Гауссовы единицы

Гауссовы единицы представляют собой метрическую систему физических единиц . Эта система является наиболее распространенной из нескольких систем электромагнитных единиц, основанных на единицах CGS (сантиметр-грамм-секунда) . Ее еще называют системой единиц Гаусса , единицами Gaussian-CGS или часто просто единицами CGS . ^[а] Термин «единицы СГС» неоднозначен, и поэтому его следует избегать, если это возможно: существует несколько вариантов СГС с противоречивыми определениями электромагнитных величин и единиц.

Единицы СИ преобладают в большинстве областей, и их популярность продолжает расти за счет единиц Гаусса. ^[1]^[б] Альтернативные системы единиц также существуют. Преобразования между величинами в гауссовых единицах и единицах СИ не являются прямым преобразованием единиц, поскольку сами величины определяются по-разному в каждой системе. Это означает, что уравнения, выражающие физические законы электромагнетизма, такие как уравнения Максвелла , будут меняться в зависимости от используемой системы единиц. Например, величины, которые являются безразмерными в одной системе, могут иметь размерность в другой.

Альтернативные системы единиц

Гауссова система единиц — лишь одна из нескольких систем электромагнитных единиц в CGS. Другие включают « электростатические единицы », « электромагнитные единицы » и единицы Хевисайда-Лоренца .

Некоторые другие системы единиц называются « естественными единицами », и эта категория включает в себя атомные единицы , планковские единицы и другие.

Международная система единиц (СИ) и связанная с ней Международная система величин (ISQ) на сегодняшний день являются наиболее распространенной системой единиц. В инженерных и практических областях SI практически универсален и используется уже десятилетия. ^[1] В технической и научной литературе (например, по теоретической физике и астрономии ) до последних десятилетий преобладали гауссовы единицы, но сейчас их становится все меньше. ^[1]^[б] В 8-й брошюре SI признается, что система единиц CGS-Гаусса имеет преимущества в классической и релятивистской электродинамике . ^[2] но в 9-й брошюре SI системы CGS не упоминаются.

Естественные единицы могут использоваться в более теоретических и абстрактных областях физики, особенно в физике элементарных частиц и теории струн .

Основные различия между гауссовой системой и системой СИ

«Рационализированные» системы единиц

Одно из различий между единицами Гаусса и СИ заключается в коэффициентах $4 π$ в различных формулах. С электромагнитными единицами СИ, называемыми рационализированными , ^[3]^[4] Уравнения Максвелла не содержат явных множителей $4 π$ в формулах, тогда как законы обратных квадратов силы – закон Кулона и закон Био – Савара – имеют множитель $4 π,$ привязанный к $r 2$ . С гауссовыми единицами, называемыми нерационализованными (в отличие от единиц Хевисайда-Лоренца ), ситуация обратная: два уравнения Максвелла имеют $коэффициенты 4 π$ в формулах , в то время как оба закона обратных квадратов силы, закон Кулона и закон Био-Савара закона, не имеют коэффициента $4 π,$ прикрепленного к $r 2$ в знаменателе.

(Величина $4 π$ появляется потому, что $4 πr 2$ — площадь поверхности сферы радиуса $r$ , отражающая геометрию конфигурации. Подробности см. в статьях Связь между законом Гаусса и законом Кулона и Законом обратных квадратов .)

Единица заряда

Основное различие между системой Гаусса и ISQ заключается в соответствующих определениях количественного заряда. В ISQ отдельное базовое измерение, электрический ток, с соответствующей единицей СИ, ампером , связано с электромагнитными явлениями, в результате чего единица электрического заряда (1 кулон = 1 ампер × 1 секунда) является физической величиной. это не может быть выражено чисто в механических единицах (килограмм, метр, секунда). С другой стороны, в гауссовской системе единицу электрического заряда ( статкулон , statC) можно полностью записать как размерную комбинацию неэлектрических основных единиц (грамм, сантиметр, секунда), как:

1 статC = 1 г ^1/2⋅cm ^3/2⋅s ⁻¹.

Например, закон Кулона в гауссовых единицах не имеет константы: $F={\frac {Q_{1}^{\mathrm {G} }Q_{2}^{\mathrm {G} }}{r^{2}}},$ где $F$ - сила отталкивания между двумя электрическими зарядами, $Q Г 1$ и $вопрос Г 2$ — два рассматриваемых заряда, а $r$ — расстояние, разделяющее их. Если $вопрос Г 1$ и $вопрос Г 2$ выражаются в statC , а $r$ в сантиметрах , то единицей $F$ , соответствующей этим единицам, является дина .

Тот же закон в ISQ гласит: $F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}^{\mathrm {I} }Q_{2}^{\mathrm {I} }}{r^{2}}}$ где $ε 0$ — диэлектрическая проницаемость вакуума , величина, которая не является безразмерной: она имеет размерность ( заряд ) ² ( время ) ² ( масса ) ⁻¹ ( длина ) ⁻³. Без $ε 0$ уравнение было бы несовместимо по размерам с величинами, определенными в ISQ, тогда как величина $ε 0$ не фигурирует в уравнениях Гаусса. Это пример того, как некоторые размерные физические константы можно исключить из выражений физических законов путем выбора определения величин. В ИСК, ${\textstyle 1/\varepsilon _{0}}$ преобразует или масштабирует плотность потока D $в$ соответствующее электрическое поле E $($ последнее имеет размерность силы на заряд ), тогда как в гауссовой системе плотность электрического потока равна той же величине, что и напряженность электрического поля в свободном пространстве, за исключением безразмерной величины. постоянный фактор.

В гауссовой системе скорость света $c$ появляется непосредственно в электромагнитных формулах, таких как уравнения Максвелла (см. Ниже), тогда как в ISQ она появляется через произведение $\mu _{0}\varepsilon _{0}=1/c^{2}$ .

Единицы магнетизма

В гауссовой системе, в отличие от ISQ, электрическое поле $E Г$ и магнитное поле $B Г$ иметь одинаковую размерность. Это составляет коэффициент $c$ между тем, как $B$ определяется в двух системах единиц, помимо других различий. ^[3] (Тот же фактор применим и к другим магнитным величинам, таким как Например ) $,$ в плоской световой $магнитное поле H и намагниченность M$ волне в вакууме | $. Э Г (р, т) | = | Б Г (р, т) |$ в гауссовских единицах, в то время как $| Э я (р, т) | = с | Б я (р, т) |$ в ИСК.

Поляризация, намагниченность

Существуют и другие различия между гауссовской системой и ISQ в том, как определяются величины, связанные с поляризацией и намагниченностью. Во-первых, в системе Гаусса все следующие величины имеют одинаковую размерность: $E Г$ , $Д Г$ , $П Г$ , $Б Г$ , $Ч Г$ и $М Г$ . Еще один момент заключается в том, что электрическая и магнитная восприимчивость материала безразмерна как в системе Гаусса, так и в ISQ, но данный материал будет иметь разную числовую восприимчивость в двух системах. (Уравнение приведено ниже.)

Список уравнений

В этом разделе приведен список основных формул электромагнетизма, данных как в системе Гаусса, так и в Международной системе величин (ISQ) . Названия большинства символов не указаны; для получения полных объяснений и определений перейдите к соответствующей статье для каждого уравнения. Простую схему преобразования для использования, когда таблицы недоступны, можно найти вГарг (2012). ^[5]Все формулы, если не указано иное, взяты из работы. ^[3]

Уравнения Максвелла

Вот уравнения Максвелла как в макроскопической, так и в микроскопической форме. Дана только «дифференциальная форма» уравнений, а не «интегральная форма»; для получения интегральных форм применяют теорему о расходимости или теорему Кельвина–Стокса .

Уравнения Максвелла в системе Гаусса и ISQ
Имя	Гауссова система	ISQ
Закон Гаусса (макроскопический)	$\nabla \cdot \mathbf {D} ^{\mathrm {G} }=4\pi \rho _{\mathrm {f} }^{\mathrm {G} }$	$\nabla \cdot \mathbf {D} ^{\mathrm {I} }=\rho _{\mathrm {f} }^{\mathrm {I} }$
Закон Гаусса (микроскопический)	$\nabla \cdot \mathbf {E} ^{\mathrm {G} }=4\pi \rho ^{\mathrm {G} }$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ^{\mathrm {I} }=\rho ^{\mathrm {I} }/\varepsilon _{0}$
Закон Гаусса для магнетизма	$\nabla \cdot \mathbf {B} ^{\mathrm {G} }=0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} ^{\mathrm {I} }=0$
Уравнение Максвелла – Фарадея ( Закон индукции Фарадея )	$\nabla \times \mathbf {E} ^{\mathrm {G} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} ^{\mathrm {G} }}{\partial t}}=0$	$\nabla \times \mathbf {E} ^{\mathrm {I} }+{\frac {\partial \mathbf {B} ^{\mathrm {I} }}{\partial t}}=0$
Уравнение Ампера – Максвелла (макроскопический)	$\nabla \times \mathbf {H} ^{\mathrm {G} }-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} ^{\mathrm {G} }}{\partial t}}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{\mathrm {f} }^{\mathrm {G} }$	$\nabla \times \mathbf {H} ^{\mathrm {I} }-{\frac {\partial \mathbf {D} ^{\mathrm {I} }}{\partial t}}=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }^{\mathrm {I} }$
Уравнение Ампера – Максвелла (микроскопический)	$\nabla \times \mathbf {B} ^{\mathrm {G} }-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} ^{\mathrm {G} }}{\partial t}}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} ^{\mathrm {G} }$	$\nabla \times \mathbf {B} ^{\mathrm {I} }-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} ^{\mathrm {I} }}{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} ^{\mathrm {I} }$

Другие основные законы

Другие электромагнитные законы в системе Гаусса и ISQ
Имя	Гауссова система	ISQ
сила Лоренца	$\mathbf {F} =q^{\mathrm {G} }\,\left(\mathbf {E} ^{\mathrm {G} }+{\tfrac {1}{c}}\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} ^{\mathrm {G} }\right)$	$\mathbf {F} =q^{\mathrm {I} }\,\left(\mathbf {E} ^{\mathrm {I} }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} ^{\mathrm {I} }\right)$
Закон Кулона	$\mathbf {F} ={\frac {q_{1}^{\mathrm {G} }q_{2}^{\mathrm {G} }}{r^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}}$	$\mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {q_{1}^{\mathrm {I} }q_{2}^{\mathrm {I} }}{r^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}}$
Электрическое поле стационарный точечный заряд	$\mathbf {E} ^{\mathrm {G} }={\frac {q^{\mathrm {G} }}{r^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}}$	$\mathbf {E} ^{\mathrm {I} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {q^{\mathrm {I} }}{r^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}}$
Закон Био – Савара ^[6]	$\mathbf {B} ^{\mathrm {G} }={\frac {1}{c}}\!\oint {\frac {I^{\mathrm {G} }\times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}\,\operatorname {d} \!\mathbf {\boldsymbol {\ell }}$	$\mathbf {B} ^{\mathrm {I} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\!\oint {\frac {I^{\mathrm {I} }\times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}\,\operatorname {d} \!\mathbf {\boldsymbol {\ell }}$
Вектор Пойнтинга (микроскопический)	$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\,\mathbf {E} ^{\mathrm {G} }\times \mathbf {B} ^{\mathrm {G} }$	$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\,\mathbf {E} ^{\mathrm {I} }\times \mathbf {B} ^{\mathrm {I} }$

Диэлектрические и магнитные материалы

Ниже приведены выражения для различных полей в диэлектрической среде. Здесь для простоты предполагается, что среда однородна, линейна, изотропна и недисперсионна, так что диэлектрическая проницаемость является простой константой.

Выражения для полей в диэлектрических средах
Гауссова система	ISQ
$\mathbf {D} ^{\mathrm {G} }=\mathbf {E} ^{\mathrm {G} }+4\pi \mathbf {P} ^{\mathrm {G} }$	$\mathbf {D} ^{\mathrm {I} }=\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{\mathrm {I} }+\mathbf {P} ^{\mathrm {I} }$
$\mathbf {P} ^{\mathrm {G} }=\chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {G} }\mathbf {E} ^{\mathrm {G} }$	$\mathbf {P} ^{\mathrm {I} }=\chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {I} }\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{\mathrm {I} }$
$\mathbf {D} ^{\mathrm {G} }=\varepsilon ^{\mathrm {G} }\mathbf {E} ^{\mathrm {G} }$	$\mathbf {D} ^{\mathrm {I} }=\varepsilon ^{\mathrm {I} }\mathbf {E} ^{\mathrm {I} }$
$\varepsilon ^{\mathrm {G} }=1+4\pi \chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {G} }$	$\varepsilon ^{\mathrm {I} }/\varepsilon _{0}=1+\chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {I} }$

где

$E$ и $D$ — электрическое поле и поле смещения соответственно;
$P$ — плотность поляризации ;
$\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость ;
$\varepsilon _{0}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума (используется в системе СИ, но не имеет смысла в гауссовых единицах); и
$\chi _{\mathrm {e} }$ это электрическая восприимчивость .

Количества $\varepsilon ^{\mathrm {G} }$ и $\varepsilon ^{\mathrm {I} }/\varepsilon _{0}$ оба безразмерны и имеют одинаковое числовое значение. Напротив, электрическая восприимчивость $\chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {G} }$ и $\chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {I} }$ оба безразмерны, но имеют разные числовые значения для одного и того же материала: $4\pi \chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {G} }=\chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {I} }\,.$

Далее приведем выражения для различных полей в магнитной среде. Опять же предполагается, что среда однородна, линейна, изотропна и недисперсна, так что проницаемость является простой константой.

Выражения для полей в магнитных средах
Гауссова система	ISQ
$\mathbf {B} ^{\mathrm {G} }=\mathbf {H} ^{\mathrm {G} }+4\pi \mathbf {M} ^{\mathrm {G} }$	$\mathbf {B} ^{\mathrm {I} }=\mu _{0}(\mathbf {H} ^{\mathrm {I} }+\mathbf {M} ^{\mathrm {I} })$
$\mathbf {M} ^{\mathrm {G} }=\chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {G} }\mathbf {H} ^{\mathrm {G} }$	$\mathbf {M} ^{\mathrm {I} }=\chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {I} }\mathbf {H} ^{\mathrm {I} }$
$\mathbf {B} ^{\mathrm {G} }=\mu ^{\mathrm {G} }\mathbf {H} ^{\mathrm {G} }$	$\mathbf {B} ^{\mathrm {I} }=\mu ^{\mathrm {I} }\mathbf {H} ^{\mathrm {I} }$
$\mu ^{\mathrm {G} }=1+4\pi \chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {G} }$	$\mu ^{\mathrm {I} }/\mu _{0}=1+\chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {I} }$

где

$B$ и $H$ — магнитные поля ;
$М$ – намагниченность ;
$\mu$ – магнитная проницаемость ;
$\mu _{0}$ — проницаемость вакуума (используется в системе СИ, но не имеет смысла в гауссовых единицах); и
$\chi _{\mathrm {m} }$ это магнитная восприимчивость .

Количества $\mu ^{\mathrm {G} }$ и $\mu ^{\mathrm {I} }/\mu _{0}$ оба безразмерны и имеют одинаковое числовое значение. Напротив, магнитная восприимчивость $\chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {G} }$ и $\chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {I} }$ оба безразмерны, но имеют разные числовые значения в двух системах для одного и того же материала: $4\pi \chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {G} }=\chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {I} }$

Векторные и скалярные потенциалы

Электрические и магнитные поля можно записать через векторный потенциал $A$ и скалярный потенциал $φ$ :

Электромагнитные поля в системе Гаусса и ISQ
Имя	Гауссова система	ISQ
Электрическое поле	$\mathbf {E} ^{\mathrm {G} }=-\nabla \phi ^{\mathrm {G} }-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} ^{\mathrm {G} }}{\partial t}}$	$\mathbf {E} ^{\mathrm {I} }=-\nabla \phi ^{\mathrm {I} }-{\frac {\partial \mathbf {A} ^{\mathrm {I} }}{\partial t}}$
Магнитное B поле	$\mathbf {B} ^{\mathrm {G} }=\nabla \times \mathbf {A} ^{\mathrm {G} }$	$\mathbf {B} ^{\mathrm {I} }=\nabla \times \mathbf {A} ^{\mathrm {I} }$

Электрическая схема

Значения электрической цепи в системе Гаусса и ISQ
Имя	Гауссова система	ISQ
Сохранение заряда	$I^{\mathrm {G} }={\frac {\mathrm {d} Q^{\mathrm {G} }}{\mathrm {d} t}}$	$I^{\mathrm {I} }={\frac {\mathrm {d} Q^{\mathrm {I} }}{\mathrm {d} t}}$
закон Ленца	$V^{\mathrm {G} }={\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} \mathrm {\Phi } ^{\mathrm {G} }}{\mathrm {d} t}}$	$V^{\mathrm {I} }=-{\frac {\mathrm {d} \mathrm {\Phi } ^{\mathrm {I} }}{\mathrm {d} t}}$
Закон Ома	$V^{\mathrm {G} }=R^{\mathrm {G} }I^{\mathrm {G} }$	$V^{\mathrm {I} }=R^{\mathrm {I} }I^{\mathrm {I} }$
Емкость	$Q^{\mathrm {G} }=C^{\mathrm {G} }V^{\mathrm {G} }$	$Q^{\mathrm {I} }=C^{\mathrm {I} }V^{\mathrm {I} }$
Индуктивность	$\mathrm {\Phi } ^{\mathrm {G} }=cL^{\mathrm {G} }I^{\mathrm {G} }$	$\mathrm {\Phi } ^{\mathrm {I} }=L^{\mathrm {I} }I^{\mathrm {I} }$

где

Фундаментальные константы

Фундаментальные константы в системе Гаусса и ISQ
Имя	Гауссова система	ISQ
Импеданс свободного пространства	$Z_{0}^{\mathrm {G} }={\frac {4\pi }{c}}$	$Z_{0}^{\mathrm {I} }={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}$
Электрическая постоянная	$1={\frac {4\pi }{Z_{0}^{\mathrm {G} }c}}$	$\varepsilon _{0}={\frac {1}{Z_{0}^{\mathrm {I} }c}}$
Магнитная постоянная	$1={\frac {Z_{0}^{\mathrm {G} }c}{4\pi }}$	$\mu _{0}={\frac {Z_{0}^{\mathrm {I} }}{c}}$
Константа тонкой структуры	$\alpha ={\frac {(e^{\mathrm {G} })^{2}}{\hbar c}}$	$\alpha ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(e^{\mathrm {I} })^{2}}{\hbar c}}$
Квант магнитного потока	$\phi _{0}^{\mathrm {G} }={\frac {hc}{2e^{\mathrm {G} }}}$	$\phi _{0}^{\mathrm {I} }={\frac {h}{2e^{\mathrm {I} }}}$
Квант проводимости	$G_{0}^{\mathrm {G} }={\frac {2(e^{\mathrm {G} })^{2}}{h}}$	$G_{0}^{\mathrm {I} }={\frac {2(e^{\mathrm {I} })^{2}}{h}}$
Радиус Бора	$a_{\mathrm {B} }={\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }(e^{\mathrm {G} })^{2}}}$	$a_{\mathrm {B} }={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }(e^{\mathrm {I} })^{2}}}$
Магнит Бора	$\mu _{\mathrm {B} }^{\mathrm {G} }={\frac {e^{\mathrm {G} }\hbar }{2m_{\mathrm {e} }c}}$	$\mu _{\mathrm {B} }^{\mathrm {I} }={\frac {e^{\mathrm {I} }\hbar }{2m_{\mathrm {e} }}}$

Названия электромагнитных устройств

Таблица 1: Распространенные единицы электромагнетизма в системе СИ в сравнении с гауссовой системой ^[7]
Количество	Символ	И объединились	Гауссова единица (в базовых единицах)	Коэффициент пересчета
Электрический заряд	$д$	С	Пт (см ^3/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹)	${\frac {q^{\mathrm {G} }}{q^{\mathrm {I} }}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}}\approx {\frac {2.998\times 10^{9}\,\mathrm {Fr} }{1\,\mathrm {C} }}$
Электрический ток	$я$	А	был (см ^3/2⋅g ^1/2⋅s ⁻²)	${\frac {I^{\mathrm {G} }}{I^{\mathrm {I} }}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}}\approx {\frac {2.998\times 10^{9}\,\mathrm {statA} }{1\,\mathrm {A} }}$
Электрический потенциал , Напряжение	$ж$ $V$	V	статВ (см ^1/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹)	${\frac {V^{\mathrm {G} }}{V^{\mathrm {I} }}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\approx {\frac {1\,\mathrm {statV} }{2.998\times 10^{2}\,\mathrm {V} }}$
Электрическое поле	$И$	V / m	статВ / см (см ^−1/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹)	${\frac {\mathbf {E} ^{\mathrm {G} }}{\mathbf {E} ^{\mathrm {I} }}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\approx {\frac {1\,\mathrm {statV/cm} }{2.998\times 10^{4}\,\mathrm {V/m} }}$
Поле электрического смещения	$Д$	См ²	Фр / см ² (см ^−1/2г ^1/2с ⁻¹)	${\frac {\mathbf {D} ^{\mathrm {G} }}{\mathbf {D} ^{\mathrm {I} }}}={\sqrt {\frac {4\pi }{\varepsilon _{0}}}}\approx {\frac {4\pi \times 2.998\times 10^{5}\,\mathrm {Fr/cm} ^{2}}{1\,\mathrm {C/m} ^{2}}}$
Электрический дипольный момент	$п$	C ⋅ m	Fr ⋅ cm (см ^5/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹)	${\frac {\mathbf {p} ^{\mathrm {G} }}{\mathbf {p} ^{\mathrm {I} }}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}}\approx {\frac {2.998\times 10^{11}\,\mathrm {Fr} {\cdot }\mathrm {cm} }{1\,\mathrm {C} {\cdot }\mathrm {m} }}$
Электрический поток	$Φ е$	С	Пт (см ^3/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹)	${\frac {\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {G} }}{\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {I} }}}={\sqrt {\frac {4\pi }{\varepsilon _{0}}}}\approx {\frac {4\pi \times 2.998\times 10^{9}\,\mathrm {Fr} }{1\,\mathrm {C} }}$
Диэлектрическая проницаемость	$е$	ж / м	см /см	${\frac {\varepsilon ^{\mathrm {G} }}{\varepsilon ^{\mathrm {I} }}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\approx {\frac {4\pi \times 2.998^{2}\times 10^{9}\,\mathrm {cm/cm} }{1\,\mathrm {F/m} }}$
Магнитное B поле	$Б$	Т	Г (см ^−1/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹)	${\frac {\mathbf {B} ^{\mathrm {G} }}{\mathbf {B} ^{\mathrm {I} }}}={\sqrt {\frac {4\pi }{\mu _{0}}}}\approx {\frac {10^{4}\,\mathrm {G} }{1\,\mathrm {T} }}$
Магнитное H поле	$ЧАС$	Являюсь	Ты (см ^−1/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹)	${\frac {\mathbf {H} ^{\mathrm {G} }}{\mathbf {H} ^{\mathrm {I} }}}={\sqrt {4\pi \mu _{0}}}\approx {\frac {4\pi \times 10^{-3}\,\mathrm {Oe} }{1\,\mathrm {A/m} }}$
Магнитный дипольный момент	$м$	A ⋅ m ²	очень / Г (см ^5/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹)	${\frac {\mathbf {m} ^{\mathrm {G} }}{\mathbf {m} ^{\mathrm {I} }}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}\approx {\frac {10^{3}\,\mathrm {erg/G} }{1\,\mathrm {A} {\cdot }\mathrm {m} ^{2}}}$
Магнитный поток	$Φ м$	ВБ	Мкс (см ^3/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹)	${\frac {\Phi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {G} }}{\Phi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {I} }}}={\sqrt {\frac {4\pi }{\mu _{0}}}}\approx {\frac {10^{8}\,\mathrm {Mx} }{1\,\mathrm {Wb} }}$
Проницаемость	$м$	Ч / м	см /см	${\frac {\mu ^{\mathrm {G} }}{\mu ^{\mathrm {I} }}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\approx {\frac {1\,\mathrm {cm/cm} }{4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm {H/m} }}$
Сопротивление	$Р$	Ой	с / см	${\frac {R^{\mathrm {G} }}{R^{\mathrm {I} }}}=4\pi \varepsilon _{0}\approx {\frac {1\,\mathrm {s/cm} }{2.998^{2}\times 10^{11}\,\Omega }}$
Удельное сопротивление	$р$	Ω ⋅ m	с	${\frac {\rho ^{\mathrm {G} }}{\rho ^{\mathrm {I} }}}=4\pi \varepsilon _{0}\approx {\frac {1\,\mathrm {s} }{2.998^{2}\times 10^{9}\,\Omega {\cdot }\mathrm {m} }}$
Емкость	$С$	Ф	см	${\frac {C^{\mathrm {G} }}{C^{\mathrm {I} }}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\approx {\frac {2.998^{2}\times 10^{11}\,\mathrm {cm} }{1\,\mathrm {F} }}$
Индуктивность	$л$	ЧАС	с ²/ см	${\frac {L^{\mathrm {G} }}{L^{\mathrm {I} }}}=4\pi \varepsilon _{0}\approx {\frac {1\,\mathrm {s} ^{2}/\mathrm {cm} }{2.998^{2}\times 10^{11}\,\mathrm {H} }}$

Примечание . Величины СИ $\varepsilon _{0}$ и $\mu _{0}$ удовлетворить $\varepsilon _{0}\mu _{0}=1/c^{2}$

Коэффициенты пересчета записываются как в символьном, так и в числовом виде. Числовые коэффициенты пересчета могут быть получены из символьных коэффициентов пересчета путем анализа размерностей . Например, в верхнем ряду написано ${1}\,/\,{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\approx {2.998\times 10^{9}\,\mathrm {Fr} }\,/\,{1\,\mathrm {C} }$ , соотношение, которое можно проверить с помощью анализа размерностей, разложив $\varepsilon _{0}$ и кулоны (C) в базовых единицах СИ , а также расширяющиеся статкулоны (или франклины, Fr) в базовых единицах Гаусса.

Удивительно думать об измерении емкости в сантиметрах. Одним из полезных примеров является то, что сантиметр емкости — это емкость между сферой радиуса 1 см в вакууме и бесконечностью.

Еще одна удивительная единица измерения удельного сопротивления в секундах. Физический пример: Возьмем конденсатор с параллельными пластинами , который имеет «протекающий» диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 1, но с конечным удельным сопротивлением. После зарядки конденсатор со временем разряжается из-за утечки тока через диэлектрик. Если удельное сопротивление диэлектрика $t$ секунд, период полураспада разряда составит $~0,05 t$ секунд. Этот результат не зависит от размера, формы и заряда конденсатора, и поэтому этот пример освещает фундаментальную связь между удельным сопротивлением и единицами времени.

Эквивалентные единицы измерения

Ряд единиц, определенных в таблице, имеют разные названия, но фактически эквивалентны по размерности, т. е. имеют одно и то же выражение в терминах основных единиц см, г, с. (Это аналогично различию в системе СИ между беккерелем и Гц или между ньютон-метром и джоулем .) Различные названия помогают избежать двусмысленностей и недоразумений относительно того, какая физическая величина измеряется. В частности, все следующие величины эквивалентны по размерам в гауссовских единицах, но, тем не менее, им даны разные названия единиц, а именно: ^[8]

Эквивалентные единицы измерения
Количество	Гауссовский символ	По Гауссу базовые единицы	Гауссова единица меры
Электрическое поле	$И Г$	см ^−1/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹	статВ /см
Поле электрического смещения	$Д Г$	см ^−1/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹	статЦ /см ²
Плотность поляризации	$П Г$	см ^−1/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹	статЦ /см ²
Плотность магнитного потока	$Б Г$	см ^−1/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹	Г
Намагничивающее поле	$ЧАС Г$	см ^−1/2 г ^1/2⋅s ⁻¹	Ты
Намагниченность	$М Г$	см ^−1/2⋅g ^1/2⋅s ⁻¹	дин / Мкс

Общие правила перевода формулы

Любую формулу можно преобразовать между единицами Гаусса и СИ, используя символьные коэффициенты перевода из Таблицы 1 выше.

Например, электрическое поле неподвижного точечного заряда имеет формулу ISQ $\mathbf {E} ^{\mathrm {I} }={\frac {q^{\mathrm {I} }}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},$ где $r$ — расстояние, а верхний индекс « $I$ » указывает, что электрическое поле и заряд определяются так же, как в ISQ. Если мы хотим, чтобы в формуле вместо этого использовались гауссовы определения электрического поля и заряда, мы посмотрим, как они связаны, используя таблицу 1, в которой говорится: ${\begin{aligned}{\frac {\mathbf {E} ^{\mathrm {G} }}{\mathbf {E} ^{\mathrm {I} }}}&={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,,\\{\frac {q^{\mathrm {G} }}{q^{\mathrm {I} }}}&={\frac {1}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}}\,.\end{aligned}}$

Следовательно, после подстановки и упрощения получаем формулу системы Гаусса: $\mathbf {E} ^{\mathrm {G} }={\frac {q^{\mathrm {G} }}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,,$ что является правильной формулой системы Гаусса, как упоминалось в предыдущем разделе.

Для удобства в приведенной ниже таблице собраны символьные коэффициенты пересчета из Таблицы 1. Чтобы преобразовать любую формулу из системы Гаусса в ISQ с помощью этой таблицы, замените каждый символ в столбце Гаусса соответствующим выражением в столбце СИ (наоборот). конвертировать в другую сторону). Это позволит воспроизвести любую из конкретных формул, приведенных в списке выше, например, уравнения Максвелла, а также любую другую формулу, не указанную в списке. ^[9]^[10]^[11]^[с]

Таблица 2А: Правила замены для перевода формул из гауссова в ISQ
Имя	Гауссова система	ISQ
электрическое поле , электрический потенциал , электродвижущая сила	$\left(\mathbf {E} ^{\mathrm {G} },\varphi ^{\mathrm {G} },{\mathcal {E}}^{\mathrm {G} }\right)$	${\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\left(\mathbf {E} ^{\mathrm {I} },\varphi ^{\mathrm {I} },{\mathcal {E}}^{\mathrm {I} }\right)$
электрическое поле смещения	$\mathbf {D} ^{\mathrm {G} }$	${\sqrt {\frac {4\pi }{\varepsilon _{0}}}}\mathbf {D} ^{\mathrm {I} }$
заряд , плотность заряда , ток , плотность тока , плотность поляризации , электрический дипольный момент	$\left(q^{\mathrm {G} },\rho ^{\mathrm {G} },I^{\mathrm {G} },\mathbf {J} ^{\mathrm {G} },\mathbf {P} ^{\mathrm {G} },\mathbf {p} ^{\mathrm {G} }\right)$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}}\left(q^{\mathrm {I} },\rho ^{\mathrm {I} },I^{\mathrm {I} },\mathbf {J} ^{\mathrm {I} },\mathbf {P} ^{\mathrm {I} },\mathbf {p} ^{\mathrm {I} }\right)$
магнитное $B$ поле , магнитный поток , магнитный векторный потенциал	$\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {G} },\Phi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {G} },\mathbf {A} ^{\mathrm {G} }\right)$	${\sqrt {\frac {4\pi }{\mu _{0}}}}\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {I} },\Phi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {I} },\mathbf {A} ^{\mathrm {I} }\right)$
магнитное $H$ поле , магнитный скалярный потенциал , магнитодвижущая сила	$\left(\mathbf {H} ^{\mathrm {G} },\psi ^{\mathrm {G} },{\mathcal {F}}^{\mathrm {G} }\right)$	${\sqrt {4\pi \mu _{0}}}\left(\mathbf {H} ^{\mathrm {I} },\psi ^{\mathrm {I} },{\mathcal {F}}^{\mathrm {I} }\right)$
магнитный момент , намагниченность , сила магнитного полюса	$\left(\mathbf {m} ^{\mathrm {G} },\mathbf {M} ^{\mathrm {G} },p^{\mathrm {G} }\right)$	${\sqrt {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}\left(\mathbf {m} ^{\mathrm {I} },\mathbf {M} ^{\mathrm {I} },p^{\mathrm {I} }\right)$
диэлектрическая проницаемость , проницаемость	$\left(\varepsilon ^{\mathrm {G} },\mu ^{\mathrm {G} }\right)$	$\left({\frac {\varepsilon ^{\mathrm {I} }}{\varepsilon _{0}}},{\frac {\mu ^{\mathrm {I} }}{\mu _{0}}}\right)$
электрическая восприимчивость , магнитная восприимчивость	$\left(\chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {G} },\chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {G} }\right)$	${\frac {1}{4\pi }}\left(\chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {I} },\chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {I} }\right)$
проводимость , проводимость , емкость	$\left(\sigma ^{\mathrm {G} },S^{\mathrm {G} },C^{\mathrm {G} }\right)$	${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left(\sigma ^{\mathrm {I} },S^{\mathrm {I} },C^{\mathrm {I} }\right)$
удельное сопротивление , сопротивление , индуктивность , мемристанс , импеданс	$\left(\rho ^{\mathrm {G} },R^{\mathrm {G} },L^{\mathrm {G} },M^{\mathrm {G} },Z^{\mathrm {G} }\right)$	$4\pi \varepsilon _{0}\left(\rho ^{\mathrm {I} },R^{\mathrm {I} },L^{\mathrm {I} },M^{\mathrm {I} },Z^{\mathrm {I} }\right)$
магнитное сопротивление	${\mathcal {R}}^{\mathrm {G} }$	$\mu _{0}{\mathcal {R}}^{\mathrm {I} }$

Таблица 2B: Правила замены для перевода формул из ISQ в гауссову форму
Имя	ISQ	Гауссова система
электрическое поле , электрический потенциал , электродвижущая сила	$\left(\mathbf {E} ^{\mathrm {I} },\varphi ^{\mathrm {I} },{\mathcal {E}}^{\mathrm {I} }\right)$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}}\left(\mathbf {E} ^{\mathrm {G} },\varphi ^{\mathrm {G} },{\mathcal {E}}^{\mathrm {G} }\right)$
электрическое поле смещения	$\mathbf {D} ^{\mathrm {I} }$	${\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{4\pi }}}\mathbf {D} ^{\mathrm {G} }$
заряд , плотность заряда , ток , плотность тока , плотность поляризации , электрический дипольный момент	$\left(q^{\mathrm {I} },\rho ^{\mathrm {I} },I^{\mathrm {I} },\mathbf {J} ^{\mathrm {I} },\mathbf {P} ^{\mathrm {I} },\mathbf {p} ^{\mathrm {I} }\right)$	${\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\left(q^{\mathrm {G} },\rho ^{\mathrm {G} },I^{\mathrm {G} },\mathbf {J} ^{\mathrm {G} },\mathbf {P} ^{\mathrm {G} },\mathbf {p} ^{\mathrm {G} }\right)$
магнитное $B$ поле , магнитный поток , магнитный векторный потенциал	$\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {I} },\Phi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {I} },\mathbf {A} ^{\mathrm {I} }\right)$	${\sqrt {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {G} },\Phi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {G} },\mathbf {A} ^{\mathrm {G} }\right)$
магнитное $H$ поле , магнитный скалярный потенциал , магнитодвижущая сила	$\left(\mathbf {H} ^{\mathrm {I} },\psi ^{\mathrm {I} },{\mathcal {F}}^{\mathrm {I} }\right)$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi \mu _{0}}}}\left(\mathbf {H} ^{\mathrm {G} },\psi ^{\mathrm {G} },{\mathcal {F}}^{\mathrm {G} }\right)$
магнитный момент , намагниченность , сила магнитного полюса	$\left(\mathbf {m} ^{\mathrm {I} },\mathbf {M} ^{\mathrm {I} },p^{\mathrm {I} }\right)$	${\sqrt {\frac {4\pi }{\mu _{0}}}}\left(\mathbf {m} ^{\mathrm {G} },\mathbf {M} ^{\mathrm {G} },p^{\mathrm {G} }\right)$
диэлектрическая проницаемость , проницаемость	$\left(\varepsilon ^{\mathrm {I} },\mu ^{\mathrm {I} }\right)$	$\left(\varepsilon _{0}\varepsilon ^{\mathrm {G} },\mu _{0}\mu ^{\mathrm {G} }\right)$
электрическая восприимчивость , магнитная восприимчивость	$\left(\chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {I} },\chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {I} }\right)$	$4\pi \left(\chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {G} },\chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {G} }\right)$
проводимость , проводимость , емкость	$\left(\sigma ^{\mathrm {I} },S^{\mathrm {I} },C^{\mathrm {I} }\right)$	$4\pi \varepsilon _{0}\left(\sigma ^{\mathrm {G} },S^{\mathrm {G} },C^{\mathrm {G} }\right)$
удельное сопротивление , сопротивление , индуктивность , мемристанс , импеданс	$\left(\rho ^{\mathrm {I} },R^{\mathrm {I} },L^{\mathrm {I} },M^{\mathrm {I} },Z^{\mathrm {I} }\right)$	${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left(\rho ^{\mathrm {G} },R^{\mathrm {G} },L^{\mathrm {G} },M^{\mathrm {G} },Z^{\mathrm {G} }\right)$
магнитное сопротивление	${\mathcal {R}}^{\mathrm {I} }$	${\frac {1}{\mu _{0}}}{\mathcal {R}}^{\mathrm {G} }$

После того, как все появления продукта $\varepsilon _{0}\mu _{0}$ были заменены на $1/c^{2}$ , в уравнении не должно быть оставшихся величин, имеющих электромагнитную размерность ISQ (или, что то же самое, имеющих электромагнитную единицу СИ).

Примечания

^ Один из многих примеров использования термина «единицы СГС» для обозначения гауссовых единиц: Конспекты лекций Стэнфордского университета.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Например, одним из широко используемых учебников по электромагнетизму для аспирантов является «Классическая электродинамика» Джексона Дж.Д. . Во втором издании, опубликованном в 1975 году, использовались исключительно единицы Гаусса, а в третьем издании, опубликованном в 1998 году, в основном используются единицы СИ. Точно так же «Электричество и магнетизм» Эдварда Перселла является популярным учебником для студентов. Во втором издании, опубликованном в 1984 году, использовались единицы Гаусса, а в третьем издании, опубликованном в 2013 году, были использованы единицы СИ.
^ Некоторые примеры использования этой таблицы см. в разделе «Единицы измерения электричества и магнетизма» . См. раздел «Преобразование формул Гаусса в СИ» и последующий текст.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с «CGS» , в скольких? Словарь единиц измерения , составленный Рассом Роулеттом и Университетом Северной Каролины в Чапел-Хилл.
^ Международное бюро мер и весов (2006 г.), Международная система единиц (СИ) (PDF) (8-е изд.), ISBN 92-822-2213-6 , заархивировано (PDF) из оригинала 04 июня 2021 г. , получено 16 декабря 2021 г. , стр. 128
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Литтлджон, Роберт (осень 2017 г.). «Гауссова система единиц СИ и другие системы единиц в электромагнитной теории» (PDF) . Физика 221A, Конспект лекций Калифорнийского университета в Беркли . Проверено 18 апреля 2018 г.
^ Ковальски, Людвик, 1986, «Краткая история единиц СИ в электричестве» , архивировано 29 апреля 2009 г. в Wayback Machine The Physics Teacher 24 (2): 97–99. Альтернативная веб-ссылка (требуется подписка)
^ А. Гарг, 2012, «Классическая электродинамика в двух словах» (Princeton University Press).
^ Введение в электродинамику Капри и Паната, стр. 180.
^ Кардарелли, Ф. (2004). Энциклопедия научных единиц, весов и мер: их эквиваленты и происхождение в системе СИ (2-е изд.). Спрингер. стр. 20–25 . ISBN 978-1-85233-682-0 .
^ Коэн, Дуглас Л. (2001). Демистификация электромагнитных уравнений . СПАЙ Пресс. п. 155. ИСБН 9780819442345 . Проверено 25 декабря 2012 г.
^ Бредов, М. М.; Румянцев, В. В.; Топтыгин, И. Н. (1985). "Appendix 5: Units transform". Классическая электродинамика [ Classical Electrodynamics ] (in Russian). Nauka . p. 385.
^ Симпсон, Дэвид. «Таблица преобразования формул SI / Гаусса» (PDF) . Общественный колледж принца Джорджа . Проверено 23 февраля 2024 г.
^ Джексон, Джон. Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 782. ИСБН 0-471-30932-Х .

Внешние ссылки

Полный список названий гауссовских единиц и их выражений в базовых единицах.
Эволюция гауссовских единиц. Архивировано 9 января 2016 г. в Wayback Machine Дэном Петру Данеску.

[1] Один из многих примеров использования термина «единицы СГС» для обозначения гауссовых единиц: Конспекты лекций Стэнфордского университета.

[JacksonEditions-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Например, одним из широко используемых учебников по электромагнетизму для аспирантов является «Классическая электродинамика» Джексона Дж.Д. . Во втором издании, опубликованном в 1975 году, использовались исключительно единицы Гаусса, а в третьем издании, опубликованном в 1998 году, в основном используются единицы СИ. Точно так же «Электричество и магнетизм» Эдварда Перселла является популярным учебником для студентов. Во втором издании, опубликованном в 1984 году, использовались единицы Гаусса, а в третьем издании, опубликованном в 2013 году, были использованы единицы СИ.

[14] Некоторые примеры использования этой таблицы см. в разделе «Единицы измерения электричества и магнетизма» . См. раздел «Преобразование формул Гаусса в СИ» и последующий текст.

[Rowlett-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с «CGS» , в скольких? Словарь единиц измерения , составленный Рассом Роулеттом и Университетом Северной Каролины в Чапел-Хилл.

[4] Международное бюро мер и весов (2006 г.), Международная система единиц (СИ) (PDF) (8-е изд.), ISBN 92-822-2213-6 , заархивировано (PDF) из оригинала 04 июня 2021 г. , получено 16 декабря 2021 г. , стр. 128

[Littlejohn-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Литтлджон, Роберт (осень 2017 г.). «Гауссова система единиц СИ и другие системы единиц в электромагнитной теории» (PDF) . Физика 221A, Конспект лекций Калифорнийского университета в Беркли . Проверено 18 апреля 2018 г.

[Kowalski-6] Ковальски, Людвик, 1986, «Краткая история единиц СИ в электричестве» , архивировано 29 апреля 2009 г. в Wayback Machine The Physics Teacher 24 (2): 97–99. Альтернативная веб-ссылка (требуется подписка)

[Garg-7] А. Гарг, 2012, «Классическая электродинамика в двух словах» (Princeton University Press).

[8] Введение в электродинамику Капри и Паната, стр. 180.

[cardsgc-9] Кардарелли, Ф. (2004). Энциклопедия научных единиц, весов и мер: их эквиваленты и происхождение в системе СИ (2-е изд.). Спрингер. стр. 20–25 . ISBN 978-1-85233-682-0 .

[10] Коэн, Дуглас Л. (2001). Демистификация электромагнитных уравнений . СПАЙ Пресс. п. 155. ИСБН 9780819442345 . Проверено 25 декабря 2012 г.

[11] Бредов, М. М.; Румянцев, В. В.; Топтыгин, И. Н. (1985). "Appendix 5: Units transform". Классическая электродинамика [ Classical Electrodynamics ] (in Russian). Nauka . p. 385.

[12] Симпсон, Дэвид. «Таблица преобразования формул SI / Гаусса» (PDF) . Общественный колледж принца Джорджа . Проверено 23 февраля 2024 г.

[Jackson-13] Джексон, Джон. Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 782. ИСБН 0-471-30932-Х .

[а]

[1]

[б]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[с]