Уровни Ландау

В квантовой механике энергии циклотронных орбит заряженных частиц в однородном магнитном поле квантуются до дискретных величин, известных как уровни Ландау . Эти уровни вырождены : количество электронов на уровне прямо пропорционально силе приложенного магнитного поля. Назван в честь советского физика Льва Ландау .

Квантование Ландау способствует развитию магнитной восприимчивости металлов, известной как диамагнетизм Ландау . В сильных магнитных полях квантование Ландау приводит к колебаниям электронных свойств материалов в зависимости от приложенного магнитного поля, известным как эффекты Де Хааса – Ван Альфена и Шубникова – де Хааса .

Квантование Ландау является ключевым моментом в объяснении целочисленного квантового эффекта Холла .

Вывод

Схема циклотронной орбиты частицы со скоростью v траекторию заряженной частицы (здесь положительный заряд) в однородном магнитном поле B. , которая представляет собой классическую Квантование Ландау относится к квантовой заряженной частице, находящейся в однородном магнитном поле.

Рассмотрим систему невзаимодействующих частиц с зарядом q и спином S, ограниченную областью A = L _x L _y в плоскости xy . Примените однородное магнитное поле $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}$ вдоль оси z . В СИ единицах гамильтониан этой системы (здесь пренебрегается влиянием спина) равен $${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}\right)^{2}.$$Здесь, ${\textstyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ — канонический оператор импульса и ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}}$ – оператор электромагнитного векторного потенциала ${\textstyle \mathbf {A} }$ (в пространстве позиций ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}=\mathbf {A} }$).

Векторный потенциал связан с магнитным полем соотношением $\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} .$

Существует некоторая калибровочная свобода в выборе векторного потенциала для данного магнитного поля. Гамильтониан является калибровочным инвариантом , что означает, что добавление градиента скалярного поля к A изменяет общую фазу волновой функции на величину, соответствующую скалярному полю. Но на физические свойства не влияет конкретный выбор калибра.

В манометре Ландау

Из возможных решений для A часто используется калибровочная фиксация, введенная Львом Ландау, для заряженных частиц в постоянном магнитном поле.

Когда $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}$ затем $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0\\B\cdot x\\0\end{pmatrix}}$ возможное решение в калибровке Ландау.

В этой калибровке гамильтониан есть $${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-qB{\hat {x}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.$$Оператор ${\hat {p}}_{y}$ коммутирует с этим гамильтонианом, поскольку оператор ŷ отсутствует по выбору калибровки. Таким образом, оператор ${\hat {p}}_{y}$ можно заменить его собственным значением ħk _y . С ${\hat {z}}$ не появляется в гамильтониане, а в кинетической энергии появляется только z-импульс, это движение вдоль направления z является свободным движением.

Гамильтониан также можно записать проще, заметив, что циклотронная частота равна ω _c = qB / m , что дает $${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.$$Это в точности гамильтониан квантового гармонического осциллятора , за исключением минимума потенциала, сдвинутого в координатном пространстве x0 _на = ħk _y / mω _c .

Чтобы найти энергии, обратите внимание, что перевод потенциала гармонического осциллятора не влияет на энергии. Таким образом, энергии этой системы идентичны энергиям стандартного квантового гармонического осциллятора . $$E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\geq 0~.$$Энергия не зависит от квантового числа ky _{последовательности} , поэтому число вырождений будет конечное (Если частица помещена в неограниченное пространство, то это вырождение будет соответствовать непрерывной $p_{y}$). Стоимость $p_{z}$ является непрерывным, если частица неограничена в направлении z, и дискретным, если частица ограничена также и в направлении z. Каждый набор волновых функций с одинаковым значением n называется уровнем Ландау .

Для волновых функций напомним, что ${\hat {p}}_{y}$ коммутирует с гамильтонианом. Затем волновая функция превращается в произведение собственных состояний импульса в направлении y и собственных состояний гармонического осциллятора. $|\phi _{n}\rangle$ сдвинуто на величину x ₀ в направлении x : $$\Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0})$$где $k_{z}=p_{z}/\hbar$. сумме состояние электрона характеризуется квантовыми n , ky _В и kz _{числами} .

В симметричной калибровке

При выводе x и y рассматривались как асимметричные. Однако в силу симметрии системы не существует физической величины, различающей эти координаты. Тот же результат можно было бы получить, поменяв местами x и y .

Более адекватным выбором калибра является симметричный калибр, который относится к выбору $${\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}.$$

В терминах безразмерных длин и энергий гамильтониан можно выразить как $${\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]$$

Правильные единицы можно восстановить, вводя коэффициенты $q,\hbar ,\mathbf {B}$ и $m$.

Рассмотрим операторы $${\begin{aligned}{\hat {a}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\end{aligned}}$$

Эти операторы подчиняются определенным коммутационным соотношениям. $$[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1.$$

С помощью вышеуказанных операторов гамильтониан можно записать как $${\hat {H}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right),$$где мы вновь ввели юниты обратно.

Индекс уровня Ландау $n$ — собственное значение оператора ${\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$.

Применение ${\hat {b}}^{\dagger }$ увеличивается $m_{z}$ на одну единицу при сохранении $n$, тогда как ${\hat {a}}^{\dagger }$ приложение одновременно увеличивает $n$ и уменьшается $m_{z}$ на одну единицу. Аналогия с квантовым гармоническим осциллятором дает решения $${\hat {H}}|n,m_{z}\rangle =E_{n}|n,m_{z}\rangle ,$$где $$E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)$$и $$|n,m_{z}\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m_{z}+n}}{\sqrt {(m_{z}+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle .$$

Можно убедиться, что указанные выше состояния соответствуют выбору волновых функций, пропорциональных $$\psi _{n,m_{z}}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-|w|^{2}/4}$$где $w=x-iy$.

В частности, низший уровень Ландау $n=0$ состоит из произвольных аналитических функций, умножающих гауссиану, $\psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}$.

Вырождение уровней Ландау.

В манометре Ландау

Эффекты уровней Ландау можно наблюдать только тогда, когда средняя тепловая энергия kT меньше расстояния между уровнями энергии kT ≪ ħω _c , что означает низкие температуры и сильные магнитные поля.

Каждый уровень Ландау вырожден из-за второго квантового числа , _ky которое может принимать значения $$k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}},$$где N — целое число. Допустимые значения N дополнительно ограничены условием, что центр силы осциллятора x ₀ должен физически находиться внутри системы, 0 ≤ x ₀ < L _x . Это дает следующий диапазон для N , $$0\leq N<{\frac {m\omega _{\rm {c}}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.$$

Для частиц с зарядом q = Ze верхнюю границу N можно просто записать как потоков отношение $${\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(h/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},$$где Φ ₀ = h / e — основной квант магнитного потока , а Φ = BA — поток через систему (с площадью A = L _x L _y ).

Таким образом, для частиц со спином S максимальное число D частиц на уровне Ландау равно $$D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~,$$что для электронов (где Z = 1 и S = ​​1/2 ) дает D = 2Φ/Φ ₀ , два доступных состояния для каждого кванта потока, проникающего в систему.

Вышеизложенное дает лишь приблизительное представление об эффектах геометрии конечных размеров. Строго говоря, использование стандартного решения гармонического осциллятора справедливо только для неограниченных в направлении x систем (бесконечные полосы). Если размер L _x конечен, граничные условия в этом направлении приводят к нестандартным условиям квантования магнитного поля, включающим (в принципе) оба решения уравнения Эрмита. Заполнение этих уровней множеством электронов все еще остается нерешенным. активная область исследований.

В целом уровни Ландау наблюдаются в электронных системах. По мере увеличения магнитного поля все больше и больше электронов могут поместиться на данный уровень Ландау. Заселенность высшего уровня Ландау варьируется от полностью заполненного до полностью пустого, что приводит к колебаниям различных электронных свойств (см. Эффект Де Хааса – Ван Альфена и эффект Шубникова – де Гааса ).

Если учесть зеемановское расщепление , каждый уровень Ландау распадается на пару: один для электронов со спином вверх, а другой для электронов со спином вниз. Тогда заселенность каждого спинового уровня Ландау есть не что иное, как отношение потоков D = Φ/Φ ₀ . Зеемановское расщепление оказывает существенное влияние на уровни Ландау, поскольку их энергетические масштабы одинаковы: 2 µ _B B = ħω _c . Однако энергия Ферми и энергия основного состояния остаются примерно одинаковыми в системе со многими заполненными уровнями, поскольку пары разделенных энергетических уровней компенсируют друг друга при суммировании.

Более того, приведенный выше вывод в калибровке Ландау предполагал, что электрон удерживается в направлении z , что является соответствующей экспериментальной ситуацией, обнаруженной, например, в двумерных электронных газах. Тем не менее, это предположение не является существенным для результатов. Если электроны могут свободно двигаться вдоль направления z , волновая функция приобретает дополнительный мультипликативный член exp( ik _z z ) ; энергия, соответствующая этому свободному движению, ( ħ k _z ) ² /(2 m ) добавляется к E. обсуждаемому Затем этот член заполняет разделение по энергии различных уровней Ландау, размывая эффект квантования. Тем не менее движение в плоскости x — y , перпендикулярной магнитному полю, все еще квантовано.

В симметричной калибровке

Каждый уровень Ландау имеет вырожденные орбитали, обозначенные квантовыми числами. $m_{z}$ в симметричном калибре. Вырождение на единицу площади одинаково на каждом уровне Ландау.

компонента z- углового момента равна $${\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})$$

Эксплуатация собственности $[{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0$ мы выбрали собственные функции, которые диагонализуют ${\hat {H}}$ и ${\hat {L}}_{z}$, собственное значение ${\hat {L}}_{z}$ обозначается $-m_{z}\hbar$, где ясно, что $m_{z}\geq -n$ в $n$уровень Ландау. Однако оно может быть сколь угодно большим, что необходимо для получения бесконечного вырождения (или конечного вырождения на единицу площади), проявляемого системой.

Релятивистский случай

Смотрите также: Дело Дирака

Уровни Ландау в графене . Носители заряда в графене ведут себя как релятивистские безмассовые Дирака . частицы

Электрон, следующий уравнению Дирака в постоянном магнитном поле, может быть решен аналитически. Энергии даны $$E_{\rm {rel}}=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(c\hbar k_{z})^{2}+2\nu \hbar \omega _{\rm {c}}mc^{2}}}$$

где c — скорость света, знак зависит от компонента частица-античастица, а ν — целое неотрицательное число. Из-за спина все уровни вырождены, за исключением основного состояния при ν = 0 .

Безмассовый двумерный случай можно смоделировать в однослойных материалах, таких как графен, вблизи конусов Дирака , где собственные энергии определяются выражением $$E_{\rm {graphene}}=\pm {\sqrt {2\nu \hbar eBv_{\rm {F}}^{2}}}$$где скорость света должна быть заменена скоростью Ферми v _F материала, а знак минус соответствует электронным дыркам .

Магнитная восприимчивость ферми-газа

Ферми -газ (ансамбль невзаимодействующих фермионов ) является частью основы понимания термодинамических свойств металлов. В 1930 году Ландау получил оценку магнитной восприимчивости ферми-газа, известную как восприимчивость Ландау , которая является постоянной для малых магнитных полей. Ландау также заметил, что восприимчивость колеблется с высокой частотой в больших магнитных полях. это физическое явление известно как эффект Де Хааса – Ван Альфена .

Двумерная решетка

Смотрите также: бабочка Хофштадтера .

Известно, что энергетический спектр сильной связи заряженных частиц в двумерной бесконечной решетке является самоподобным и фрактальным , что продемонстрировано в бабочке Хофштадтера . При целочисленном отношении кванта магнитного потока к магнитному потоку через ячейку решетки восстанавливаются уровни Ландау для больших целых чисел.

Целочисленный квантовый эффект Холла

Основная статья: Эффект квантового зала

Энергетический спектр полупроводника в сильном магнитном поле образует уровни Ландау, которые можно обозначить целыми индексами. Кроме того, сопротивление Холла также имеет дискретные уровни, отмеченные целым числом ν . Тот факт, что эти две величины связаны, можно показать по-разному, но легче всего это увидеть на основе модели Друде : холловская проводимость зависит от плотности электронов n как

$\rho _{xy}={\frac {B}{ne}}.$

Поскольку плато удельного сопротивления определяется выражением

$\rho _{xy}={\frac {2\pi \hbar }{e^{2}}}{\frac {1}{\nu }},$

требуемая плотность

$n={\frac {B}{\Phi _{0}}}\nu ,$

это именно та плотность, которая необходима для заполнения уровня Ландау. Разрыв между различными уровнями Ландау наряду с большим вырождением каждого уровня делает сопротивление квантованным.

См. также

• Волновая функция Лафлина

Внешние ссылки

• Лев Ландау (1930). «Диамагнетизм металлов» (PDF) (на немецком языке). {{cite web}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

Дальнейшее чтение

• Ландау, Л.Д.; и Лифшиц, Э.М.; (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Курс теоретической физики . Том. 3 (3-е изд. Лондон: Pergamon Press). ISBN   0750635398 .