Личность Лагранжа

В алгебре : тождество Лагранжа , названное в честь Жозефа Луи Лагранжа , выглядит так ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} ${\begin{aligned}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}&=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\\&\left(={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\right),\end{aligned}}$ которое применяется к любым двум наборам { a ₁ , a ₂ , ..., a _n } и { b ₁ , b ₂ , ..., b _n } действительных или комплексных чисел (или, в более общем смысле, элементов коммутативного кольца ). Это тождество является обобщением тождества Брахмагупты-Фибоначчи и специальной формой тождества Бине-Коши .

В более компактной векторной записи тождество Лагранжа выражается как: ^{[ 3 ]} $\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\,,$ где a и b — n -мерные векторы, компоненты которых являются действительными числами. Расширение до комплексных чисел требует интерпретации скалярного произведения как скалярного произведения или эрмитова скалярного произведения. Явно для комплексных чисел тождество Лагранжа можно записать в виде: ^{[ 4 ]} $\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}\right)-\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}\right|^{2}$ включая абсолютное значение . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Поскольку правая часть тождества явно неотрицательна, из нее следует неравенство Коши в конечномерном вещественном координатном пространстве R ^н и его комплексный аналог C ^н.

Геометрически тождество утверждает, что квадрат объема параллелепипеда, натянутого на набор векторов, является определителем Грама векторов.

Тождество Лагранжа и внешняя алгебра

В терминах клинового произведения тождество Лагранжа можно записать $(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).$

Следовательно, ее можно рассматривать как формулу, которая дает длину клинового произведения двух векторов, которая представляет собой площадь определяемого ими параллелограмма, в терминах скалярного произведения двух векторов, как $\|a\wedge b\|={\sqrt {(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}}}={\sqrt {\|a\|^{2}\|b\|^{2}-(a\cdot b)^{2}}}.$

Тождество Лагранжа и векторное исчисление

В трех измерениях тождество Лагранжа утверждает, что если a и b являются векторами из R ³ с длиной | а | и | b |, то тождество Лагранжа можно записать через векторное произведение и скалярное произведение : ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} $|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}$

Используя определение угла, основанное на скалярном произведении (см. также неравенство Коши – Шварца ), левая часть равна $\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)=\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}\sin ^{2}\theta$ где $θ$ — угол, образованный векторами a и b . Площадь параллелограмма со сторонами $| а |$ и $| б |$ а угол $θ$ , как известно в элементарной геометрии, равен $\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\left|\sin \theta \right|,$ поэтому левая часть тождества Лагранжа представляет собой квадрат площади параллелограмма. Перекрестное произведение, появляющееся в правой части, определяется выражением $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\mathbf {i} +\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\mathbf {j} +\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\mathbf {k}$ который представляет собой вектор, компоненты которого равны по величине площадям проекций параллелограмма на плоскости yz , zx и xy соответственно.

Семь измерений

Для a и b как векторов в R ⁷тождество Лагранжа принимает тот же вид, что и в случае R ³^{[ 9 ]} $|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}\ ,$

Однако векторное произведение в 7 измерениях не обладает всеми свойствами векторного произведения в 3 измерениях. Например, направление a × b в 7-мерном измерении может быть таким же, как направление c × d, хотя c и d линейно независимы от a и b . Кроме того, семимерное векторное произведение несовместимо с тождеством Якоби . ^{[ 9 ]}

Кватернионы

Кватернион и p определяется как сумма скаляра t вектора v : $p=t+\mathbf {v} =t+x\ \mathbf {i} +y\ \mathbf {j} +z\ \mathbf {k} .$

Произведение двух кватернионов $p = t + v$ и $q = s + w$ определяется формулой $pq=(st-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )+s\ \mathbf {v} +t\ \mathbf {w} +\mathbf {v} \times \mathbf {w} .$

Кватернионное сопряжение q определяется формулой ${\overline {q}}=t-\mathbf {v} ,$ и норма в квадрате равна $|q|^{2}=q{\overline {q}}=t^{2}\ +\ x^{2}+\ y^{2}\ +\ z^{2}.$

Мультипликативность нормы в алгебре кватернионов обеспечивает для кватернионов p и q : ^{[ 10 ]} $\left|pq\right|=\left|p\right|\left|q\right|.$

Кватернионы p и q называются мнимыми, если их скалярная часть равна нулю; эквивалентно, если $p=\mathbf {v} ,\quad q=\mathbf {w} .$

Тождество Лагранжа — это не что иное, как мультипликативность нормы мнимых кватернионов, $|\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=|\mathbf {v} |^{2}|\mathbf {w} |^{2},$ поскольку по определению $|\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )^{2}+|\mathbf {v} \times \mathbf {w} |^{2}.$

Доказательство алгебраической формы

Векторная форма следует из тождества Бине-Коши, если установить c _i = a _i и d _i = b _i . Вторая версия следует за тем, что c _i и d _i обозначают комплексно-сопряженные числа a i _и b i _{соответственно} ,

Вот и прямое доказательство. ^{[ 11 ]} Разложение первого члена в левую часть равно:

\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}\ ,

( 1 )

что означает, что произведение столбца a s и строки b s дает (сумму элементов) квадрат ab s , который можно разбить на диагональ и пару треугольников по обе стороны от диагонали. .

Второй член в левой части тождества Лагранжа можно расширить как:

\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}\,,

( 2 )

это означает, что симметричный квадрат можно разбить на диагональ и пару равных треугольников по обе стороны от диагонали.

Чтобы развернуть суммирование в правой части тождества Лагранжа, сначала разверните квадрат внутри суммирования: $\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}\right).$

Распределим суммирование в правой части, $\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}.$

Теперь поменяйте индексы i и j второго члена в правой части и переставьте множители b третьего члена, получив:

\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}\ .

( 3 )

Вернемся к левой части тождества Лагранжа: оно состоит из двух членов, заданных в расширенной форме уравнениями ( 1 ) и ( 2 ). Первый член в правой части уравнения ( 2 ) в конечном итоге отменяет первый член в правой части уравнения ( 1 ), что дает

\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

( 1 ) − ( 2 )

что совпадает с уравнением ( 3 ), поэтому тождество Лагранжа действительно является тождеством, КЭД

Доказательство тождества Лагранжа для комплексных чисел.

Нормированные алгебры с делением требуют, чтобы норма произведения была равна произведению норм. Тождество Лагранжа демонстрирует это равенство. Тождество произведения, используемое здесь в качестве отправной точки, является следствием нормы равенства произведения с произведением нормы для скаторных алгебр. Это предложение, первоначально представленное в контексте деформированной метрики Лоренца, основано на преобразовании, вытекающем из операции произведения и определения величины в гиперболической скаторной алгебре. ^{[ 12 ]} Тождество Лагранжа можно доказать разными способами. ^{[ 4 ]}

Позволять $a_{i},b_{i}\in \mathbb {C}$ быть комплексными числами, а верхняя черта представляет собой комплексно-сопряженное число.

Идентичность продукта $\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}-b_{i}{\bar {b}}_{i}+a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)$ сводится к комплексному тождеству Лагранжа, когда рассматриваются члены четвертого порядка в разложении в ряд.

Чтобы доказать это, разверните продукт в левой части идентичности продукта с точки зрения ряд до четвертого порядка. Для этого напомним, что произведения вида $\left(1+x_{i}\right)$ можно разложить в суммах как $\prod _{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\right)=1+\sum _{i=1}^{n}x_{i}+\sum _{i<j}^{n}x_{i}x_{j}+{\mathcal {O}}^{3+}(x),$ где ${\mathcal {O}}^{3+}(x)$ означает термины третьего порядка или выше в $x$ .

$\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}-b_{i}{\bar {b}}_{i}+a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=1-\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}+b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+{\mathcal {O}}^{5+}.$

Два фактора в правой части также записаны в виде рядов $\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(1-\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+{\mathcal {O}}^{5+}\right)\left(1-\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+{\mathcal {O}}^{5+}\right).$

Произведение этого выражения до четвертого порядка равно $\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=1-\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}+b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}\right)+{\mathcal {O}}^{5+}.$ Подстановка этих двух результатов в идентичность продукта дает $\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).$

Произведение двух рядов сопряженных чисел можно выразить как ряд, включающий произведение сопряженных членов. Произведение сопряженного ряда – это $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {x}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(x_{i}{\bar {x}}_{j}+{\bar {x}}_{i}x_{j}\right),$ таким образом $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}b_{i}}}\right)-\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}b_{i}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}+{\bar {a}}_{i}{\bar {b}}_{i}a_{j}b_{j}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).$

Члены последних двух серий на LHS сгруппированы как $a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}-a_{i}b_{i}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}-{\bar {a}}_{i}{\bar {b}}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\bar {a}}_{i}b_{j}-{\bar {a}}_{j}b_{i}\right),$ чтобы получить комплексное тождество Лагранжа: $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}b_{i}}}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\overline {a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}}}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).$

Что касается модулей, $\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum _{i<j}^{n}\left|a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right|^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\left|b_{i}\right|^{2}\right).$

Тождество Лагранжа для комплексных чисел было получено простым идентичность продукта. Вывод для реалов, очевидно, еще более краток. Поскольку неравенство Коши–Шварца является частным случаем тождества Лагранжа, ^{[ 4 ]} этот доказательство — еще один способ получить неравенство CS. Члены более высокого порядка в ряду создают новые идентичности.

См. также

Ссылки

^ Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). ЦРК Пресс. ISBN 1-58488-347-2 .
^ Роберт Э. Грин ; Стивен Дж. Кранц (2006). «Упражнение 16». Теория функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Американское математическое общество. п. 22. ISBN 0-8218-3962-4 .
^ Владимир А. Бойченко; Геннадий Алексеевич Леонов; Фолькер Райтманн (2005). Теория размерности обыкновенных дифференциальных уравнений . Vieweg+Teubner Verlag. п. 26. ISBN 3-519-00437-2 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Дж. Майкл Стил (2004). «Упражнение 4.4: Тождество Лагранжа для комплексных чисел» . Мастер-класс Коши-Шварца: введение в искусство математических неравенств . Издательство Кембриджского университета. стр. 68–69. ISBN 0-521-54677-Х .
^ Грин, Роберт Э.; Кранц, Стивен Г. (2002). Теория функций одной комплексной переменной . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 22, Упражнение 16. ISBN 978-0-8218-2905-9 .
^ Палка, Брюс П. (1991). Введение в теорию комплексных функций . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 27 , Упражнение 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9 . .
^ Говард Антон; Крис Роррес (2010). «Связь между скалярными и перекрестными произведениями» . Элементарная линейная алгебра: версия для приложений (10-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 162. ИСБН 978-0-470-43205-1 .
^ Пертти Лунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 94. ИСБН 0-521-00551-5 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дверь Пертти Лунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00551-5 . См., в частности, § 7.4. Перекрестные произведения в R. ⁷, с. 96.
^ Джек Б. Койперс (2002). «§5.6 Норма» . Кватернионы и последовательности вращения: учебник для начинающих по орбитам . Издательство Принстонского университета. п. 111. ИСБН 0-691-10298-8 .
↑ См., например, Фрэнк Джонс, Университет Райса , стр. 4 в главе 7 книги, которая еще не опубликована .
^ М. Фернандес-Гуасти, Альтернативная реализация состава релятивистских скоростей , Оптика и фотоника 2011, том. 8121 Природа света: Что такое фотоны? IV, стр. 812–108–1–11. СПАЙ, 2011.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Личность Лагранжа» . Математический мир .

[Weisstein-1] Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). ЦРК Пресс. ISBN 1-58488-347-2 .

[Greene-2] Роберт Э. Грин ; Стивен Дж. Кранц (2006). «Упражнение 16». Теория функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Американское математическое общество. п. 22. ISBN 0-8218-3962-4 .

[Boichenko-3] Владимир А. Бойченко; Геннадий Алексеевич Леонов; Фолькер Райтманн (2005). Теория размерности обыкновенных дифференциальных уравнений . Vieweg+Teubner Verlag. п. 26. ISBN 3-519-00437-2 .

[Steele-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Дж. Майкл Стил (2004). «Упражнение 4.4: Тождество Лагранжа для комплексных чисел» . Мастер-класс Коши-Шварца: введение в искусство математических неравенств . Издательство Кембриджского университета. стр. 68–69. ISBN 0-521-54677-Х .

[5] Грин, Роберт Э.; Кранц, Стивен Г. (2002). Теория функций одной комплексной переменной . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 22, Упражнение 16. ISBN 978-0-8218-2905-9 .

[6] Палка, Брюс П. (1991). Введение в теорию комплексных функций . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 27 , Упражнение 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9 . .

[Anton-7] Говард Антон; Крис Роррес (2010). «Связь между скалярными и перекрестными произведениями» . Элементарная линейная алгебра: версия для приложений (10-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 162. ИСБН 978-0-470-43205-1 .

[Lounesto1-8] Пертти Лунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 94. ИСБН 0-521-00551-5 .

[Lounesto-9] Перейти обратно: ^а ^б Дверь Пертти Лунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00551-5 . См., в частности, § 7.4. Перекрестные произведения в R. ⁷, с. 96.

[Kuipers-10] Джек Б. Койперс (2002). «§5.6 Норма» . Кватернионы и последовательности вращения: учебник для начинающих по орбитам . Издательство Принстонского университета. п. 111. ИСБН 0-691-10298-8 .

[Jones-11] См., например, Фрэнк Джонс, Университет Райса , стр. 4 в главе 7 книги, которая еще не опубликована .

[12] М. Фернандес-Гуасти, Альтернативная реализация состава релятивистских скоростей , Оптика и фотоника 2011, том. 8121 Природа света: Что такое фотоны? IV, стр. 812–108–1–11. СПАЙ, 2011.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]