Квантовая суперпозиция

Для более широкого освещения этой темы см. Принцип суперпозиции .

Продолжительность: 2 минуты 57 секунд. 2:57

Квантовая суперпозиция состояний и декогеренция

Квантовая суперпозиция — это фундаментальный принцип квантовой механики , который гласит, что линейные комбинации решений уравнения Шредингера также являются решениями уравнения Шрёдингера. Это следует из того, что уравнение Шрёдингера является линейным дифференциальным уравнением во времени и положении. Точнее, состояние системы задается линейной комбинацией всех собственных функций уравнения Шредингера, управляющего этой системой.

Примером может служить кубит, используемый при квантовой обработке информации . Состояние кубита чаще всего представляет собой суперпозицию базовых состояний. $|0\rangle$ и $|1\rangle$:

$|\Psi \rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle ,$

где $|\Psi \rangle$ — квантовое состояние кубита, а $|0\rangle$, $|1\rangle$ обозначают частные решения уравнения Шредингера в обозначениях Дирака , взвешенные по двум амплитудам вероятности $c_{0}$ и $c_{1}$что оба являются комплексными числами. Здесь $|0\rangle$ соответствует классическому 0 биту , а $|1\rangle$к классическому 1 биту. Вероятности измерения системы в $|0\rangle$ или $|1\rangle$ состояние даны $|c_{0}|^{2}$ и $|c_{1}|^{2}$соответственно (см. правило Борна ). До начала измерения кубит находится в суперпозиции обоих состояний.

Интерференционные полосы в эксперименте с двумя щелями представляют собой еще один пример принципа суперпозиции.

Предыстория

Поль Дирак описал принцип суперпозиции следующим образом:

Общий принцип суперпозиции квантовой механики применим к состояниям [которые теоретически возможны без взаимного вмешательства или противоречия] ... любой динамической системы. Это требует от нас допустить, что между этими состояниями существуют особые отношения, так что всякий раз, когда система определенно находится в одном состоянии, мы можем рассматривать ее как частично находящуюся в каждом из двух или более других состояний. Исходное состояние следует рассматривать как результат своего рода суперпозиции двух или более новых состояний, что невозможно представить на основе классических идей. Любое состояние можно рассматривать как результат суперпозиции двух или более других состояний, причем бесконечным множеством способов. И наоборот, любые два или более состояний могут быть наложены друг на друга, образуя новое состояние...

Неклассическая природа процесса суперпозиции становится ясно, если мы рассмотрим суперпозицию двух состояний, А и В , такую, что существует наблюдение, которое, если оно сделано над системой в состоянии А , наверняка приведет к одному конкретному результату. результат, скажем, a , и когда он выполняется в системе в состоянии B, он обязательно приведет к какому-то другому результату, скажем, b . Каков будет результат наблюдения, проведенного над системой в суперпозитивном состоянии? Ответ заключается в том, что результатом будет иногда a , а иногда b в соответствии с законом вероятности, зависящим от относительных весов A и B в процессе суперпозиции. Оно никогда не будет отличаться ни от a , ни от b [т. е. ни от a , ни от b ]. Таким образом, промежуточный характер состояния, образованного суперпозицией, выражается через вероятность того, что конкретный результат наблюдения будет промежуточным между соответствующими вероятностями для исходных состояний, а не через то, что сам результат является промежуточным между соответствующими результатами для исходных состояний.

Антон Цайлингер , ссылаясь на прототипический пример эксперимента с двумя щелями , подробно остановился на создании и разрушении квантовой суперпозиции:

«[T] суперпозиция амплитуд ... действительна только в том случае, если нет способа узнать, даже в принципе, какой путь прошла частица. Важно понимать, что это не означает, что наблюдатель действительно замечает то, что Достаточно уничтожить интерференционную картину, если информация о траектории в принципе доступна из эксперимента или даже если она рассеяна в окружающей среде и за пределами какой-либо технической возможности ее восстановления, но в принципе все еще «там». Отсутствие такой информации является существенным критерием возникновения квантовой интерференции.

Теория

Общий формализм

Любое состояние можно разложить как сумму собственных состояний эрмитова оператора, например гамильтониана, поскольку собственные состояния образуют полный базис:

$|\alpha \rangle =\sum _{x}c_{n}|n\rangle ,$

где $|n\rangle$являются собственными энергетическими состояниями гамильтониана. Для непрерывных переменных, таких как собственные состояния положения, $|x\rangle$:

$|\alpha \rangle =\int dx'|x'\rangle \langle x'|\alpha \rangle ,$

где $\phi _{\alpha }(x)=\langle x|\alpha \rangle$ это проекция государства на $|x\rangle$основе и называется волновой функцией частицы. В обоих случаях мы замечаем, что $|\alpha \rangle$ может быть расширено как суперпозиция бесконечного числа базисных состояний.

Пример

Учитывая уравнение Шредингера

${\hat {H}}|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$

где $|n\rangle$ индексирует набор собственных состояний гамильтониана с собственными значениями энергии $E_{n},$ мы сразу видим, что

${\hat {H}}{\big (}|n\rangle +|n'\rangle {\big )}=E_{n}|n\rangle +E_{n'}|n'\rangle ,$

где

$|\Psi \rangle =|n\rangle +|n'\rangle$

является решением уравнения Шредингера, но обычно не является собственным состоянием, поскольку $E_{n}$ и $E_{n'}$как правило, не равны. Мы говорим, что $|\Psi \rangle$состоит из суперпозиции собственных энергетических состояний. Теперь рассмотрим более конкретный случай электрона со спином вверх или вниз. Теперь проиндексируем собственные состояния со спинорами в ${\hat {z}}$ основа:

$|\Psi \rangle =c_{1}|{\uparrow }\rangle +c_{2}|{\downarrow }\rangle ,$

где $|{\uparrow }\rangle$ и $|{\downarrow }\rangle$обозначают состояния со спином вверх и вниз соответственно. Как обсуждалось ранее, величины комплексных коэффициентов дают вероятность обнаружения электрона в любом определенном спиновом состоянии:

$P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2},$

$P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{2}|^{2},$

$P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1,$

где вероятность найти частицу со спином вверх или вниз нормирована на 1. Обратите внимание, что $c_{1}$ и $c_{2}$ являются комплексными числами, так что

$|\Psi \rangle ={\frac {3}{5}}i|{\uparrow }\rangle +{\frac {4}{5}}|{\downarrow }\rangle .$

является примером разрешенного состояния. Теперь мы получаем

$P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {3i}{5}}\right|^{2}={\frac {9}{25}},$

$P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {4}{5}}\right|^{2}={\frac {16}{25}},$

$P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1.$

Если мы рассмотрим кубит, обладающий как позицией, так и спином, состояние представляет собой суперпозицию всех возможностей для обоих:

$\Psi =\psi _{+}(x)\otimes |{\uparrow }\rangle +\psi _{-}(x)\otimes |{\downarrow }\rangle ,$

где у нас есть общее состояние $\Psi$ представляет собой сумму тензорных произведений волновых функций позиционного пространства и спиноров.

эволюция

Числа, описывающие амплитуды для разных возможностей, определяют кинематику , пространство разных состояний. Динамика описывает, как эти цифры меняются со временем. Для частицы, которая может находиться в любом из бесконечного числа дискретных положений (частицы на решетке), принцип суперпозиции подсказывает вам, как создать состояние:

$\sum _{n}\psi _{n}|n\rangle \,$

Так что бесконечный список амплитуд ${\textstyle (\ldots ,\psi _{-2},\psi _{-1},\psi _{0},\psi _{1},\psi _{2},\ldots )}$полностью описывает квантовое состояние частицы. Этот список называется вектором состояния и формально является элементом гильбертова пространства — бесконечномерного комплексного векторного пространства . Обычно состояние представляют так, чтобы сумма абсолютных квадратов амплитуд была равна единице:

$\sum \psi _{n}^{*}\psi _{n}=1$

Для частицы, описываемой теорией вероятностей, случайного блуждания по прямой, аналогичной вещью является список вероятностей. ${\textstyle (\ldots ,P_{-2},P_{-1},P_{0},P_{1},P_{2},\ldots )}$, которые дают вероятность любой позиции. Величины, описывающие их изменение во времени, — это вероятности перехода. $\scriptstyle K_{x\rightarrow y}(t)$, что дает вероятность того, что, начиная с точки x, частица окажется в точке y через время t. Общая вероятность оказаться в точке y определяется суммой всех возможностей

$P_{y}(t_{0}+t)=\sum _{x}P_{x}(t_{0})K_{x\rightarrow y}(t)\,$

Условие сохранения вероятности гласит, что, начиная с любого x, общая вероятность оказаться где-то в сумме должна составлять 1:

$\sum _{y}K_{x\rightarrow y}=1\,$

Чтобы общая вероятность сохранялась, K является так называемой стохастической матрицей .

Когда время не проходит, ничего не меняется: за 0 прошедшего времени $\scriptstyle K{x\rightarrow y}(0)=\delta _{xy}$, матрица K равна нулю, за исключением перехода из состояния в себя. Поэтому в случае, когда времени мало, лучше говорить о скорости изменения вероятности, а не об абсолютном изменении вероятности.

$P_{y}(t+dt)=P_{y}(t)+dt\,\sum _{x}P_{x}R_{x\rightarrow y}\,$

где $\scriptstyle R_{x\rightarrow y}$ — производная по времени матрицы K:

$R_{x\rightarrow y}={K_{x\rightarrow y}\,dt-\delta _{xy} \over dt}.\,$

Уравнение вероятностей представляет собой дифференциальное уравнение, которое иногда называют главным уравнением :

${dP_{y} \over dt}=\sum _{x}P_{x}R_{x\rightarrow y}\,$

Матрица R представляет собой вероятность перехода частицы из x в y в единицу времени. Условие того, что сумма элементов матрицы K равна единице, становится условием того, что сумма элементов матрицы R равна нулю:

$\sum _{y}R_{x\rightarrow y}=0\,$

Один простой случай для изучения — это когда матрица R имеет равную вероятность переместиться на одну единицу влево или вправо, описывая частицу, имеющую постоянную скорость случайного блуждания. В этом случае $\scriptstyle R_{x\rightarrow y}$ равно нулю, если y не равно x + 1, x или x - 1, когда y равно x + 1 или x - 1, матрица R имеет значение c , и для того, чтобы сумма коэффициентов матрицы R равнялась нулю, значение $R_{x\rightarrow x}$должно быть −2 c . Таким образом, вероятности подчиняются дискретному уравнению диффузии :

${dP_{x} \over dt}=c(P_{x+1}-2P_{x}+P_{x-1})\,$

который, когда c соответствующим образом масштабируется и распределение P достаточно гладкое, чтобы можно было представить систему в пределе континуума, становится:

${\partial P(x,t) \over \partial t}=c{\partial ^{2}P \over \partial x^{2}}\,$

Что такое уравнение диффузии .

Квантовые амплитуды определяют скорость изменения амплитуд во времени, и математически они абсолютно одинаковы, за исключением того, что они представляют собой комплексные числа. Аналог матрицы K конечного времени называется матрицей U:

$\psi _{n}(t)=\sum _{m}U_{nm}(t)\psi _{m}\,$

Поскольку сумма абсолютных квадратов амплитуд должна быть постоянной, $U$ должно быть унитарным :

$\sum _{n}U_{nm}^{*}U_{np}=\delta _{mp}\,$

или, в матричной записи,

$U^{\dagger }U=I\,$

Скорость изменения U называется гамильтонианом H с точностью до традиционного коэффициента i :

$H_{mn}=i{d \over dt}U_{mn}$

Гамильтониан определяет скорость, с которой амплитуда частицы изменяется от m до n. Причина, по которой его умножают на i, заключается в том, что условие унитарности U преобразуется в условие:

$(I+iH^{\dagger }\,dt)(I-iH\,dt)=I$

$H^{\dagger }-H=0\,$

который говорит, что H является эрмитовым . Собственные значения эрмитовой матрицы H являются действительными величинами, которые имеют физическую интерпретацию как уровни энергии. Если бы фактор i отсутствовал, матрица H была бы антиэрмитовой и имела бы чисто мнимые собственные значения, что не является традиционным способом, которым квантовая механика представляет наблюдаемые величины, такие как энергия.

Для частицы, имеющей одинаковую амплитуду и движущейся влево и вправо, эрмитова матрица H равна нулю, за исключением ближайших соседей, где она имеет значение c . Если коэффициент везде постоянный, то условие эрмитовости H требует, чтобы амплитуда перемещения влево была комплексно-сопряженной амплитудой перемещения вправо. Уравнение движения для $\psi$ – дифференциальное уравнение во времени:

$i{d\psi _{n} \over dt}=c^{*}\psi _{n+1}+c\psi _{n-1}$

В случае, когда левое и правое симметричны, c действительно. Переопределяя фазу волновой функции во времени, $\psi \rightarrow \psi e^{i2ct}$, амплитуды нахождения в разных местах только масштабируются, так что физическая ситуация не меняется. Но это вращение фаз вводит линейный член.

$i{d\psi _{n} \over dt}=c\psi _{n+1}-2c\psi _{n}+c\psi _{n-1},$

что является правильным выбором фазы для достижения предела непрерывности. Когда $c$ очень большой и $\psi$ медленно меняется, так что решетку можно представить как линию, это становится свободным уравнением Шредингера :

$i{\partial \psi \over \partial t}=-{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}$

Если в матрице H есть дополнительный член, который представляет собой дополнительное вращение фазы, которое меняется от точки к точке, пределом непрерывной среды является уравнение Шредингера с потенциальной энергией:

$i{\partial \psi \over \partial t}=-{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+V(x)\psi$

Эти уравнения описывают движение одиночной частицы в нерелятивистской квантовой механике.

Квантовая механика в мнимом времени

Волновые функции квантовой механики представляют собой амплитуды вероятности для определенных состояний, поэтому квантовая механика поддается статистическому описанию. В статистической системе в дискретное время t=1,2,3, описываемой матрицей перехода за один временной шаг. $\scriptstyle K_{m\rightarrow n}$, вероятность пройти между двумя точками после конечного числа временных шагов может быть представлена ​​как сумма по всем путям вероятности выбора каждого пути:

$K_{x\rightarrow y}(T)=\sum _{x(t)}\prod _{t}K_{x(t)x(t+1)}\,$

где сумма распространяется на все пути $x(t)$ с имуществом, которое $x(0)=0$ и $x(T)=y$. Аналогичным выражением в квантовой механике является интеграл по путям .

Общая матрица перехода по вероятности имеет стационарное распределение, которое представляет собой возможную вероятность, которую можно найти в любой точке, независимо от начальной точки. Если существует ненулевая вероятность того, что любые два пути достигнут одной и той же точки одновременно, это стационарное распределение не зависит от начальных условий. В теории вероятностей вероятность m для стохастической матрицы подчиняется детальному балансу , когда стационарное распределение $\rho _{n}$ имеет свойство:

$\rho _{n}K_{n\rightarrow m}=\rho _{m}K_{m\rightarrow n}\,$

Подробный баланс говорит, что общая вероятность перехода от m к n в стационарном распределении, то есть вероятность начать с m $\rho _{m}$умноженное на вероятность перехода от m к n, равно вероятности перехода от n к m, так что общий возвратный поток вероятностей в равновесии равен нулю на любом переходе. Условие автоматически выполняется, когда n = m, поэтому при записи оно имеет ту же форму, что и условие для матрицы вероятности перехода R.

$\rho _{n}R_{n\rightarrow m}=\rho _{m}R_{m\rightarrow n}\,$

Когда матрица R подчиняется детальному балансу, масштаб вероятностей можно переопределить с использованием стационарного распределения, так что их сумма больше не равна 1:

$p'_{n}={\sqrt {\rho _{n}}}\;p_{n}\,$

В новых координатах матрица R масштабируется следующим образом:

${\sqrt {\rho _{n}}}R_{n\rightarrow m}{1 \over {\sqrt {\rho _{m}}}}=H_{nm}\,$

и H симметричен

$H_{nm}=H_{mn}\,$

Эта матрица H определяет квантовомеханическую систему:

$i{d \over dt}\psi _{n}=\sum H_{nm}\psi _{m}\,$

гамильтониан которого имеет те же собственные значения, что и R-матрица статистической системы. Собственные векторы тоже такие же, за исключением того, что они выражены в масштабированном базисе. Стационарное распределение статистической системы является основным состоянием гамильтониана и имеет энергию ровно нулевую, тогда как все остальные энергии положительны. Если H возводится в степень, чтобы найти матрицу U:

$U(t)=e^{-iHt}\,$

и t может принимать комплексные значения, матрица K' находится, взяв мнимое время .

$K'(t)=e^{-Ht}\,$

Для квантовых систем, инвариантных относительно обращения времени, гамильтониан можно сделать вещественным и симметричным, так что действие обращения времени на волновую функцию представляет собой просто комплексное сопряжение. Если такой гамильтониан имеет уникальное состояние с наименьшей энергией и положительной действительной волновой функцией, как это часто бывает по физическим причинам, он связан со стохастической системой в мнимом времени. Эта связь между стохастическими и квантовыми системами проливает много света на суперсимметрию .

Эксперименты и приложения

успешные эксперименты по суперпозиции относительно крупных (по меркам квантовой физики) объектов. Проведены

• « кошачье состояние было достигнуто С фотонами » .
• Ион бериллия . захвачен в суперпозитивном состоянии
• Эксперимент с двумя щелями был проведен с молекулами размером с бакиболы и функционализированными олигопорфиринами, содержащими до 2000 атомов.
• Эксперимент 2013 года совместил молекулы, содержащие по 15 000 протонов, нейтронов и электронов. Молекулы представляли собой соединения, выбранные из-за их хорошей термической стабильности, и испарялись в пучок при температуре 600 К. Пучок был приготовлен из высокоочищенных химических веществ, но все же содержал смесь различных молекулярных частиц. Каждый вид молекул вмешивался только сам в себя, что подтверждается масс-спектрометрией.
• Эксперимент с использованием сверхпроводящего квантового интерференционного устройства («Сквид») был связан с темой мысленного эксперимента «состояние кошки».

Благодаря использованию очень низких температур были созданы очень точные экспериментальные механизмы для защиты в условиях почти изоляции и сохранения когерентности промежуточных состояний в течение определенного периода времени между подготовкой и обнаружением токов СКВИДа. Такой ток СКВИДа представляет собой когерентную физическую совокупность, возможно, миллиардов электронов. Благодаря своей связности такую ​​совокупность можно рассматривать как демонстрирующую «коллективные состояния» макроскопической квантовой сущности. Что касается принципа суперпозиции, то после того, как он подготовлен, но до того, как он обнаружен, его можно рассматривать как проявляющее промежуточное состояние. Это не одночастичное состояние, которое часто рассматривается при обсуждении интерференции, например, Дираком в его знаменитом изречении, изложенном выше. Более того, хотя «промежуточное» состояние можно условно рассматривать как таковое, оно не было создано как результат работы вторичного квантового анализатора, в который подавалось чистое состояние из первичного анализатора, и поэтому это не является примером суперпозиции в строгом смысле этого слова. и узко определены.

Тем не менее, после подготовки, но до измерения, такое состояние СКВИДа можно рассматривать, так сказать, как «чистое» состояние, которое представляет собой суперпозицию текущего состояния по часовой стрелке и против часовой стрелки. В СКВИДе коллективные электронные состояния могут быть физически подготовлены практически изолированно, при очень низких температурах, что приводит к созданию защищенных когерентных промежуточных состояний. Здесь примечательно то, что существуют два хорошо разделенных самосогласованных коллективных состояния, которые демонстрируют такую ​​метастабильность . Толпа электронов туннелирует взад и вперед между состояниями по часовой стрелке и против часовой стрелки, в отличие от формирования одного промежуточного состояния, в котором нет определенного коллективного смысла течения тока.

• эксперимент с вирусом гриппа . Был предложен
• Создан пьезоэлектрический « » камертон , который можно поместить в суперпозицию колеблющегося и неколеблющегося состояний. Резонатор содержит около 10 триллионов атомов.
• Недавние исследования показывают, что хлорофилл в растениях, по-видимому, использует свойство квантовой суперпозиции для достижения большей эффективности в транспортировке энергии, позволяя пигментным белкам располагаться дальше друг от друга, чем это было бы возможно в противном случае.
• Предложен эксперимент с охлаждением бактериальной клетки до 10 мК с использованием электромеханического генератора. При такой температуре весь обмен веществ был бы остановлен, и клетка могла бы вести себя практически как определенный химический вид. Для обнаружения помех было бы необходимо, чтобы клетки поставлялись в больших количествах в виде чистых образцов идентичных и обнаруживаемых виртуальных химических веществ. Неизвестно, могут ли бактериальные клетки удовлетворить этому требованию. Во время эксперимента они находились в состоянии анабиоза.

В квантовых вычислениях фраза «состояние кошки» часто относится к состоянию GHZ . особое запутанное состояние кубитов , в котором кубиты находятся в равной суперпозиции, где все равны 0 и все равны 1; то есть,

$|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}|00\ldots 0\rangle +|11\ldots 1\rangle {\bigg )}.$

квантовой

Однородные квантовые состояния суперпозиции описывают квантовые системы, которые существуют в виде линейной комбинации нескольких базисных состояний, причем каждое базисное состояние в равной степени вносит вклад в общую суперпозицию.

Определение

В контексте $n$- система кубитов , однородное состояние квантовой суперпозиции определяется как

$$|\Psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j=0}^{N-1}|j\rangle ,$$

где $|j\rangle$ представляет собой вычислительные базовые состояния $n$-кубитная система и $N$— общее количество различных состояний в суперпозиции. Коэффициент нормализации $1/{\sqrt {N}}$ гарантирует, что суммарная вероятность нахождения системы в одном из базисных состояний равна 1.

квантовых

Однородные состояния суперпозиции играют решающую роль в алгоритмах квантовых вычислений. Они часто используются в качестве начальных или промежуточных состояний во время квантовых вычислений. Способность эффективно готовить однородные состояния суперпозиции важна для реализации различных квантовых алгоритмов (например, алгоритма Гровера , квантового преобразования Фурье ), поскольку она влияет на общую эффективность и успех квантовых вычислений.

Получение однородных состояний квантовой суперпозиции, когда $N=2^{n}$

Дополнительная информация: Квантовые ворота § ворота Адамара.

Для $n$-кубитная система, ворота Адамара, действующие на каждый из $n$ кубиты (каждый инициализируется $|0\rangle$) можно использовать для подготовки однородных состояний квантовой суперпозиции, когда $N$ имеет форму $N=2^{n}$. В этом случае случай с $n$ кубиты, комбинированный вентиль Адамара $H_{n}$ выражается как тензорное произведение $n$ Ворота Адамара:

$H_{n}=\underbrace {H\otimes H\otimes \ldots \otimes H} _{n{\text{ times}}}.$

Результирующее однородное состояние квантовой суперпозиции тогда будет

$H_{n}|0\rangle ^{\otimes n}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{j=0}^{2^{n}-1}|j\rangle .$

Это обобщает приготовление однородных квантовых состояний с использованием вентилей Адамара для любых $N=2^{n}$.

Измерение этого однородного квантового состояния приводит к получению случайного случайного состояния между $|0\rangle$ и $|N-1\rangle$.

Примеры

Пример 1: $N=2$

Для системы с $n=1$ кубит, вентиль Адамара применяется к одному кубиту:

$H_{1}=H.$

Применение $H_{1}$ к $|0\rangle$ дает однородное состояние квантовой суперпозиции:

${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle +|1\rangle {\big )}.$

Пример 2: $N=4$

Для системы с $n=2$ кубиты, комбинированный вентиль Адамара $H_{2}$ является тензорным произведением двух ворот Адамара:

$H_{2}=H\otimes H.$

Математически это выражается как

$$H_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}.$$

Применение $H_{2}$ к $|00\rangle$ дает состояния суперпозиции с одинаковыми весами.

Получение однородных состояний квантовой суперпозиции в общем случае: $N\neq 2^{n}$

Эффективный и детерминированный подход к подготовке состояния суперпозиции.

$$|\Psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j=0}^{N-1}|j\rangle$$

со сложностью вентиля и глубиной схемы всего $O(\log _{2}N)$ для всех $N$ был представлен недавно. Этот подход требует всего лишь $n=\lceil \log _{2}N\rceil$кубиты. Важно отметить, что в этом подходе для создания однородного состояния суперпозиции не нужны ни вспомогательные кубиты, ни какие-либо квантовые вентили с несколькими элементами управления. $|\Psi \rangle$.

Формальная

Применяя принцип суперпозиции к квантовомеханической частице, все конфигурации частицы представляют собой положения, поэтому суперпозиции создают сложную волну в пространстве. Коэффициенты линейной суперпозиции представляют собой волну, которая как можно лучше описывает частицу и амплитуда которой интерферирует по принципу Гюйгенса .

Для любого физического свойства в квантовой механике существует список всех состояний, в которых это свойство имеет некоторое значение. Эти состояния обязательно перпендикулярны друг другу, используя евклидово понятие перпендикулярности, которое исходит из суммы квадратов длины, за исключением того, что они также не должны быть кратными друг другу. Этот список перпендикулярных состояний имеет связанное значение, которое является значением физического свойства. Принцип суперпозиции гарантирует, что любое состояние можно записать как комбинацию состояний такого вида с комплексными коэффициентами.

Запишите каждое состояние со значением q физической величины в виде вектора в некотором базисе. $\psi _{n}^{q}$, список чисел для каждого значения n для вектора, который имеет значение q для физической величины. Теперь сформируйте внешнее произведение векторов, умножив все компоненты вектора и добавив к ним коэффициенты, чтобы получилась матрица.

$A_{nm}=\sum _{q}q\psi _{n}^{*q}\psi _{m}^{q}$

где сумма распространяется на все возможные значения q. Эта матрица обязательно симметрична, поскольку она формируется из ортогональных состояний и имеет собственные значения q. Матрица A называется наблюдаемой, связанной с физической величиной. Он обладает тем свойством, что собственные значения и собственные векторы определяют физическую величину и состояния, которые имеют определенные значения для этой величины.

С каждой физической величиной связан эрмитовский линейный оператор , и состояния, в которых значение этой физической величины определено, являются собственными состояниями этого линейного оператора. Линейная комбинация двух или более собственных состояний приводит к квантовой суперпозиции двух или более значений величины. Если величина измеряется, значение физической величины будет случайным, с вероятностью, равной квадрату коэффициента суперпозиции в линейной комбинации. Сразу после измерения состояние будет задавать собственный вектор, соответствующий измеренному собственному значению.

Физическая

Естественно задаться вопросом, почему обычные повседневные объекты и события не проявляют квантово-механических свойств, таких как суперпозиция. Действительно, иногда это считается «загадочным», например, Ричардом Фейнманом. В 1935 году Эрвин Шрёдингер разработал известный мысленный эксперимент, ныне известный как « кот Шрёдингера» , который высветил этот диссонанс между квантовой механикой и классической физикой. Одна из современных точек зрения заключается в том, что эта загадка объясняется квантовой декогеренцией . Макроскопическая система (например, кошка) может со временем превратиться в суперпозицию классически различных квантовых состояний (таких как «живое» и «мертвое»). Механизм, обеспечивающий это, является предметом серьезных исследований. Один из механизмов предполагает, что состояние кошки связано с состоянием ее окружающей среды (например, молекул в окружающей ее атмосфере). При усреднении по возможным квантовым состояниям окружающей среды (физически разумная процедура, если только квантовое состояние среды не может быть точно проконтролировано или измерено) полученное смешанное квантовое состояние кошки очень близко к классическому вероятностному состоянию, в котором кошка имеет некоторая определенная вероятность быть мертвым или живым, как и ожидал бы в этой ситуации классический наблюдатель. Другой предложенный класс теорий заключается в том, что фундаментальное уравнение эволюции во времени является неполным и требует добавления некоторого типа фундаментального Линдбладана ; причина этого добавления и форма дополнительного члена варьируются от теории к теории. Популярная теория заключается в том, непрерывная спонтанная локализация , где член Линдблада пропорционален пространственному разделению состояний. Это также приводит к квазиклассическому вероятностному состоянию.

См. также

• собственные состояния
• Интерферометр Маха – Цендера
• Интерпретация Пенроуза
• Чистое состояние кубита
• Квантовые вычисления
• кот Шредингера
• Принцип суперпозиции
• Волновой пакет

Ссылки

Библиография цитируемых ссылок

• Бор, Н. (1927/1928). Квантовый постулат и недавнее развитие атомной теории, Приложение к природе , 14 апреля 1928 г., 121 : 580–590 .
• Коэн-Таннуджи, К. , Диу, Б., Лалоэ, Ф. (1973/1977). Квантовая механика , перевод с французского С. Р. Хемли, Н. Островского, Д. Островского, второе издание, том 1, Уайли, Нью-Йорк, ISBN   0471164321 .
• Дирак, ПАМ (1930/1958). Принципы квантовой механики , 4-е издание, Oxford University Press.
• Эйнштейн, А. (1949). Замечания по поводу эссе, собранных в этом совместном томе, переведенные с оригинального немецкого редактором, стр. 665–688, в Schilpp, редакторе PA (1949), Альберт Эйнштейн: Философ-ученый , том II , Open Court, La Салле Иллинойс.
• Фейнман, Р.П. , Лейтон, Р.Б., Сэндс, М. (1965). Лекции Фейнмана по физике , том 3 , Аддисон-Уэсли, Ридинг, Массачусетс.
• Мерцбахер, Э. (1961/1970). Квантовая механика , второе издание, Уайли, Нью-Йорк.
• Мессия, А. (1961). Квантовая механика , том 1, перевод Г. М. Теммера из французского Mécanique Quantique , Северная Голландия, Амстердам.
• Уиллер, Дж.А. ; Журек, WH (1983). Квантовая теория и измерения . Принстон, штат Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
• Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0521632358 . OCLC   43641333 .
• Уильямс, Колин П. (2011). Исследования в области квантовых вычислений . Спрингер . ISBN  978-1-84628-887-6 .
• Янофски, Носон С.; Маннуччи, Мирко (2013). Квантовые вычисления для компьютерщиков . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-87996-5 .