Волновая функция Лафлина

В физике конденсированного состояния волновая функция Лафлина ^[1]^[2] — это анзац , предложенный Робертом Лафлином для основного состояния двумерного электронного газа, помещенного в однородное фоновое магнитное поле при наличии однородного фона желе , когда фактор заполнения нижнего уровня Ландау равен $\nu =1/n$ где $n$ является нечетным положительным целым числом. Он был построен для объяснения наблюдения $\nu =1/3$ дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) и предсказал существование дополнительных $\nu =1/n$ состояния, а также возбуждения квазичастиц с дробным электрическим зарядом $e/n$ , оба из которых позже были обнаружены экспериментально. За это открытие Лафлин получил треть Нобелевской премии по физике в 1998 году.

Контекст и аналитическое выражение

Если мы игнорируем желе и взаимное кулоновское отталкивание между электронами в качестве приближения нулевого порядка, мы имеем бесконечно вырожденный нижний уровень Ландау (LLL) и с коэффициентом заполнения 1/ n мы ожидаем, что все электроны будут лежать в ЛЛЛ. Включив взаимодействия, мы можем сделать приближение, что все электроны лежат в LLL. Если $\psi _{0}$ — одночастичная волновая функция состояния LLL с наименьшим орбитальным угловым моментом , тогда анзац Лафлина для многочастичной волновой функции равен

\langle z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N}\mid n,N\rangle =\psi _{n,N}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})=D\left[\prod _{N\geqslant i>j\geqslant 1}\left(z_{i}-z_{j}\right)^{n}\right]\prod _{k=1}^{N}\exp \left(-\mid z_{k}\mid ^{2}\right)

где позиция обозначается

z={1 \over 2{\mathit {l}}_{B}}\left(x+iy\right)

в ( гауссовых единицах )

{\mathit {l}}_{B}={\sqrt {\hbar c \over eB}}

и $x$ и $y$ — координаты в плоскости x–y. Здесь $\hbar$ – приведенная постоянная Планка , $e$ – заряд электрона , $N$ - общее число частиц, а $B$ — магнитное поле , перпендикулярное плоскости xy. Индексы у z идентифицируют частицу. Чтобы волновая функция описывала фермионы , n должно быть нечетным целым числом. Это заставляет волновую функцию быть антисимметричной при обмене частицами. Угловой момент для этого состояния равен $n\hbar$ .

Истинное основное состояние в ДКЭХ при ν = 1/3

Учитывать $n=3$ выше: результат $\Psi _{L}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})\propto \Pi _{i<j}(z_{i}-z_{j})^{3}$ – пробная волновая функция; оно не точно, но качественно воспроизводит многие черты точного решения и количественно имеет очень высокую перекрывается с точным основным состоянием для небольших систем. Предполагая кулоновское отталкивание между любыми двумя электронами, то основное состояние $\Psi _{ED}$ можно определить с помощью точной диагонализации ^[3] иперекрытия были рассчитаны как близкие к единице. Более того, при короткодействующем взаимодействии (псевдопотенциалы Холдейна для $m>3$ установить на ноль),Волновая функция Лафлина становится точной: ^[4]т.е. $\langle \Psi _{ED}|\Psi _{L}\rangle =1$ .

Энергия взаимодействия двух частиц

{\displaystyle {\mathit {l}}} — Рисунок 1. Энергия взаимодействия в зависимости от ${\mathit {l}}$ для $n=7$ и $k_{B}r_{B}=20$ . Энергия измеряется в единицах ${e^{2} \over L_{B}}$ . Обратите внимание, что минимумы наблюдаются при ${\mathit {l}}=3$ и ${\mathit {l}}=4$ . Обычно минимумы наблюдаются при ${{\mathit {l}} \over n}={1 \over 2}\pm {1 \over 2n}$ .

Волновая функция Лафлина — это многочастичная волновая функция для квазичастиц . Среднее значение энергии взаимодействия пары квазичастиц равно

\langle V\rangle =\langle n,N\mid V\mid n,N\rangle ,\;\;\;N=2

где экранированный потенциал (см. Статические силы и обмен виртуальными частицами § Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, заключенными в магнитном поле )

V\left(r_{12}\right)=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}}\right)

где $M$ является вырожденной гипергеометрической функцией и ${\mathcal {J}}_{0}$ является функцией Бесселя первого рода. Здесь, $r_{12}$ - расстояние между центрами двух токовых петель, $e$ - величина заряда электрона , $r_{B}={\sqrt {2}}{\mathit {l}}_{B}$ — квантовая версия ларморовского радиуса , и $L_{B}$ – толщина электронного газа в направлении магнитного поля. Угловые моменты двух отдельных токовых петель равны ${\mathit {l}}\hbar$ и ${\mathit {l}}^{\prime }\hbar$ где ${\mathit {l}}+{\mathit {l}}^{\prime }=n$ . Длина обратного экранирования определяется выражением ( гауссовы единицы )

k_{B}^{2}={4\pi e^{2} \over \hbar \omega _{c}AL_{B}}

где $\omega _{c}$ – циклотронная частота , а $A$ – площадь электронного газа в плоскости xy.

Энергия взаимодействия оценивается как:

E=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right)

Для получения этого результата мы сделали замену переменных интегрирования

u_{12}={z_{1}-z_{2} \over {\sqrt {2}}}

и

v_{12}={z_{1}+z_{2} \over {\sqrt {2}}}

и отметил (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

{1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{2n}\;n!}\int d^{2}z_{1}\;d^{2}z_{2}\;\mid z_{1}-z_{2}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid z_{1}\mid ^{2}+\mid z_{2}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {2}}\;{k\mid z_{1}-z_{2}\mid }\right)=

{1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{n}\;n!}\int d^{2}u_{12}\;d^{2}v_{12}\;\mid u_{12}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid u_{12}\mid ^{2}+\mid v_{12}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({2}k\mid u_{12}\mid \right)=

M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right).

Энергия взаимодействия имеет минимумы при (рис. 1)

{{\mathit {l}} \over n}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc.,}}

и

{{\mathit {l}} \over n}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.}}

Для этих значений отношения угловых моментов энергия представлена на рис. 2 в зависимости от $n$ .

Ссылки

^ Лафлин, РБ (2 мая 1983 г.). «Аномальный квантовый эффект Холла: несжимаемая квантовая жидкость с дробно заряженными возбуждениями». Письма о физических отзывах . 50 (18). Американское физическое общество (APS): 1395–1398. Бибкод : 1983PhRvL..50.1395L . дои : 10.1103/physrevlett.50.1395 . ISSN 0031-9007 .
^ З.Ф. Эзева (2008). Квантовые эффекты Холла, второе издание . Всемирная научная. ISBN 978-981-270-032-2 . стр. 210-213
^ Ёсиока, Д. (2 мая 1983 г.). «Основное состояние двумерных электронов в сильных магнитных полях». Письма о физических отзывах . 50 (18). Американское физическое общество (APS): 1219. doi : 10.1103/physrevlett.50.1219 . ISSN 0031-9007 .
^ Холдейн, FDM; Э. Х. Резайи. «Конечные исследования несжимаемого состояния дробно-квантованного эффекта Холла и его возбуждений». Письма о физических отзывах . 54 : 237. doi : 10.1103/PhysRevLett.54.237 .

См. также

[Laughlin_pp._1395–1398-1] Лафлин, РБ (2 мая 1983 г.). «Аномальный квантовый эффект Холла: несжимаемая квантовая жидкость с дробно заряженными возбуждениями». Письма о физических отзывах . 50 (18). Американское физическое общество (APS): 1395–1398. Бибкод : 1983PhRvL..50.1395L . дои : 10.1103/physrevlett.50.1395 . ISSN 0031-9007 .

[2] З.Ф. Эзева (2008). Квантовые эффекты Холла, второе издание . Всемирная научная. ISBN 978-981-270-032-2 . стр. 210-213

[YHL-3] Ёсиока, Д. (2 мая 1983 г.). «Основное состояние двумерных электронов в сильных магнитных полях». Письма о физических отзывах . 50 (18). Американское физическое общество (APS): 1219. doi : 10.1103/physrevlett.50.1219 . ISSN 0031-9007 .

[HaldaneRezayi-4] Холдейн, FDM; Э. Х. Резайи. «Конечные исследования несжимаемого состояния дробно-квантованного эффекта Холла и его возбуждений». Письма о физических отзывах . 54 : 237. doi : 10.1103/PhysRevLett.54.237 .

[1]

[2]

[3]

[4]