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right),

в случае, когда

ζ \leq 1

. Амплитуда A и фаза φ определяют поведение, необходимое для соответствия начальным условиям.

Пошаговый ввод [ править ]

В случае $ζ <1$ и вводе единичного шага с $x (0) = 0$ :

{\frac {F(t)}{m}}={\begin{cases}\omega _{0}^{2}&t\geq 0\\0&t<0\end{cases}}

решение

x(t)=1-e^{-\zeta \omega _{0}t}{\frac {\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right)}{\sin(\varphi )}},

с фазой φ , заданной выражением

\cos \varphi =\zeta .

Время, необходимое осциллятору для адаптации к изменившимся внешним условиям, имеет порядок $τ = 1/(ζω 0)$ . В физике адаптацию называют релаксацией , а τ называют временем релаксации.

В электротехнике время, кратное τ , называется временем установления , т.е. временем, необходимым для обеспечения того, чтобы сигнал находился в пределах фиксированного отклонения от конечного значения, обычно в пределах 10%. Термин «перерегулирование» относится к тому, насколько максимум реакции превышает конечное значение, а «недорегулирование» относится к тому, насколько реакция падает ниже конечного значения в течение времени, следующего за максимумом реакции.

движущая сила Синусоидальная

В случае синусоидальной движущей силы:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}F_{0}\sin(\omega t),

где

F_{0}

- амплитуда возбуждения, а

\omega

возбуждения — частота синусоидального приводного механизма. Этот тип системы появляется в от переменного тока с приводом цепях RLC ( резистор - индуктор - конденсатор ) и системах с управляемыми пружинами, имеющими внутреннее механическое сопротивление или внешнее сопротивление воздуха .

Общее решение представляет собой сумму переходного решения, зависящего от начальных условий, и установившегося режима , не зависящего от начальных условий и зависящего только от амплитуды возбуждения. $F_{0}$ , частота движения $\omega$ , незатухающая угловая частота $\omega _{0}$ и коэффициент демпфирования $\zeta$ .

Стационарное решение пропорционально движущей силе с индуцированным изменением фазы. $\varphi$ :

x(t)={\frac {F_{0}}{mZ_{m}\omega }}\sin(\omega t+\varphi ),

где

Z_{m}={\sqrt {\left(2\omega _{0}\zeta \right)^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}

— абсолютное значение импеданса или функции линейного отклика , и

\varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi

– фаза колебания относительно движущей силы. Значение фазы обычно принимается в диапазоне от -180° до 0 (то есть оно представляет собой задержку фазы как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента арктанга).

Для определенной движущей частоты, называемой резонансом или резонансной частотой. ${\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}$ , амплитуда (для заданного $F_{0}$ ) является максимальным. Этот резонансный эффект возникает только тогда, когда $\zeta <1/{\sqrt {2}}$ , т.е. для систем со значительным занижением демпфирования. Для сильно недодемпфированных систем значение амплитуды может стать весьма большим вблизи резонансной частоты.

Переходные решения такие же, как и невынужденные ( $F_{0}=0$ ) затухающий гармонический осциллятор и представляет собой реакцию системы на другие события, произошедшие ранее. Временные решения обычно исчезают достаточно быстро, чтобы их можно было игнорировать.

Параметрические генераторы [ править ]

Параметрический генератор — это управляемый гармонический генератор, в котором энергия возбуждения обеспечивается за счет изменения параметров генератора, таких как демпфирующая или восстанавливающая сила. Знакомый пример параметрического колебания — «качание» на качелях на детской площадке . ^[4]^[5]^[6]Человек на движущихся качелях может увеличивать амплитуду колебаний качелей без применения какой-либо внешней движущей силы (толчков), изменяя момент инерции качелей путем раскачивания вперед и назад («качания») или попеременного стояния и приседания. в ритме колебаний качелей. Изменение параметров приводит в движение систему. Примерами параметров, которые можно изменять, являются резонансная частота. $\omega$ и демпфирование $\beta$ .

Параметрические генераторы используются во многих приложениях. Классический параметрический генератор варакторов колеблется, когда емкость диода периодически изменяется. Схема, которая изменяет емкость диода, называется «насосом» или «драйвером». В микроволновой электронике параметрические генераторы на основе волновода / YAG работают таким же образом. Проектировщик периодически изменяет параметр, чтобы вызвать колебания.

Параметрические генераторы были разработаны как малошумящие усилители, особенно в радио- и микроволновом диапазоне частот. Тепловой шум минимален, поскольку изменяется реактивное сопротивление (а не сопротивление). Другим распространенным применением является преобразование частоты, например, преобразование звуковых частот в радиочастоты. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную лазерную волну в две выходные волны более низкой частоты ( $\omega _{s},\omega _{i}$ ).

Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от принуждения, поскольку действие проявляется как изменяющаяся во времени модификация параметра системы. Этот эффект отличается от регулярного резонанса, поскольку он демонстрирует явление неустойчивости .

универсального Уравнение осциллятора

Уравнение

{\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=0

известно как уравнение универсального осциллятора , поскольку к этому виду можно привести все линейные колебательные системы второго порядка. ^{[ нужна цитата ]} Это делается посредством обезразмеривания .

Если вынуждающая функция равна $f (t) = cos(ωt) = cos(ωt c τ) = cos(ωτ)$ , где $ω = ωt c$ , уравнение принимает вид

{\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau ).

Решение этого дифференциального уравнения содержит две части: «переходную» и «стационарную».

Переходное решение [ править ]

Решение, основанное на решении обыкновенного дифференциального уравнения , для произвольных констант c ₁ и c ₂

q_{t}(\tau )={\begin{cases}e^{-\zeta \tau }\left(c_{1}e^{\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}+c_{2}e^{-\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right)&\zeta >1{\text{ (overdamping)}}\\e^{-\zeta \tau }(c_{1}+c_{2}\tau )=e^{-\tau }(c_{1}+c_{2}\tau )&\zeta =1{\text{ (critical damping)}}\\e^{-\zeta \tau }\left[c_{1}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)+c_{2}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)\right]&\zeta <1{\text{ (underdamping)}}\end{cases}}

Переходное решение не зависит от вынуждающей функции.

Стационарное решение [ править ]

Примените « метод комплексных переменных », решив приведенное ниже вспомогательное уравнение, а затем найдя действительную часть его решения:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau )+i\sin(\omega \tau )=e^{i\omega \tau }.

Предположим, что решение имеет вид

q_{s}(\tau )=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.

Его производные от нулевого до второго порядка равны

q_{s}=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} q_{s}}{\mathrm {d} \tau }}=i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}q_{s}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=-\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.

Подстановка этих величин в дифференциальное уравнение дает

-\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+2\zeta i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}=(-\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A)e^{i(\omega \tau +\varphi )}=e^{i\omega \tau }.

Деление на экспоненциальный член слева дает

-\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A=e^{-i\varphi }=\cos \varphi -i\sin \varphi .

Приравнивание действительной и мнимой частей приводит к двум независимым уравнениям.

A(1-\omega ^{2})=\cos \varphi ,\quad 2\zeta \omega A=-\sin \varphi .

Амплитудная часть [ править ]

Возведение обоих уравнений в квадрат и их сложение дает

\left.{\begin{aligned}A^{2}(1-\omega ^{2})^{2}&=\cos ^{2}\varphi \\(2\zeta \omega A)^{2}&=\sin ^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow A^{2}[(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}]=1.

Поэтому,

A=A(\zeta ,\omega )=\operatorname {sgn} \left({\frac {-\sin \varphi }{2\zeta \omega }}\right){\frac {1}{\sqrt {(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}}}}.

Сравните этот результат с разделом теории о резонансе , а также «амплитудной частью» RLC -цепи . Эта амплитудная функция особенно важна при анализе и понимании частотной характеристики систем второго порядка.

Фазовая часть [ править ]

Чтобы найти $φ$ , разделите оба уравнения, чтобы получить

\tan \varphi =-{\frac {2\zeta \omega }{1-\omega ^{2}}}={\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}~~\implies ~~\varphi \equiv \varphi (\zeta ,\omega )=\arctan \left({\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}\right)+n\pi .

Эта фазовая функция особенно важна при анализе и понимании частотной характеристики систем второго порядка.

Полное решение [ править ]

Объединение амплитудной и фазовой частей приводит к установившемуся решению.

q_{s}(\tau )=A(\zeta ,\omega )\cos(\omega \tau +\varphi (\zeta ,\omega ))=A\cos(\omega \tau +\varphi ).

Решение исходного уравнения универсального осциллятора представляет собой суперпозицию (сумму) переходного и установившегося решений:

q(\tau )=q_{t}(\tau )+q_{s}(\tau ).

системы Эквивалентные

Гармонические осцилляторы, встречающиеся во многих областях техники, эквивалентны в том смысле, что их математические модели идентичны (см. уравнение универсального осциллятора выше). Ниже представлена таблица, показывающая аналогичные величины в четырехгармонических колебательных системах в механике и электронике. Если аналогичным параметрам в одной строке таблицы присвоены численно равные значения, поведение генераторов - форма их выходного сигнала, резонансная частота, коэффициент затухания и т. д. - будут одинаковыми.

Трансляционный механический	Ротационная механическая	Схема серии RLC	Параллельная схема RLC
Позиция $x$	Угол $\theta$	Заряжать $q$	Потоковая связь $\varphi$
Скорость ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$	Угловая скорость ${\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$	Текущий ${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}$	Напряжение ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}$
Масса $m$	Момент инерции $I$	Индуктивность $L$	Емкость $C$
Импульс $p$	Угловой момент $L$	Потоковая связь $\varphi$	Заряжать $q$
Пружинная константа $k$	Константа кручения $\mu$	Эластичность $1/C$	Магнитное сопротивление $1/L$
Демпфирование $c$	Вращательное трение $\Gamma$	Сопротивление $R$	проводимость $G=1/R$
Движущая сила $F(t)$	привода Крутящий момент $\tau (t)$	Напряжение $v$	Текущий $i$
Незатухающая резонансная частота $f_{n}$ :
${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\mu }{I}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$
Коэффициент демпфирования $\zeta$ :
${\frac {c}{2}}{\sqrt {\frac {1}{km}}}$	${\frac {\Gamma }{2}}{\sqrt {\frac {1}{I\mu }}}$	${\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}$	${\frac {G}{2}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}$
Дифференциальное уравнение:
$m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F$	$I{\ddot {\theta }}+\Gamma {\dot {\theta }}+\mu \theta =\tau$	$L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+q/C=v$	$C{\ddot {\varphi }}+G{\dot {\varphi }}+\varphi /L=i$

консервативную силу Заявление в

Проблема простого гармонического осциллятора часто возникает в физике, поскольку масса, находящаяся в равновесии под действием любой консервативной силы , в пределе малых движений ведет себя как простой гармонический осциллятор.

Консервативная сила – это сила, которая связана с потенциальной энергией . Функция потенциальной энергии гармонического осциллятора равна

V(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.

Учитывая произвольную функцию потенциальной энергии $V(x)$ , можно выполнить разложение Тейлора по $x$ около минимума энергии ( $x=x_{0}$ ) для моделирования поведения небольших отклонений от равновесия.

V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.

Потому что $V(x_{0})$ является минимумом, первая производная оценивается в $x_{0}$ должно быть равно нулю, поэтому линейный член выпадает:

V(x)=V(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.

Постоянный член $V (x 0)$ является произвольным и, следовательно, может быть опущен, а преобразование координат позволяет восстановить форму простого гармонического осциллятора:

V(x)\approx {\tfrac {1}{2}}V''(0)\cdot x^{2}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.

Таким образом, для произвольной функции потенциальной энергии $V(x)$ с ненулевой второй производной можно использовать решение простого гармонического осциллятора, чтобы получить приближенное решение для небольших возмущений вокруг точки равновесия.

Примеры [ править ]

Простой маятник [ править ]

В предположении отсутствия демпфирования дифференциальное уравнение, описывающее простой маятник длины $l$ , где $g$ - местное ускорение силы тяжести ,

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0.

Если максимальное смещение маятника мало, можно воспользоваться приближением $\sin \theta \approx \theta$ и вместо этого рассмотрим уравнение

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0.

Общее решение этого дифференциального уравнения есть

\theta (t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\varphi \right),

где

A

и

\varphi

являются константами, зависящими от начальных условий. Использование в качестве начальных условий

\theta (0)=\theta _{0}

и

{\dot {\theta }}(0)=0

, решение дается выражением

\theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right),

где

\theta _{0}

- наибольший угол, которого достигает маятник (т.е.

\theta _{0}

– амплитуда маятника). Период , время одного полного колебания, определяется выражением

\tau =2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}={\frac {2\pi }{\omega }},

что является хорошим приближением к реальному периоду, когда

\theta _{0}

маленький. Заметим, что в этом приближении период

\tau

не зависит от амплитуды

\theta _{0}

. В приведенном выше уравнении

\omega

представляет угловую частоту.

Пружинно-массовая система [ править ]

Когда пружина растягивается или сжимается массой, пружина развивает восстанавливающую силу. Закон Гука дает соотношение силы, действующей на пружину, когда пружина сжимается или растягивается на определенную длину:

F(t)=-kx(t),

где F — сила, k — жесткость пружины, а x — смещение массы относительно положения равновесия. Знак минус в уравнении указывает, что сила, действующая со стороны пружины, всегда действует в направлении, противоположном смещению (т. е. сила всегда действует в направлении нулевого положения), и таким образом предотвращает отлет массы в бесконечность.

Используя либо баланс сил, либо энергетический метод, можно легко показать, что движение этой системы задается следующим дифференциальным уравнением:

F(t)=-kx(t)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=ma,

последнее является вторым законом движения Ньютона .

Если начальное перемещение равно A и начальная скорость отсутствует, решение этого уравнения имеет вид

x(t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).

Учитывая идеальную безмассовую пружину, $m$ это масса на конце пружины. Если сама пружина имеет массу, ее эффективную массу необходимо включить в $m$ .

в системе пружина- демпфирование Изменение энергии

С точки зрения энергии все системы обладают двумя видами энергии: потенциальной энергией и кинетической энергией . Когда пружина растягивается или сжимается, она сохраняет потенциальную энергию упругости, которая затем преобразуется в кинетическую энергию. Потенциальная энергия внутри пружины определяется уравнением ${\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

Когда пружина растягивается или сжимается, кинетическая энергия массы преобразуется в потенциальную энергию пружины. В силу сохранения энергии, предполагая, что исходная точка определена в положении равновесия, когда пружина достигает максимальной потенциальной энергии, кинетическая энергия массы равна нулю. Когда пружина освобождается, она пытается вернуться в равновесие, и вся ее потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию массы.

Определение терминов [ править ]

Символ	Определение	Размеры	единицы СИ
$a$	Ускорение массы	${\mathsf {LT^{-2}}}$	РС ²
$A$	Пиковая амплитуда колебаний	${\mathsf {L}}$	м
$c$	Коэффициент вязкостного демпфирования	${\mathsf {MT^{-1}}}$	Н·с/м
$f$	Частота	${\mathsf {T^{-1}}}$	Гц
$F$	Движущая сила	${\mathsf {MLT^{-2}}}$	Н
$g$	Ускорение силы тяжести на поверхности Земли	${\mathsf {LT^{-2}}}$	РС ²
$i$	Воображаемая единица, $i^{2}=-1$	—	—
$k$	Пружинная константа	${\mathsf {MLT^{-2}}}$	Н/м
$\mu$	Константа торсионной пружины	${\mathsf {ML^{2}T^{-2}}}$	Нм/рад
$m,M$	Масса	${\mathsf {M}}$	кг
$Q$	Фактор качества	—	—
$T$	Период колебаний	${\mathsf {T}}$	с
$t$	Время	${\mathsf {T}}$	с
$U$	Потенциальная энергия, запасенная в генераторе	${\mathsf {ML^{2}T^{-2}}}$	Дж
$x$	Положение массы	${\mathsf {L}}$	м
$\zeta$	Коэффициент демпфирования	—	—
$\varphi$	Сдвиг фазы	—	рад
$\omega$	Угловая частота	${\mathsf {T^{-1}}}$	ряд/ы
$\omega _{0}$	Естественная резонансная угловая частота	${\mathsf {T^{-1}}}$	ряд/ы

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Фаулз и Кэссидей (1986 , стр. 86)
^ Крейциг (1972 , стр. 65)
^ Типы (1998 , стр. 369, 389)
^ Кейс, Уильям. «Два способа катания детских качелей» . Архивировано из оригинала 9 декабря 2011 года . Проверено 27 ноября 2011 г.
^ Кейс, Всемирный банк (1996). «Накачка махов из положения стоя». Американский журнал физики . 64 (3): 215–220. Бибкод : 1996AmJPh..64..215C . дои : 10.1119/1.18209 .
^ Роура, П.; Гонсалес, JA (2010). «К более реалистичному описанию качающейся накачки за счет обмена угловым моментом». Европейский журнал физики . 31 (5): 1195–1207. Бибкод : 2010EJPh...31.1195R . дои : 10.1088/0143-0807/31/5/020 . S2CID 122086250 .

Ссылки [ править ]

Фаулз, Грант Р.; Кэссидей, Джордж Л. (1986), Аналитическая механика (5-е изд.), Форт-Уэрт: Издательство Saunders College Publishing , ISBN 0-03-089725-4 , LCCN 93085193
Хайек, Сабих И. (15 апреля 2003 г.). «Механическая вибрация и демпфирование». Энциклопедия прикладной физики Издательство ВИЛИ-ВЧ и Ко КГаА. дои : 10.1002/3527600434.eap231 . ISBN 9783527600434 .
Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2003). Физика для ученых и инженеров . Брукс/Коул. ISBN 0-534-40842-7 .
Типлер, Пол (1998). Физика для ученых и инженеров: Vol. 1 (4-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN 1-57259-492-6 .
Уайли, ЧР (1975). Высшая инженерная математика (4-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-072180-7 .

Внешние ссылки [ править ]

Гармонический осциллятор из «Фейнмановских лекций по физике»

[1] Фаулз и Кэссидей (1986 , стр. 86)

[2] Крейциг (1972 , стр. 65)

[3] Типы (1998 , стр. 369, 389)

[Case-4] Кейс, Уильям. «Два способа катания детских качелей» . Архивировано из оригинала 9 декабря 2011 года . Проверено 27 ноября 2011 г.

[Case96-5] Кейс, Всемирный банк (1996). «Накачка махов из положения стоя». Американский журнал физики . 64 (3): 215–220. Бибкод : 1996AmJPh..64..215C . дои : 10.1119/1.18209 .

[Roura-6] Роура, П.; Гонсалес, JA (2010). «К более реалистичному описанию качающейся накачки за счет обмена угловым моментом». Европейский журнал физики . 31 (5): 1195–1207. Бибкод : 2010EJPh...31.1195R . дои : 10.1088/0143-0807/31/5/020 . S2CID 122086250 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]