уравнение Паули

В квантовой механике уравнение Паули или уравнение Шредингера-Паули представляет собой формулировку уравнения Шрёдингера для частиц со спином 1/2 частицы , которая учитывает взаимодействие спина с внешним электромагнитным полем . Это нерелятивистский предел уравнения Дирака , и его можно использовать там, где частицы движутся со скоростью, намного меньшей скорости света , так что релятивистскими эффектами можно пренебречь. Его сформулировал Вольфганг Паули в 1927 году. В линеаризованной форме оно известно как уравнение Леви-Леблона .

Уравнение

Для частицы массы $m$ и электрический заряд $q$, в электромагнитном поле, описываемом магнитным векторным потенциалом $\mathbf {A}$ и электрический скалярный потенциал $\phi$уравнение Паули гласит:

Уравнение Паули (общее)

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

Здесь ${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ операторы Паули для удобства собраны в вектор, $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$ — оператор импульса в представлении позиции. Состояние системы, $|\psi \rangle$ (записанная в обозначениях Дирака ), может рассматриваться как двухкомпонентная спинорная волновая функция , или вектор-столбец (после выбора базиса):

$|\psi \rangle =\psi _{+}|{\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-}|{\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}$.

Оператор Гамильтона представляет собой матрицу размера 2 × 2 из-за операторов Паули .

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi$

Подстановка в уравнение Шредингера дает уравнение Паули. Этот гамильтониан аналогичен классическому гамильтониану заряженной частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем. см. в силе Лоренца Подробности этого классического случая . Член кинетической энергии для свободной частицы в отсутствие электромагнитного поля равен просто ${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$ где $\mathbf {p}$ - кинетический импульс , а в присутствии электромагнитного поля он предполагает минимальную связь $\mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A}$, где сейчас $\mathbf {\Pi }$ - кинетический импульс и $\mathbf {p}$ является каноническим импульсом .

Операторы Паули можно удалить из термина кинетической энергии, используя векторное тождество Паули :

$({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)$

Обратите внимание, что в отличие от вектора дифференциальный оператор $\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ имеет ненулевое векторное произведение само на себя. В этом можно убедиться, рассмотрев векторное произведение, примененное к скалярной функции. $\psi$:

$\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi =-q\left[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi$

где $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ является магнитное поле.

Тогда для полного уравнения Паули получаем

Уравнение Паули (стандартная форма)

${\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

для которых известны лишь несколько аналитических результатов, например, в контексте квантования Ландау с однородными магнитными полями или для идеализированного кулоновского неоднородного магнитного поля.

Слабые магнитные поля

Для случая, когда магнитное поле постоянно и однородно, можно расширить ${\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}$ используя симметричный калибр ${\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} }$, где ${\textstyle \mathbf {r} }$ является оператором позиции , а A теперь является оператором. Мы получаем

$(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\hat {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,$

где ${\textstyle \mathbf {\hat {L}} }$ частицы — оператор углового момента , и мы пренебрегли членами в квадрате магнитного поля ${\textstyle B^{2}}$. Таким образом, мы получаем

Уравнение Паули (слабые магнитные поля)

$\left[{\frac {1}{2m}}\left[|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {L}} +2\mathbf {\hat {S}} )\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

где ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ это спин частицы. Фактор 2 перед спином известен как g -фактор Дирака . Срок в ${\textstyle \mathbf {B} }$, имеет вид ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ что является обычным взаимодействием между магнитным моментом ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$ и магнитное поле, как в эффекте Зеемана .

Для электрона заряд ${\textstyle -e}$ в изотропном постоянном магнитном поле можно дополнительно сократить уравнение, используя полный угловой момент ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ и теорема Вигнера-Экарта . Таким образом, мы находим

$\left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

где ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$ — магнетон Бора и ${\textstyle m_{j}}$ магнитное квантовое число, связанное с ${\textstyle \mathbf {J} }$. Термин ${\textstyle g_{J}}$ известен как g-фактор Ланде и определяется здесь выражением

$g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},$

где $\ell$ орбитальное квантовое число, связанное с $L^{2}$ и $j$ полное орбитальное квантовое число, связанное с $J^{2}$.

Из уравнения Дирака

Уравнение Паули можно вывести из нерелятивистского предела уравнения Дирака , которое представляет собой релятивистское квантовое уравнение движения для частиц со спином 1/2.

Вывод

Уравнение Дирака можно записать как:

$$i\hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},$$

где ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ и $\psi _{1},\psi _{2}$ являются двухкомпонентными спинорами , образующими биспинор .

Используя следующий анзац:

$${\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},$$

с двумя новыми спинорами $\psi ,\chi$, уравнение принимает вид

$$i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.$$

В нерелятивистском пределе $\partial _{t}\chi$ а кинетическая и электростатическая энергии малы по отношению к энергии покоя $mc^{2}$, что приводит к уравнению Леви-Леблона . Таким образом

$$\chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.$$

Подставив в верхнюю часть уравнения Дирака, находим уравнение Паули (общий вид):

$$i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .$$

Фолди

Строгий вывод уравнения Паули следует из уравнения Дирака во внешнем поле и выполнения преобразования Фолди – Ваутхейзена. учитывая сроки до заказа ${\mathcal {O}}(1/mc)$. Аналогичным образом можно определить поправки более высокого порядка к уравнению Паули, приводящие к возникновению членов спин-орбитального и дарвиновского взаимодействия при расширении до порядка ${\mathcal {O}}(1/(mc)^{2})$ вместо.

Муфта Паули

Уравнение Паули получено путем требования минимальной связи , что обеспечивает g -фактор g =2. Большинство элементарных частиц имеют аномальные g -факторы, отличные от 2. В области релятивистской квантовой теории поля определяют неминимальную связь, иногда называемую связью Паули, чтобы добавить аномальный фактор.

$\gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

где $p_{\mu }$ — оператор четырех импульсов , $A_{\mu }$ – электромагнитный четырехпотенциал , $a$ пропорционален аномальному магнитному дипольному моменту , $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$ – электромагнитный тензор , а ${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$ — лоренцевы спиновые матрицы и коммутатор гамма- матриц $\gamma ^{\mu }$. В контексте нерелятивистской квантовой механики вместо работы с уравнением Шредингера связь Паули эквивалентна использованию уравнения Паули (или постулированию энергии Зеемана ) для произвольного g -фактора.

См. также

• Полуклассическая физика
• Атомная, молекулярная и оптическая физика
• Групповое сокращение
• Разложение Гордона

Ссылки

Книги

• Швабль, Франц (2004). Квантовая механика И. Спрингер. ISBN  978-3540431060 .
• Швабль, Франц (2005). Квантовая механика для продвинутых студентов . Спрингер. ISBN  978-3540259046 .
• Клод Коэн-Таннуджи; Бернард Год; Фрэнк Лало (2006). Квантовая механика 2 . Уайли, Дж. ISBN  978-0471569527 .