Кронштейн Мойал

В физике скобка Мойала в фазовом пространстве — это соответствующим образом нормализованная антисимметризация звездного произведения .

Кронштейн Мойяля был разработан примерно в 1940 году Хосе Энрике Мойалем , но Мойалю удалось опубликовать свою работу только в 1949 году после длительного спора с Полем Дираком . Тем временем эта идея была независимо выдвинута в 1946 году Хипом Гроневолдом .

Обзор

Скобка Мойала — это способ описания коммутатора наблюдаемых в в фазовом пространстве, формулировке квантовой механики когда эти наблюдаемые описываются как функции в фазовом пространстве . Он основан на схемах идентификации функций в фазовом пространстве с квантовыми наблюдаемыми, наиболее известной из этих схем является преобразование Вигнера-Вейля . Оно лежит в основе динамического уравнения Мойала , эквивалентной формулировки квантового уравнения движения Гейзенберга , тем самым обеспечивая квантовое обобщение уравнений Гамильтона .

Математически это деформация в фазовом пространстве скобки Пуассона (по сути, ее расширение ), параметром деформации является приведенная постоянная Планка ħ . Таким образом, ее групповое сжатие ħ → 0 дает скобок Пуассона алгебру Ли .

С точностью до формальной эквивалентности скобка Мойала представляет собой уникальную однопараметрическую алгебраическую деформацию скобки Пуассона. Ее алгебраический изоморфизм алгебре коммутаторов обходит отрицательный результат теоремы Гроневольда – Ван Хова, которая исключает такой изоморфизм для скобки Пуассона - вопрос, неявно поднятый Дираком в его докторской диссертации 1926 года: «метод классической аналогии» для квантования.

Например, в двумерном плоском фазовом пространстве и для соответствия отображению Вейля скобка Мойала гласит:

${\begin{aligned}\{\{f,g\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{i\hbar }}(f\star g-g\star f)\\&=\{f,g\}+O(\hbar ^{2}),\\\end{aligned}}$

где ★ — оператор звездчатого произведения в фазовом пространстве (см. « Произведение Мойала» ), а f и g — дифференцируемые функции фазового пространства, а { f , g } — их скобка Пуассона.

Более конкретно, на языке операционного исчисления это равно

$\{\{f,g\}\}\ ={\frac {2}{\hbar }}~f(x,p)\ \sin \left({{\tfrac {\hbar }{2}}({\overleftarrow {\partial }}_{x}{\overrightarrow {\partial }}_{p}-{\overleftarrow {\partial }}_{p}{\overrightarrow {\partial }}_{x})}\right)\ g(x,p).$

Стрелки влево и вправо над частными производными обозначают левые и правые частные производные. Иногда скобку Мойала называют скобкой Синуса .

Популярное (Фурье) интегральное представление для него, введенное Джорджем Бейкером. является

$\{\{f,g\}\}(x,p)={2 \over \hbar ^{3}\pi ^{2}}\int dp'\,dp''\,dx'\,dx''f(x+x',p+p')g(x+x'',p+p'')\sin \left({\tfrac {2}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)~.$

Каждое отображение соответствия из фазового пространства в гильбертово пространство порождает характерную скобку «Мойала» (например, показанную здесь для отображения Вейля). Все такие скобки Мойала формально эквивалентны между собой в соответствии с систематической теорией.

Скобка Мойала определяет одноименную бесконечномерную Алгебра Ли — она антисимметрична по своим аргументам f и g и удовлетворяет тождеству Якоби .Соответствующая абстрактная алгебра Ли реализуется T _f ≡ f ★ , так что

$[T_{f}~,T_{g}]=T_{i\hbar \{\{f,g\}\}}.$

В фазовом пространстве с двумя торами T ² , с периодическим координаты x и p , каждая из [0,2 π ] , и индексы целочисленного режима m _i , для базисных функций exp( i ( m ₁ x + m ₂ p )) эта алгебра Ли гласит:

$[T_{m_{1},m_{2}}~,T_{n_{1},n_{2}}]=2i\sin \left({\tfrac {\hbar }{2}}(n_{1}m_{2}-n_{2}m_{1})\right)~T_{m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2}},~$

что сводится к SU ( N ) для целого числа N ≡ 4 π/ħ . SU ( N ) тогда возникает как деформация SU (∞) с параметром деформации 1/ N .

Обобщение скобки Мойала для квантовых систем с ограничениями второго рода включает операцию над классами эквивалентности функций в фазовом пространстве: что можно рассматривать как квантовую деформацию скобки Дирака .

Синусоидальная скобка и косинусная скобка

Помимо обсуждаемой синусоидальной скобки, Гроневолд далее представил косинусная скобка, разработанная Бейкером,

${\begin{aligned}\{\{\{f,g\}\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\tfrac {1}{2}}(f\star g+g\star f)=fg+O(\hbar ^{2}).\\\end{aligned}}$

Здесь, опять же, ★ — оператор звездного произведения в фазовом пространстве, f и g — дифференцируемые функции фазового пространства, а f g — обычное произведение.

Синусные и косинусные скобки являются соответственно результатом антисимметризации и симметризации звездообразного произведения. Таким образом, поскольку синусоидальная скобка является вигнеровским отображением коммутатора, косинусная скобка является вигнеровским образом антикоммутатора в стандартной квантовой механике. Аналогично, поскольку скобка Мойала равна скобке Пуассона до более высоких порядков ħ , косинусная скобка равна обычному произведению до более высоких порядков ħ . В классическом пределе скобка Мойала помогает свести к уравнению Лиувилля (сформулированному в терминах скобки Пуассона) , поскольку косинусная скобка приводит к классическому уравнению Гамильтона – Якоби .

Скобки синуса и косинуса стоят также по отношению к уравнениям чисто алгебраического описания квантовой механики.