Личность Якоби

В математике — тождество Якоби это свойство бинарной операции , которое описывает, как порядок вычисления, расположение скобок в множественном произведении влияет на результат операции. Напротив, для операций со свойством ассоциативности любой порядок вычисления дает один и тот же результат (круглые скобки в множественном произведении не нужны). Тождество названо в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби . Он вывел тождество Якоби для скобок Пуассона в своей статье 1862 года о дифференциальных уравнениях.

Перекрестное произведение $a\times b$ и операция скобки Лия $[a,b]$ оба удовлетворяют тождеству Якоби. В аналитической механике тождеству Якоби удовлетворяют скобки Пуассона . В квантовой механике этому удовлетворяют операторные коммутаторы в гильбертовом пространстве и, что эквивалентно, в в фазовом пространстве формулировке квантовой механики с помощью скобки Мойала .

Определение

Позволять $+$ и $\times$ две двоичные операции , и пусть $0$ быть нейтральным элементом для $+$. Личность Якоби – это

$x\times (y\times z)\ +\ y\times (z\times x)\ +\ z\times (x\times y)\ =\ 0.$

Обратите внимание на закономерность в переменных в левой части этого тождества. В каждом последующем выражении вида $a\times (b\times c)$, переменные $x$, $y$ и $z$ переставляются по циклу $x\mapsto y\mapsto z\mapsto x$. Альтернативно мы можем заметить, что упорядоченные тройки $(x,y,z)$, $(y,z,x)$ и $(z,x,y)$, являются четными перестановками упорядоченной тройки $(x,y,z)$.

Форма кронштейна коммутатора

Простейший информативный пример алгебры Ли строится на основе (ассоциативного) кольца алгебры Ли. $n\times n$ матрицы, которые можно рассматривать как бесконечно малые движения n -мерного векторного пространства. Операция × — это коммутатор , который измеряет неспособность коммутативности при умножении матриц. Вместо $X\times Y$, используется обозначение в скобках Ли:

$[X,Y]=XY-YX.$

В этих обозначениях тождество Якоби имеет вид:

$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]\ =\ 0$

Это легко проверить расчетом.

В более общем смысле, если A — ассоциативная алгебра, а V — подпространство A , замкнутое относительно операции скобки: $[X,Y]=XY-YX$ принадлежит V для всех $X,Y\in V$тождество Якоби продолжает сохраняться на V . Таким образом, если бинарная операция $[X,Y]$ удовлетворяет тождеству Якоби, можно сказать, что оно ведет себя так, как если бы оно было задано $XY-YX$ в некоторой ассоциативной алгебре, даже если она на самом деле не определена таким образом.

Использование свойства антисимметрии $[X,Y]=-[Y,X]$тождество Якоби можно переписать как модификацию ассоциативного свойства :

$[[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]~.$

Если $[X,Z]$ - это действие бесконечно малого движения X на Z , которое можно сформулировать как:

Действие Y, за которым следует X (оператор $[X,[Y,\cdot \ ]]$), минус действие X, за которым следует Y (оператор $([Y,[X,\cdot \ ]]$), равно действию $[X,Y]$, (оператор $[[X,Y],\cdot \ ]$).

Существует также множество градуированных тождеств Якоби, включающих антикоммутаторы. $\{X,Y\}$, такой как:

$[\{X,Y\},Z]+[\{Y,Z\},X]+[\{Z,X\},Y]=0,\qquad [\{X,Y\},Z]+\{[Z,Y],X\}+\{[Z,X],Y\}=0.$

См. Также: Скобка Ли векторных полей и формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.

Присоединенная форма

Наиболее распространенные примеры тождества Якоби происходят из умножения в скобках. $[x,y]$ об алгебрах Ли и кольцах Ли . Тождество Якоби записывается как:

$[x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0.$

Поскольку скобочное умножение антисимметрично , тождество Якоби допускает две эквивалентные переформулировки. Определение сопряженного оператора $\operatorname {ad} _{x}:y\mapsto [x,y]$, тождество становится:

$\operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z].$

Таким образом, тождество Якоби для алгебр Ли утверждает, что действие любого элемента на алгебре является дифференцированием . Эта форма тождества Якоби также используется для определения понятия алгебры Лейбница .

Другая перестановка показывает, что тождество Якоби эквивалентно следующему тождеству между операторами присоединенного представления:

$\operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}].$

Там скобка слева — операция исходной алгебры, скобка справа — коммутатор композиции операторов, а тождество утверждает, что $\mathrm {ad}$ Отображение, переводящее каждый элемент в сопряженное с ним действие, является гомоморфизмом алгебры Ли .

Родственные личности

• Тождество Холла – Витта является аналогичным тождеством для операции коммутатора в группе .

• Следующее тождество следует из антикоммутативности и тождества Якоби и справедливо в произвольной алгебре Ли:

$[x,[y,[z,w]]]+[y,[x,[w,z]]]+[z,[w,[x,y]]]+[w,[z,[y,x]]]=0.$

• Тождество Якоби эквивалентно правилу продукта , где скобка Ли действует как произведение и производная: $[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]$. Если $X,Y$ являются векторными полями, то $[X,Y]$ буквально является производным оператором, действующим на $Y$, а именно производная Ли ${\mathcal {L}}_{X}Y$.

См. также

• Структурные константы
• Личность Супер Якоби
• Лемма о трёх подгруппах (тождество Холла – Витта)

Ссылки

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666 .
• Джеймс, CGJ (1862). «Новый метод интегрирования уравнений в частных производных первого порядка между любым количеством переменных» . Джл. для тебя, королевы. ангью. Математика . 60 : 1-181.
• Хокинс, Томас (1991). «Якоби и рождение теории групп Ли». Арх. Хист. Точная наука . 42 : 187–278. дои : 10.1007/BF00375135 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Идентичность Якоби» . Математический мир .