Гауссов период

В математике , в области теории чисел , период Гаусса представляет собой своего рода сумму корней из единицы . Периоды позволяют проводить явные вычисления в круговых полях, связанных с теорией Галуа и с гармоническим анализом ( дискретное преобразование Фурье ). Они являются основными в классической теории, называемой циклотомией . Тесно связана сумма Гаусса , тип экспоненциальной суммы , которая представляет собой линейную комбинацию периодов.

История [ править ]

Как следует из названия, периоды были введены Гауссом и легли в основу его теории построения циркуля и линейки . Например, построение семиугольника ( формула, которая способствовала его репутации) зависело от алгебры таких периодов, из которых

2\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)=\zeta +\zeta ^{16}\,

является примером корня семнадцатой степени из единицы

\zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{17}}\right).

Общее определение [ править ]

Учитывая целое число n > 1, пусть H — любая подгруппа мультипликативной группы

G=(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }

обратимых вычетов по модулю n и пусть

\zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{n}}\right).

Гауссовский период P представляет собой сумму примитивных корней n-й степени из единицы. $\zeta ^{a}$ , где $a$ все элементы фиксированного смежного класса H . в G проходит через

Определение P также можно сформулировать в терминах следа поля . У нас есть

P=\operatorname {Tr} _{\mathbb {Q} (\zeta )/L}(\zeta ^{j})

для некоторого подполя L поля Q (ζ) и некоторого j , взаимно простого с n . Это соответствует предыдущему определению путем отождествления G и H с Галуа группами Q (ζ)/ Q и Q (ζ)/ L соответственно. Выбор j определяет выбор смежного класса H в G в предыдущем определении.

Пример [ править ]

Ситуация проще всего, когда n — простое число p > 2. В этом случае G является циклической группой порядка p — 1 и имеет одну подгруппу H порядка d для каждого множителя d из p — 1. Например, мы можем взять H индекса два . В этом случае H состоит из квадратичных вычетов по модулю p . Этому H соответствует гауссовский период.

P=\zeta +\zeta ^{4}+\zeta ^{9}+\cdots

суммируется по ( p - 1)/2 квадратичным вычетам, а другой период P * суммируется по ( p - 1)/2 квадратичным невычетам. Это легко увидеть

P+P^{*}=-1

поскольку левая часть добавляет все примитивные корни p -й степени из 1. Из определения следа мы также знаем, что P лежит в квадратичном расширении Q . Следовательно, как знал Гаусс, P удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Вычисление квадрата суммы P связано с проблемой подсчета количества квадратичных вычетов между 1 и p - 1, за которыми следуют квадратичные вычеты. Решение элементарно (как мы бы сейчас сказали, оно вычисляет локальную дзета-функцию для кривой, которая является конической ). Надо

( П - П *) ² = p или − p для p = 4 м + 1 или 4 м + 3 соответственно.

Таким образом, это дает нам точную информацию о том, какое квадратичное поле лежит в Q (ζ). (Это можно вывести также с помощью аргументов ветвления в теории алгебраических чисел ; см. квадратичное поле .)

Как в конечном итоге показал Гаусс, для вычисления P - P * правильный квадратный корень, который нужно извлечь, — это положительный (соответственно, i раз положительный действительный) корень в обоих случаях. Таким образом, явное значение периода P определяется выражением

P={\begin{cases}{\frac {-1+{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{if }}p=4m+1,\\[6pt]{\frac {-1+i{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{if }}p=4m+3.\end{cases}}

Суммы Гаусса [ править ]

Как более подробно обсуждается ниже, гауссовы периоды тесно связаны с другим классом сумм корней из единицы, которые теперь обычно называются суммами Гаусса (иногда гауссовскими суммами ). Величина P − P *, представленная выше, представляет собой квадратичную сумму Гаусса по модулю p , простейший нетривиальный пример суммы Гаусса. Заметно, что P − P * также можно записать как

\sum \chi (a)\zeta ^{a}

где $\chi (a)$ здесь обозначает символ Лежандра ( a / p ), а сумма берется по классам вычетов по модулю p . В более общем смысле, учитывая характер Дирихле χ mod n , сумма Гаусса mod n, связанная с χ, равна

G(k,\chi )=\sum _{m=1}^{n}\chi (m)\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right).

Для частного случая $\chi =\chi _{1}$ главного характера Дирихле , сумма Гаусса сводится к сумме Рамануджана :

G(k,\chi _{1})=c_{n}(k)=\sum _{m=1;(m,n)=1}^{n}\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right)=\sum _{d|(n,k)}d\mu \left({\frac {n}{d}}\right)

где ц — функция Мёбиуса .

Суммы Гаусса $G(k,\chi )$ повсеместно распространены в теории чисел; например, они встречаются в функциональных уравнениях L -функций . (Суммы Гаусса в некотором смысле являются конечными полевыми аналогами гамма -функции . ^{[ нужны разъяснения ]}^{[ нужна цитата ]})

Связь периодов Гаусса Гаусса сумм и

Гауссовы периоды связаны с суммами Гаусса. $G(1,\chi )$ для которого характер х тривиален на H . Такие χ принимают одно и то же значение во всех элементах a в фиксированном смежном классе H в G . Например, квадратичный символ mod p , описанный выше, принимает значение 1 в каждом квадратичном остатке и принимает значение -1 в каждом квадратичном невычете. Сумма Гаусса $G(1,\chi )$ таким образом, может быть записано как линейная комбинация гауссовских периодов (с коэффициентами χ( a )); обратное также верно как следствие отношений ортогональности для группы ( Z / n Z ) ^×. Другими словами, периоды Гаусса и суммы Гаусса являются преобразованиями Фурье друг друга . Гауссовы периоды обычно лежат в меньших полях, поскольку, например, когда n — простое число p , значения χ( a ) являются корнями ( p − 1)-й степени из единицы. С другой стороны, суммы Гаусса обладают более приятными алгебраическими свойствами.

Ссылки [ править ]

Х. Давенпорт, Х. Л. Монтгомери (2000). Мультипликативная теория чисел . Спрингер. п. 18. ISBN 0-387-95097-4 .