Тождество Лагранжа (краевая задача)

Чтобы узнать о других значениях, см. Личность Лагранжа (значения) .

При изучении обыкновенных дифференциальных уравнений и связанных с ними краевых задач в математике тождество Лагранжа , названное в честь Жозефа Луи Лагранжа , дает граничные члены, возникающие в результате интегрирования по частям самосопряженного линейного дифференциального оператора . Тождество Лагранжа является фундаментальным в теории Штурма – Лиувилля . В более чем одной независимой переменной тождество Лагранжа обобщается вторым тождеством Грина .

Заявление

В общих чертах тождество Лагранжа для любой пары функций u и v в функциональном пространстве C ² (то есть дважды дифференцируемый) в n измерениях: $$vL[u]-uL^{*}[v]=\nabla \cdot {\boldsymbol {M}},$$ где: $$M_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\left(v{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}-u{\frac {\partial v}{\partial x_{j}}}\right)+uv\left(b_{i}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial x_{j}}}\right),$$ и $$\nabla \cdot {\boldsymbol {M}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}M_{i},$$

Оператор L и сопряженный к нему оператор L ^* даны: $$L[u]=\sum _{i,\ j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu$$ и $$L^{*}[v]=\sum _{i,\ j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}(a_{i,j}v)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial (b_{i}v)}{\partial x_{i}}}+cv.$$

Если тождество Лагранжа интегрировано по ограниченной области, то теорему о дивергенции можно использовать для формирования второго тождества Грина в форме: $$\int _{\Omega }vL[u]\,d\Omega =\int _{\Omega }uL^{*}[v]\ d\Omega +\int _{S}{\boldsymbol {M\cdot n}}\,dS,$$

где S ограничивающая объем Ω, а n — единица внешней нормали к поверхности S. — поверхность ,

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Любое обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида: $$a(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b(x){\frac {dy}{dx}}+c(x)y+\lambda w(x)y=0,$$ можно представить в виде: $${\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dy}{dx}}\right)+\left(q(x)+\lambda w(x)\right)y(x)=0.$$

Эта общая форма мотивирует введение оператора Штурма – Лиувилля L , определяемого как операция над функцией f такая, что: $$Lf={\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {df}{dx}}\right)+q(x)f.$$

Можно показать, что для любых u и v , для которых существуют различные производные, справедливо тождество Лагранжа для обыкновенных дифференциальных уравнений: $$uLv-vLu=-{\frac {d}{dx}}\left[p(x)\left(v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}\right)\right].$$

Для обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных в интервале [0, 1], тождество Лагранжа можно проинтегрировать для получения интегральной формы (также известной как формула Грина): $$\int _{0}^{1}dx\ (uLv-vLu)=\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right]_{0}^{1},$$

где $p=P(x)$, $q=Q(x)$, $u=U(x)$ и $v=V(x)$ являются функциями $x$. $u$ и $v$ имеющие непрерывные вторые производные на интервале $[0,1]$.

Доказательство формы обыкновенных дифференциальных уравнений

У нас есть: $$uLv=u\left[{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dv}{dx}}\right)+q(x)v\right],$$ и $$vLu=v\left[{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {du}{dx}}\right)+q(x)u\right].$$

Вычитание: $$uLv-vLu=u{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dv}{dx}}\right)-v{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {du}{dx}}\right).$$

Ведущие умноженные u и v можно переместить внутрь дифференцирования, поскольку дополнительные дифференцированные члены в u и v одинаковы в двух вычитаемых членах и просто компенсируют друг друга. Таким образом, $${\begin{aligned}uLv-vLu&={\frac {d}{dx}}\left(p(x)u{\frac {dv}{dx}}\right)-{\frac {d}{dx}}\left(vp(x){\frac {du}{dx}}\right),\\&={\frac {d}{dx}}\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right],\end{aligned}}$$ что является тождеством Лагранжа. Интегрируем от нуля до единицы: $$\int _{0}^{1}dx\ (uLv-vLu)=\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right]_{0}^{1},$$ как и должно было быть показано.