Гауссова поверхность

Цилиндрическая поверхность Гаусса обычно используется для расчета электрического заряда бесконечно длинного прямого «идеального» провода.

Гауссова поверхность — замкнутая поверхность в трёхмерном пространстве, через которую поток векторного поля вычисляется ; обычно это гравитационное поле , электрическое поле или магнитное поле . Это произвольная замкнутая поверхность S = ∂ V ( граница трехмерной области V ), используемая совместно с законом Гаусса для соответствующего поля ( закон Гаусса , закон Гаусса для магнетизма или закон Гаусса для гравитации ) путем выполнения поверхности Интеграл , чтобы вычислить общую сумму вложенного исходного количества; например, количество гравитационной массы как источника гравитационного поля или количество электрического заряда как источника электростатического поля, или наоборот: рассчитайте поля для распределения источников.

Для конкретности в этой статье рассматривается электрическое поле, так как это наиболее частый тип поля, для которого используется понятие поверхности.

Гауссовы поверхности обычно тщательно выбираются, чтобы использовать симметрию ситуации и упростить вычисление поверхностного интеграла . Если гауссова поверхность выбрана такой, чтобы для каждой точки поверхности компонента электрического поля вдоль вектора нормали была постоянной, то расчет не потребует сложного интегрирования, так как возникающие константы можно вынести из интеграла. Он определяется как замкнутая поверхность в трехмерном пространстве, по которой рассчитывается поток векторного поля.

Общие гауссовы поверхности

См. Также: Плотность заряда.

Примеры действительных (слева) и недействительных (справа) гауссовских поверхностей. Слева: некоторые допустимые гауссовы поверхности включают поверхность сферы, поверхность тора и поверхность куба. Это закрытые поверхности , полностью охватывающие трехмерный объем. Справа: некоторые поверхности, которые НЕ МОГУТ использоваться в качестве гауссовских поверхностей, например, поверхность диска , квадратная поверхность или поверхность полусферы. Они не полностью закрывают трехмерный объем и имеют границы (красные). Обратите внимание, что бесконечные плоскости могут аппроксимировать гауссовы поверхности.

Большинство расчетов с использованием гауссовских поверхностей начинаются с реализации закона Гаусса (для электричества):

$\Phi _{E}=$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.$

Таким образом, Q _enc представляет собой электрический заряд, заключенный на гауссовой поверхности.

Это закон Гаусса, сочетающий в себе теорему о дивергенции и закон Кулона .

Сферическая поверхность

Сферическая поверхность Гаусса используется при определении электрического поля или потока, создаваемого любым из следующих факторов:

• точечный заряд
• равномерно распределенная сферическая оболочка заряда
• любое другое распределение заряда со сферической симметрией

Сферическая гауссова поверхность выбрана так, чтобы она была концентрична распределению заряда.

В качестве примера рассмотрим заряженную сферическую оболочку S толщины с равномерно распределенным зарядом Q и радиусом R. пренебрежимо малой Мы можем использовать закон Гаусса, чтобы найти величину результирующего электрического поля E на расстоянии r от центра заряженной оболочки. Сразу становится очевидным, что для сферической гауссовой поверхности радиуса r < R заключенный заряд равен нулю: следовательно, суммарный поток равен нулю, а величина электрического поля на гауссовой поверхности также равна 0 (полагая Q _A = 0 в формуле Гаусса закон, где Q _A — заряд, заключенный на гауссовой поверхности).

В том же примере, используя большую гауссову поверхность вне оболочки, где r > R , закон Гаусса создаст ненулевое электрическое поле. Это определяется следующим образом.

Поток из сферической поверхности S равен:

$\Phi _{E}=$ $\scriptstyle \partial S$ $\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\iint _{S}dA$

Площадь поверхности сферы радиуса r равна $$\iint _{S}dA=4\pi r^{2}$$что подразумевает $$\Phi _{E}=E4\pi r^{2}$$

По закону Гаусса поток также $$\Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}$$окончательное приравнивание выражения для Φ _E дает величину E -поля в позиции r : $$E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.$$

Этот нетривиальный результат показывает, что любое сферическое распределение заряда действует как точечный заряд, если наблюдать за ним снаружи; это фактически проверка закона Кулона . И, как уже упоминалось, любые внешние обвинения не учитываются.

Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая : поверхность Гаусса используется при нахождении электрического поля или потока, создаваемого любым из следующих факторов

• бесконечно длинная линия однородного заряда
• бесконечная плоскость однородного заряда
• бесконечно длинный цилиндр с однородным зарядом

В качестве примера ниже приведено «поле вблизи бесконечного линейного заряда»;

Рассмотрим точку P, находящуюся на расстоянии r от бесконечного линейного заряда, имеющего плотность заряда (заряд на единицу длины) λ. Представьте себе замкнутую поверхность в виде цилиндра, осью вращения которого является линейный заряд. Если h — длина цилиндра, то заряд, заключенный в цилиндре, равен $$q=\lambda h,$$где q — заряд, заключенный в гауссовой поверхности. Имеются три поверхности a , b и c, как показано на рисунке. Площадь дифференциального вектора равна d A на каждой поверхности a , b и c .

Замкнутая поверхность в форме цилиндра с линейным зарядом в центре и с указанием разностных площадей d A всех трех поверхностей.

Прохождение потока состоит из трех вкладов:

$\Phi _{E}=$ $\scriptstyle A$ $\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Для поверхностей a и b E и d A будут перпендикулярны .Для поверхности c, E и d A будут параллельны , как показано на рисунке.

$${\begin{aligned}\Phi _{E}&=\iint _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\iint _{c}dA\end{aligned}}$$

Площадь поверхности цилиндра равна $$\iint _{c}dA=2\pi rh$$что подразумевает $$\Phi _{E}=E2\pi rh.$$

По закону Гаусса $$\Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}$$приравнивание для Φ _E дает $$E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}$$

Гауссов дот

Эта поверхность чаще всего используется для определения электрического поля из-за бесконечного слоя заряда с однородной плотностью заряда или пластины заряда некоторой конечной толщины. Дот имеет цилиндрическую форму, и его можно рассматривать как состоящий из трех компонентов: диска на одном конце цилиндра площадью πR. ² , диск на другом конце равной площади и сторона цилиндра. Сумма электрического потока через каждый компонент поверхности пропорциональна замкнутому заряду дота, как это диктуется законом Гаусса. Поскольку поле вблизи листа можно аппроксимировать постоянным, дот ориентируется таким образом, чтобы силовые линии проникали в диски на концах поля под перпендикулярным углом, а стороны цилиндра были параллельны силовым линиям. .

См. также

• Область
• Площадь поверхности
• Векторное исчисление
• Интеграция
• Теорема о дивергенции
• Клетка Фарадея
• Теория поля
• Линия поля

Ссылки

• Перселл, Эдвард М. (1985). Электричество и магнетизм . МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-004908-4 .
• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.) . Уайли. ISBN  0-471-30932-Х .

Дальнейшее чтение

• Электромагнетизм (2-е издание) , И.С. Грант, В.Р. Филлипс, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN   978-0-471-92712-9

Внешние ссылки

• Поля. Архивировано 27 мая 2010 г. в Wayback Machine - глава из онлайн-учебника.