Жозеф-Луи Лагранж

«Лагранж» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о солдате, см. Жозеф Лагранж (солдат) . Чтобы узнать о других значениях, см. Лагранж (значения) .

Жозеф-Луи Лагранж
Рожденный	Джузеппе Лодовико Лагранджа ( 1736-01-25 ) 25 января 1736 г. Турин , Королевство Сардиния
Умер	10 апреля 1813 г. (10 апреля 1813 г.) (77 лет) Париж, Первая Французская империя
Гражданство	Сардиния Французская империя
Альма-матер	Туринский университет
Известный	(См. список) Аналитическая механика Вариационное исчисление Небесная механика Математический анализ Теория чисел Теория уравнений
Научная карьера
Поля	Математика Астрономия Механика
Учреждения	Нормальная школа Политехническая школа
Научные консультанты	Леонард Эйлер (эпистолярный корреспондент) Джованни Баттиста Беккариа
Известные студенты	Жозеф Фурье Джованни Плана Симеон Пуассон

Жозеф-Луи Лагранж (урожденный Джузеппе Луиджи Лагранджа золото Джузеппе Людовико Де ла Гранж Турнье ; 25 января 1736 — 10 апреля 1813), также известный как Джузеппе Луиджи Лагранж. или Лагранжа , был итальянским математиком, физиком и астрономом , позже натурализовавшимся французом. Он внес значительный вклад в области анализа , теории чисел , а также классической и небесной механики .

В 1766 году по рекомендации Леонарда Эйлера и Даламбера Лагранж сменил Эйлера на посту директора по математике в Прусской академии наук в Берлине, Пруссия , где он проработал более двадцати лет, выпустив множество томов работ и выиграв несколько премий. Французской академии наук . Трактат Лагранжа по аналитической механике ( Mécanique analytique , 4. ed., 2 vols. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1788–89), написанный в Берлине и впервые опубликованный в 1788 году, предложил наиболее полную трактовку классической механики со времен Ньютона и легли в основу развития математической физики в XIX веке.

В 1787 году в возрасте 51 года он переехал из Берлина в Париж и стал членом Французской академии наук. Он оставался во Франции до конца своей жизни. Он сыграл важную роль в процессе перехода к десятичной системе координат в революционной Франции , стал первым профессором анализа в Политехнической школе после ее открытия в 1794 году, был одним из основателей Бюро долгот и стал сенатором в 1799 году.

вклад

Лагранж был одним из создателей вариационного исчисления , выведя уравнения Эйлера–Лагранжа для экстремумов функционалов . Он расширил метод, включив в него возможные ограничения, придя к методу множителей Лагранжа . Лагранж изобрел метод решения дифференциальных уравнений , известный как вариация параметров , применил дифференциальное исчисление к теории вероятностей и работал над решением алгебраических уравнений . Он доказал, что каждое натуральное число представляет собой сумму четырёх квадратов . Его трактат «Теория аналитических функций» заложил некоторые основы теории групп , предвосхищая Галуа . В исчислении Лагранж разработал новый подход к интерполяции и теореме Тейлора . Он изучал проблему трех тел для Земли, Солнца и Луны (1764 г.) и движение спутников Юпитера (1766 г.), а в 1772 году нашел решения этой проблемы для особых случаев, которые дают то, что сейчас известно как точки Лагранжа . Лагранж наиболее известен тем, что превратил механику Ньютона в раздел анализа. Лагранжева механика . Он представил механические «принципы» как простые результаты вариационного исчисления.

Биография

На вид он был среднего роста, слегка сложенный, с бледно-голубыми глазами и бесцветным цветом лица. По характеру он был нервным и робким, ненавидел споры и, чтобы избежать их, охотно позволял другим брать на себя ответственность за то, что он сам сделал.

Он всегда продумывал тему своих статей, прежде чем приступать к их составлению, и обычно писал их сразу, без единого подчеркивания и исправления.

WW Роуз Бал

Портрет Жозефа-Луи Лагранжа (18 век)

Ранние годы

Лагранж , первенец из одиннадцати детей, Джузеппе Лодовико Лагранжия , имел итальянское и французское происхождение. Его прадед по отцовской линии был французским капитаном кавалерии, чья семья происходила из французского региона Тур . После службы при Людовике XIV он поступил на службу к Карлу Эммануилу II , герцогу Савойскому , и женился на Конти из знатного римского рода. Отец Лагранжа, Джузеппе Франческо Лодовико, был доктором права в Туринском университете , а его мать была единственным ребенком в семье богатого доктора Камбиано , в сельской местности Турина . Он был воспитан как католик (но позже стал агностиком ).

Его отец, который отвечал за королевскую военную казну и был казначеем Управления общественных работ и укреплений в Турине, должен был сохранить хорошее социальное положение и богатство, но прежде чем его сын вырос, он потерял большую часть своего имущества в спекуляциях. . Карьеру юриста Лагранжу планировал его отец. и, конечно же, Лагранж, кажется, охотно принял это. Он учился в Туринском университете , и его любимым предметом была классическая латынь. Поначалу он не питал особого энтузиазма к математике, находя греческую геометрию довольно скучной.

Лишь в семнадцать лет он проявил интерес к математике: его интерес к этому предмету впервые был вызван статьей Эдмонда Галлея 1693 года. с которым он столкнулся случайно. В одиночку и без посторонней помощи он погрузился в математические исследования; к концу года непрекращающегося труда он уже стал опытным математиком. Карл Эммануил III назначил Лагранжа на должность «Sostituto del Maestro di Matematica» (доцента математики) в Королевской военной академии теории и практики артиллерии в 1755 году, где он преподавал курсы по исчислению и механике для поддержки ранней пьемонтской армии. принятие баллистических теорий Бенджамина Робинса и Леонарда Эйлера . В этом качестве Лагранж был первым, кто преподавал математический анализ в инженерной школе. По словам Алессандро Папачино Д'Антони , военного командира академии и известного теоретика артиллерии, Лагранж, к сожалению, оказался проблемным профессором из-за его забывчивого стиля преподавания, абстрактного мышления и нетерпения к артиллерийскому и фортификационному делу. В этой академии одним из его учеников был Франсуа Давье .

Вариационное исчисление

Лагранж — один из основоположников вариационного исчисления . Начиная с 1754 года он работал над проблемой таутохрона , открыв метод максимизации и минимизации функционалов, аналогичный нахождению экстремумов функций. Между 1754 и 1756 годами Лагранж написал Леонарду Эйлеру несколько писем с описанием своих результатов. Он изложил свой «δ-алгоритм», ведущий к уравнениям Эйлера – Лагранжа вариационного исчисления и значительно упрощающий более ранний анализ Эйлера. Лагранж также применил свои идеи к задачам классической механики, обобщив результаты Эйлера и Мопертюи .

Эйлер был очень впечатлен результатами Лагранжа. Утверждалось, что «со свойственной ему вежливостью он отказался от написанной им ранее статьи, в которой рассматривались некоторые из тех же вопросов, чтобы у молодого итальянца было время завершить свою работу и заявить о бесспорном изобретении нового исчисления». ; однако эта рыцарская точка зрения оспаривается. Лагранж опубликовал свой метод в двух мемуарах Туринского общества в 1762 и 1773 годах.

Miscellanea Taurinensia

В 1758 году с помощью своих учеников (в основном Давие) Лагранж основал общество, которое впоследствии было преобразовано в Туринскую академию наук , и большинство его ранних сочинений можно найти в пяти томах его сочинений, обычно известный как Miscellanea Taurinensia . Многие из них представляют собой тщательно продуманные документы. В первом томе содержится статья по теории распространения звука; при этом он указывает на ошибку Ньютона , получает общее дифференциальное уравнение движения и интегрирует его для движения по прямой. Этот том также содержит полное решение задачи о поперечном колебании струны ; в этой статье он указывает на недостаток общности решений, ранее данных Бруком Тейлором , Даламбером и Эйлером, и приходит к выводу, что форма кривой в любой момент времени t задается уравнением $y=a\sin(mx)\sin(nt)\,$. Статья завершается виртуозным обсуждением эха , ударов и составных звуков. Другие статьи в этом томе посвящены повторяющимся рядам , вероятностям и вариационному исчислению .

Второй том содержит длинную статью, воплощающую результаты нескольких статей первого тома по теории и обозначениям вариационного исчисления, и он иллюстрирует его использование, выводя принцип наименьшего действия и решения различных задач в динамике .

Третий том включает решение ряда динамических задач с помощью вариационного исчисления; некоторые статьи по интегральному исчислению ; решение проблемы Ферма : по заданному целому числу n, не являющемуся полным квадратом , найти число x такое, что nx ² + 1 — идеальный квадрат; и общие дифференциальные уравнения движения трех тел, движущихся под действием взаимного притяжения.

Следующая работа, которую он создал в 1764 году, была посвящена либрации Луны и объяснению того, почему одно и то же лицо всегда обращено к Земле - проблема, которую он решил с помощью виртуальной работы . Его решение особенно интересно, поскольку оно содержит зародыш идеи обобщенных уравнений движения, уравнений, которые он впервые формально доказал в 1780 году.

Берлин

Уже к 1756 году Эйлер и Мопертюи , видя математический талант Лагранжа, пытались уговорить Лагранжа приехать в Берлин, но он робко отказался от предложения. В 1765 году Даламбер ходатайствовал за Лагранжа перед Фридрихом Прусским и в письме просил его покинуть Турин и занять значительно более престижную должность в Берлине. Он снова отклонил предложение, ответив, что

Мне кажется, что Берлин мне совершенно не пригоден, пока там М.Эйлер .

В 1766 году, после того как Эйлер уехал из Берлина в Санкт-Петербург , Фридрих сам написал Лагранжу, в котором выразил желание «величайшего короля Европы» иметь при своем дворе «величайшего математика Европы». Лагранжа наконец убедили. Следующие двадцать лет он провел в Пруссии , где подготовил длинную серию статей, опубликованных в Берлинских и Туринских соглашениях, и написал свой монументальный труд « Аналитическая механика» . В 1767 году он женился на своей кузине Виттории Конти.

Лагранж был любимцем короля, который часто читал ему лекции о преимуществах совершенной размеренности жизни. Урок был принят, и Лагранж изучал свой разум и тело, как если бы они были машинами, и экспериментировал, чтобы определить точный объем работы, который он мог выполнить до утомления. Каждую ночь он ставил перед собой определенную задачу на следующий день и по завершении любого раздела предмета писал краткий анализ, чтобы увидеть, какие моменты в демонстрациях или предмете можно было улучшить. Он тщательно планировал свои статьи, прежде чем писать их, обычно без единой подчистки или исправления.

Тем не менее, во время пребывания в Берлине здоровье Лагранжа было довольно плохим, а здоровье его жены Виттории было еще хуже. Она умерла в 1783 году после многих лет болезни, и Лагранж был в сильной депрессии. В 1786 году умер Фридрих II, и климат Берлина стал для Лагранжа тяжелым.

Париж

В 1786 году, после смерти Фридриха, Лагранж получил аналогичные приглашения от таких государств, как Испания и Неаполь , и принял предложение Людовика XVI переехать в Париж. Во Франции его приняли со всеми знаками отличия, для его приема были подготовлены специальные апартаменты в Лувре, и он стал членом Французской академии наук , которая позже стала частью Института Франции (1795). В начале своего пребывания в Париже его охватил приступ меланхолии, и даже печатный экземпляр его «Механики», над которым он работал четверть века, более двух лет лежал нераспечатанным на его столе. Любопытство к результатам Французской революции сначала вывело его из летаргии, любопытство, которое вскоре переросло в тревогу по мере развития революции.

Примерно в то же время, в 1792 году, необъяснимая печаль его жизни и его робость тронули сострадание 24-летней Рене-Франсуазы-Аделаиды Ле Монье, дочери его друга, астронома Пьера Шарля Ле Монье . Она настояла на том, чтобы выйти за него замуж, и оказалась преданной женой, к которой он горячо привязался.

В сентябре 1793 года царство террора началось . При вмешательстве Антуана Лавуазье , который сам к тому времени уже был изгнан из академии вместе со многими другими учеными, Лагранж был специально освобожден от уплаты поименного указа от октября 1793 года, предписывавшего всем иностранцам покинуть Францию. 4 мая 1794 года Лавуазье и 27 других откупщиков были арестованы, приговорены к смертной казни и казнены на гильотине во второй половине дня после суда. Лагранж сказал по поводу смерти Лавуазье:

Потребовалось всего мгновение, чтобы эта голова упала, и сто лет не хватит, чтобы создать подобную ей.

Хотя Лагранж готовился к бегству из Франции, пока еще было время, ему никогда не угрожала опасность; разные революционные правительства (а в более позднее время и Наполеон ) воздавали ему почести и отличия. Эта удачливость или безопасность могут быть в некоторой степени обусловлены его жизненным отношением, которое он выразил много лет назад: « Я считаю, что вообще один из первых принципов каждого мудрого человека — строго подчиняться законам страны, в которой он живет. жив, даже когда они неразумны ». Ярким свидетельством того уважения, с которым он пользовался, стал 1796 год, когда французскому комиссару в Италии было приказано в полном составе присутствовать при отце Лагранжа и передать поздравления республики по поводу достижений его сына, который «сделал многое». честь всему человечеству своим гением, и то, что Пьемонт произвел на него особую славу». Можно добавить, что Наполеон, придя к власти, горячо поощрял научные исследования во Франции и щедро их благотворил. Назначенный сенатором в 1799 году, он был первым, кто подписал соглашение Sénatus-consulte , которое в 1802 году присоединило его родину Пьемонт к Франции. В результате он получил французское гражданство. Французы утверждали, что он французский математик, но итальянцы продолжали утверждать, что он итальянец.

Единицы измерения

Лагранж участвовал в разработке метрической системы измерения в 1790-х годах. Ему предложили пост президента Комиссии по реформе мер и весов ( la Commission des Poids et Mesures ), когда он готовился к побегу. После смерти Лавуазье в 1794 году именно Лагранж повлиял на выбор единиц измерения метра и килограмма с десятичным делением. комиссией 1799 года Лагранж также был одним из основателей Бюро долгот в 1795 году.

Нормальная школа

В 1795 году Лагранж был назначен на математическую кафедру в недавно созданной Нормальной школе , которая просуществовала лишь четыре месяца. Его лекции там были элементарными; они не содержат ничего, что имело бы какое-либо математическое значение, хотя и дают краткое историческое представление о причине, по которой он предложил недесятичную систему счисления или основание 11 в качестве основного числа для реформированной системы мер и весов. Лекции были опубликованы потому, что профессора должны были «клянуться перед представителями народа и друг перед другом ни читать, ни повторять по памяти», а также обязательство не читать и не декламировать по памяти письменные речи» ]. Выступления были упорядочены и стенографированы, чтобы депутаты могли увидеть, как оправдали себя профессора. Считалось также, что опубликованные лекции заинтересуют значительную часть населения. ].

Политехническая школа

В 1794 году Лагранж был назначен профессором Политехнической школы ; и его лекции там, описанные математиками, имевшими счастье присутствовать на них, были почти совершенны как по форме, так и по содержанию. Начиная с самых простых элементов, он вел своих слушателей до тех пор, пока они, почти незаметно для себя, сами не расширяли границы предмета: прежде всего он внушал своим ученикам преимущество всегда использования общих методов, выраженных в симметричных обозначениях.

Однако Лагранж, похоже, не был успешным учителем. Фурье , посещавший его лекции в 1795 году, писал:

голос у него очень слабый, по крайней мере потому, что он не горячится; у него очень выраженный итальянский акцент, и он произносит буквы s как z [...] Студенты, большинство из которых неспособны его оценить, мало приветствуют его, но профессора исправляют это.

Поздние годы

Могила Лагранжа в склепе Пантеона

В 1810 году Лагранж начал тщательный пересмотр « Аналитической механики» , но смог завершить лишь около двух третей ее до своей смерти в Париже в 1813 году, на улице Фобур Сент-Оноре , 128 . Наполеон удостоил его Большого креста Императорского ордена Реюньона всего за два дня до его смерти. Он был похоронен в том же году в Пантеоне в Париже. Надпись на его могиле в переводе гласит:

ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ. Сенатор. Граф Империи. Великий кавалер Почетного легиона. Большой крест Императорского ордена Воссоединения . Член Института и Бюро долготы. Родился в Турине 25 января 1736 г. Умер в Париже 10 апреля 1813 г.

Работа в Берлине

Лагранж вел чрезвычайно активную научную деятельность в течение двадцати лет, проведенных в Берлине. Он не только написал свою «Аналитичную механику» , но и опубликовал от одной до двухсот статей в Туринской, Берлинской и Французской академиях. Некоторые из них действительно являются трактатами, и все без исключения имеют высочайший уровень совершенства. За исключением короткого времени, когда он болел, он писал в среднем около одной статьи в месяц. Из них отметим следующие, как наиболее важные.

Во-первых, его вклад в четвертый и пятый тома « Miscellanea Taurinensia» (1766–1773 гг.) ; из которых наиболее важным было событие 1771 года, в котором он обсуждал, как следует объединить многочисленные астрономические наблюдения, чтобы дать наиболее вероятный результат. А позже его вклады в первые два тома, 1784–1785, трудов Туринской академии; к первому из них он представил статью о давлении, оказываемом движущимися жидкостями, а ко второму — статью об интегрировании бесконечными рядами и о видах задач, для которых оно подходит.

Большинство статей, отправленных в Париж, были посвящены астрономическим вопросам, в том числе его статья о системе Юпитера в 1766 году, его эссе по проблеме трех тел в 1772 году, его работа по вековому уравнению Луны в 1773 году и его трактат о кометных возмущениях в 1778 году. Все они были написаны на темы, предложенные Французской академией , и в каждом случае ему присуждалась премия.

Лагранжева механика

Между 1772 и 1788 годами Лагранж переформулировал классическую/ньютоновскую механику, чтобы упростить формулы и облегчить вычисления. Эту механику называют механикой Лагранжа .

Алгебра

Однако большее количество его статей за это время было передано в Прусскую академию наук . Некоторые из них посвящены вопросам алгебры .

• Его обсуждение представлений целых чисел квадратичными формами (1769 г.) и более общими алгебраическими формами (1770 г.).
• Его трактат по теории элиминации , 1770 г.
• Теорема Лагранжа о том, что порядок подгруппы H группы G должен делить порядок G.
• Его статьи 1770 и 1771 годов об общем процессе решения алгебраического уравнения любой степени с помощью резольвент Лагранжа . Этот метод не дает общей формулы для решения уравнения пятой степени и выше, поскольку используемое вспомогательное уравнение имеет более высокую степень, чем исходное. Значение этого метода состоит в том, что он представляет уже известные формулы решения уравнений второй, третьей и четвертой степени как проявления единого принципа и лежит в основе теории Галуа . Полное решение биномиального уравнения (а именно уравнения вида $ax^{n}$ ± $b=0$) также рассматривается в этих статьях.
• В 1773 году Лагранж рассмотрел функциональный определитель порядка 3, частный случай якобиана . Он также доказал выражение объема тетраэдра , у которого одна из вершин находится в начале координат как одна шестая абсолютного значения определителя , образованного координатами трех других вершин.

Теория чисел

Некоторые из его ранних работ также посвящены вопросам теории чисел.

• Лагранж (1766–1769) был первым европейцем, доказавшим, что уравнение Пелла x ² - ​ ² = 1 имеет нетривиальное решение в целых числах для любого неквадратного натурального числа n .
• Он доказал теорему, сформулированную Баше безосновательно , о том, что каждое положительное целое число является суммой четырех квадратов , 1770 год.
• Он доказал теорему Вильсона о том, что (для любого целого числа n > 1 ): n является простым тогда и только тогда, когда ( n − 1)! + 1 кратно n , 1771.
• В его статьях 1773, 1775 и 1777 годов были продемонстрированы некоторые результаты, сформулированные Ферма и ранее не доказанные.
• Его «Исследования арифметики» 1775 года разработал общую теорию бинарных квадратичных форм для решения общей проблемы того, когда целое число может быть представлено в форме ax. ² + по ² + скси .
• Он внес вклад в теорию цепных дробей .

Другая

Имеются также многочисленные статьи по различным вопросам аналитической геометрии . В двух из них, написанных несколько позже, в 1792 и 1793 годах, он привел уравнения квадрик (или коникоидов) к их каноническим формам .

В период с 1772 по 1785 год он написал длинную серию статей, которые создали науку об уравнениях в частных производных . Большая часть этих результатов была собрана во втором издании интегрального исчисления Эйлера, опубликованном в 1794 году.

Астрономия

Наконец, имеется множество статей по проблемам астрономии . Из них наиболее важными являются следующие:

• Попытка решить общую задачу трех тел с последующим открытием двух решений постоянной картины, коллинеарного и равностороннего, 1772 год. Позже было замечено, что эти решения объясняют то, что сейчас известно как точки Лагранжа .
• О притяжении эллипсоидов, 1773 г.: оно основано на Маклорена . работе
• О вековом уравнении Луны, 1773 г.; Также заметно раннее внедрение идеи потенциала. Потенциал тела в любой точке — это сумма массы каждого элемента тела, деленная на расстояние до точки. Лагранж показал, что если бы был известен потенциал тела во внешней точке, то можно было бы сразу найти притяжение в любом направлении. Теория потенциала была разработана в статье, отправленной в Берлин в 1777 году.
• планеты О движении узлов орбиты , 1774 год.
• Об устойчивости планетных орбит, 1776 г.
• Две статьи, в которых полностью разработан метод определения орбиты кометы по трем наблюдениям, 1778 и 1783 гг.: это действительно не оказалось практически доступным, но его система вычисления возмущений с помощью механических квадратур легла в основу большинство последующих исследований по этому вопросу.
• Его определение вековых и периодических изменений элементов планет , 1781–1784 гг.: верхние пределы, назначенные для них, близко согласуются с теми, которые были получены позднее Леверье , и Лагранж пошел дальше, насколько тогда обладали знания о массах планет. планеты разрешены.
• Три статьи о методе интерполяции, 1783, 1792 и 1793 гг.: часть конечных разностей, посвященная этому методу, находится сейчас на той же стадии, на которой ее оставил Лагранж.

Фундаментальный трактат

Помимо этих различных статей, он написал свой фундаментальный трактат « Аналитическая механика» .

В этой книге он излагает закон виртуальной работы и из этого одного фундаментального принципа с помощью вариационного исчисления выводит всю механику как твердых тел, так и жидкостей.

Цель книги — показать, что предмет неявно включен в единый принцип, и дать общие формулы, из которых можно получить тот или иной результат. Метод обобщенных координат, с помощью которого он получил этот результат, является, пожалуй, самым блестящим результатом его анализа. Вместо того, чтобы следить за движением каждой отдельной части материальной системы, как это делали Даламбер и Эйлер, он показал, что, если мы определим ее конфигурацию с помощью достаточного числа переменных х , называемых обобщенными координатами , число которых такое же, как Что касается степеней свободы, которыми обладает система, то кинетическая и потенциальная энергии системы могут быть выражены через эти переменные, и дифференциальные уравнения движения затем выводятся путем простого дифференцирования. Например, в динамике жесткой системы он заменяет рассмотрение частной задачи общим уравнением, которое теперь обычно записывают в виде

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}=0,$

где T представляет собой кинетическую энергию, а V представляет собой потенциальную энергию системы.Затем он представил то, что мы теперь знаем как метод множителей Лагранжа (хотя этот метод публикуется не впервые) как средство решения этого уравнения. Среди других приведенных здесь второстепенных теорем, возможно, будет достаточно упомянуть положение о том, что кинетическая энергия, сообщаемая данными импульсами материальной системе при данных ограничениях, является максимальной, а также принцип наименьшего действия . Весь анализ настолько элегантен, что сэр Уильям Роуэн Гамильтон сказал, что эту работу можно описать только как научную поэму. Лагранж заметил, что механика на самом деле представляет собой раздел чистой математики, аналогичный геометрии четырех измерений, а именно времени и трех координат точки в пространстве; и говорят, что он гордился тем, что от начала и до конца работы не было ни одной схемы. Сначала не удалось найти типографию, которая бы издала книгу; но Лежандр наконец убедил парижскую фирму заняться этим, и в 1788 году он был выпущен под руководством Лапласа, Кузена, Лежандра (редактора) и Кондорсе.

Работа во Франции

Дифференциальное исчисление и вариационное исчисление

Жозеф-Луи Лагранж

Лекции Лагранжа по дифференциальному исчислению в Политехнической школе легли в основу его трактата «Теория аналитических функций» , который был опубликован в 1797 году. Эта работа представляет собой развитие идеи, содержащейся в статье, которую он отправил в берлинские газеты в 1772 году. Цель состоит в том, чтобы заменить дифференциальное исчисление группой теорем, основанных на последовательном развитии алгебраических функций, опираясь, в частности, на принцип общности алгебры .

Несколько похожий метод был ранее использован Джоном Ланденом в « Анализе остатков» , изданном в Лондоне в 1758 году. Лагранж считал, что сможет таким образом избавиться от тех трудностей, связанных с использованием бесконечно больших и бесконечно малых величин, против которых возражали философы. при обычном рассмотрении дифференциального исчисления. Книга разделена на три части: из них первая посвящена общей теории функций и дает алгебраическое доказательство теоремы Тейлора , справедливость которой, однако, остается под вопросом; второй посвящен приложениям к геометрии; и третий с приложениями к механике.

Еще одним трактатом в том же духе были его «Leçons sur le Calcul des fonctions» , вышедшие в 1804 году, второе издание — в 1806 году. Именно в этой книге Лагранж сформулировал свой знаменитый метод множителей Лагранжа в контексте задач вариационного исчисления с интегральные ограничения. Эти работы, посвященные дифференциальному и вариационному исчислению, можно считать отправной точкой для исследований Коши , Якоби и Вейерштрасса .

• 
  Экземпляр "Теории аналитических функций" 1813 г.
• 
  Титульный лист к книге "Теория аналитических функций"
• 
  Введение в «Теорию аналитических функций»
• 
  Первая страница "Теории аналитических функций"

Титульный лист первого тома «Аналитической механики» Лагранжа (1811 г.)

Бесконечно малые

В более поздний период Лагранж полностью принял использование бесконечно малых , предпочитая основывать дифференциальное исчисление на изучении алгебраических форм; а в предисловии ко второму изданию « Аналитической механики» , вышедшему в 1811 году, он оправдывает использование бесконечно малых величин и в заключение говорит, что:

Когда мы уловили суть метода бесконечно малых величин и проверили точность его результатов либо с помощью геометрического метода простых и предельных отношений, либо с помощью аналитического метода производных функций, мы можем использовать бесконечно малые величины как надежный и ценный метод. средства сокращения и упрощения наших доказательств.

Теория чисел

Его «Резолюция числовых уравнений» , опубликованная в 1798 году, также стала плодом его лекций в Политехнической школе. Там он дает метод приближения действительных корней уравнения с помощью цепных дробей и формулирует ряд других теорем. В примечании в конце он показывает, как действует малая теорема Ферма , т. е.

$a^{p-1}-1\equiv 0{\pmod {p}}$

где p — простое число, а a — простое число с p , может применяться для получения полного алгебраического решения любого биномиального уравнения. Здесь он также объясняет, как можно использовать уравнение, корни которого представляют собой квадраты разностей корней исходного уравнения, чтобы дать значительную информацию о положении и природе этих корней.

Небесная механика

Теория движения планет стала предметом некоторых из наиболее замечательных берлинских статей Лагранжа. В 1806 году эта тема была вновь открыта Пуассоном , который в статье, прочитанной во Французской академии, показал, что формулы Лагранжа приводят к определенным ограничениям устойчивости орбит. Присутствовавший Лагранж теперь заново обсудил весь предмет и в письме, переданном в академию в 1808 году, объяснил, как путем изменения произвольных констант можно определить периодические и вековые неравенства любой системы взаимно взаимодействующих тел.

Премии и отличия

Эйлер предложил Лагранжа для избрания в Берлинскую академию, и он был избран 2 сентября 1756 года. Он был избран членом Королевского общества Эдинбурга в 1790 году, членом Королевского общества и иностранным членом Шведской королевской академии наук в 1806. В 1808 году Наполеон сделал Лагранжа великим кавалером Почётного легиона и графом Империи . Он был награжден Большим крестом Императорского ордена Реюньона в 1813 году, за неделю до своей смерти в Париже, и был похоронен в Пантеоне , мавзолее, посвященном самым почитаемым французам.

Лагранж был удостоен премии Французской академии наук 1764 года за свои мемуары о либрации Луны. В 1766 году академия предложила задачу о движении спутников Юпитера , и премия снова была присуждена Лагранжу. Он также разделил или выиграл призы 1772, 1774 и 1778 годов.

Лагранж — один из 72 выдающихся французских учёных , память которых была увековечена на мемориальных досках на первой ступени Эйфелевой башни , когда она впервые открылась. В его честь названа улица Лагранж в 5-м округе Парижа. В Турине улица, на которой до сих пор стоит дом, где он родился, носит название Виа Лагранжа . лунный кратер Лагранж и астероид 1006 Лагранж Его имя также носят .

См. также

• Список вещей, названных в честь Жозефа-Луи Лагранжа
• Четырехмерное пространство
• Закон Гаусса
• История счетчика
• Роль Лагранжа в реформе измерений
• Секундный маятник

Ссылки

Источники

Первоначальная версия этой статьи была взята из общедоступного ресурса «Краткий обзор истории математики» (4-е издание, 1908 г.) У. В. Роуза Болла .

• Мария Тереза ​​Боргато; Луиджи Пепе (1990), Лагранж, заметки к научной биографии (на итальянском языке), Турин: La Rosa
• Колумбийская энциклопедия , 6-е изд., 2005 г., « Лагранж, Жозеф Луи » .
• WW Роуз Болл , 1908, « Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) » Краткий отчет по истории математики , 4-е изд. также на Гутенберге
• Шансон, Юбер, 2007, « Потенциал скорости в реальных потоках жидкости: вклад Жозефа-Луи Лагранжа », La Houille Blanche 5: 127–31.
• Фрейзер, Крейг Г., 2005, «Теория аналитических функций» в Grattan-Guinness, I. , изд., «Веховые статьи в западной математике» . Эльзевир: 258–76.
• Лагранж, Жозеф-Луи. (1811). Аналитическая механика . Courcier (переиздан издательством Cambridge University Press , 2009 г.; ISBN   978-1-108-00174-8 )
• Лагранж, JL (1781) «Мемуары по теории движения жидкости» в Серре, JA, изд., 1867. Oeuvres de Lagrange, Vol. 4 . Париж» Готье-Виллар: 695–748.
• Пулте, Хельмут, 2005, «Аналитическая механика» в журнале Grattan-Guinness, I., изд., « Важные произведения в западной математике» . Эльзевир: 208–24.
• А. Конте; К. Манчинелли; Э. Борги.; Л. Пепе, ред. (2013), Лагранж. Европеец в Турине (на итальянском языке), Турин: Hapax Editore, ISBN  978-88-88000-57-2

Внешние ссылки

«Сочинения Лагранжа», том III (1869 г.)

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Жозеф-Луи Лагранж» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг (ред.). «Лагранж, Жозеф (1736–1813)» . Мир Науки .
• Лагранж, Жозеф Луи де: Энциклопедия астробиологии, астрономии и космических полетов
• Клерк, Агнес Мэри (1911). «Лагранж, Жозеф Луи» . Британская энциклопедия . Том. 16 (11-е изд.). стр. 75–78.
• Жозеф-Луи Лагранж в проекте «Математическая генеалогия»
• Основатели классической механики: Жозеф Луи Лагранж.
• Точки Лагранжа
• Вывод результата Лагранжа (не метода Лагранжа)
• Работы Лагранжа (на французском языке) Oeuvres de Lagrange , под редакцией Жозефа Альфреда Серре, Париж, 1867 г., оцифрованы Göttinger Digitalisierungszentrum (Аналитическая механика находится в томах 11 и 12).
• Жозеф Луи де Лагранж – Полное собрание сочинений Gallica-Math
• Хронологическая опись творчества Лагранжа Перзе.
• Работы Жозефа-Луи Лагранжа в Project Gutenberg
• Работы Жозефа-Луи Лагранжа или о нем в Internet Archive
• Аналитическая механика (Париж, 1811-15).