Сумма Рамануджана

Не путать с суммированием Рамануджана .

В чисел теории сумма Рамануджана , обычно обозначаемая c _q ( n ), является функцией двух целочисленных положительных переменных q и n, определяемых формулой

$c_{q}(n)=\sum _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},$

где ( a , q ) = 1 означает, что a принимает только значения, взаимно простые с q .

Шриниваса Рамануджан упомянул эти суммы в статье 1918 года. Помимо разложений, обсуждаемых в этой статье, суммы Рамануджана используются в доказательстве теоремы Виноградова о том, что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел .

Обозначения

Для целых чисел a и b , $a\mid b$ читается как « a делит b » и означает, что существует целое число c такое, что ${\frac {b}{a}}=c.$ Сходным образом, $a\nmid b$ читается « а не делит b ». Символ суммирования

$\sum _{d\,\mid \,m}f(d)$

означает, что d проходит через все положительные делители m , например

$\sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).$

$(a,\,b)$ – наибольший общий делитель ,

$\phi (n)$ — полная функция Эйлера ,

$\mu (n)$ — функция Мёбиуса , а

$\zeta (s)$ — дзета-функция Римана .

Формулы для c _q ( n )

Тригонометрия

Эти формулы взяты из определения формулы Эйлера. $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ и элементарные тригонометрические тождества.

${\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}$

и так далее ( OEIS : A000012 , OEIS : A033999 , OEIS : A099837 , OEIS : A176742 ,.., OEIS : A100051 ,...). c _q ( n ) всегда является целым числом.

Клюйвер

Позволять $\zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.$ Тогда ζ _q является корнем уравнения x ^д - 1 знак равно 0 . Каждая из его сил,

$\zeta _{q},\zeta _{q}^{2},\ldots ,\zeta _{q}^{q-1},\zeta _{q}^{q}=\zeta _{q}^{0}=1$

тоже является корнем. Следовательно, поскольку их q , то все они являются корнями. Числа $\zeta _{q}^{n}$ где 1 ⩽ n ⩽ q называются корнями q -й степени из единицы . ζ _q называется примитивным корнем q -й степени из единицы, потому что наименьшее значение n , которое составляет $\zeta _{q}^{n}=1$ это q . Другими примитивными корнями q-й степени из единицы являются числа $\zeta _{q}^{a}$ где ( a , q ) = 1. Следовательно, существуют φ( q ) примитивные q -й корни степени из единицы.

Таким образом, сумма Рамануджана c _q ( n ) представляет собой сумму n -ых степеней примитивных корней q -й степени из единицы.

Это факт что степени ζ _q являются в точности примитивными корнями для всех делителей q .

Пример. Пусть q = 12. Тогда

$\zeta _{12},\zeta _{12}^{5},\zeta _{12}^{7},$ и $\zeta _{12}^{11}$ являются примитивными корнями двенадцатой степени из единицы,

$\zeta _{12}^{2}$ и $\zeta _{12}^{10}$ являются примитивными шестыми корнями единства,

$\zeta _{12}^{3}=i$ и $\zeta _{12}^{9}=-i$ являются примитивными четвертыми корнями из единицы,

$\zeta _{12}^{4}$ и $\zeta _{12}^{8}$ являются примитивными третьими корнями единства,

$\zeta _{12}^{6}=-1$ является примитивным вторым корнем из единицы, и

$\zeta _{12}^{12}=1$ является примитивным первым корнем из единицы.

Следовательно, если

$\eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}$

представляет собой сумму n -ных степеней всех корней, примитивных и импримитивных,

$\eta _{q}(n)=\sum _{d\mid q}c_{d}(n),$

и с помощью обращения Мёбиуса

$c_{q}(n)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).$

Это следует из тождества x ^д − 1 = ( x − 1)( x ^{q -1} + х ^{q -2} + ... + х + 1) что

$\eta _{q}(n)={\begin{cases}0&q\nmid n\\q&q\mid n\\\end{cases}}$

и это приводит к формуле

$c_{q}(n)=\sum _{d\mid (q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d,$

опубликовано Клюйвером в 1906 году.

Это показывает, что c _q ( n ) всегда является целым числом. Сравните это с формулой

$\phi (q)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.$

из Штернека

Из определения легко показать, что c _q ( n ) является мультипликативным , если рассматривать его как функцию от q для фиксированного значения n : т.е.

${\mbox{If }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ then }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).$

Из определения (или формулы Клюйвера) несложно доказать, что если p — простое число,

$c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},$

и если п ^к - степень простого числа, где k > 1,

$c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.$

Этот результат и мультипликативное свойство можно использовать для доказательства

$c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.$

Это называется арифметической функцией фон Штернека. Эквивалентность ее и суммы Рамануджана принадлежит Гельдеру.

Другие свойства c _q ( n )

Для всех положительных целых чисел q ,

${\begin{aligned}c_{1}(q)&=1\\c_{q}(1)&=\mu (q)\\c_{q}(q)&=\phi (q)\\c_{q}(m)&=c_{q}(n)&&{\text{for }}m\equiv n{\pmod {q}}\\\end{aligned}}$

Для фиксированного значения q абсолютное значение последовательности $\{c_{q}(1),c_{q}(2),\ldots \}$ ограничено φ( q ), и для фиксированного значения n абсолютное значение последовательности $\{c_{1}(n),c_{2}(n),\ldots \}$ ограничен n .

Если q > 1

$\sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.$

Пусть m ₁ , m ₂ > 0, m = lcm( m ₁ , m ₂ ). Затем Суммы Рамануджана удовлетворяют свойству ортогональности :

${\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Пусть n , k > 0. Тогда

$\sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},$

известное как тождество Брауэра - Радемахера .

Если n > 0 и a — любое целое число, мы также имеем

$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a),$

благодаря Коэну.

Стол

Сумма Рамануджана c _s ( n )

		н
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
с	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	2	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1
	3	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2
	4	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2
	5	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4
	6	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2
	7	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1
	8	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0
	9	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3
	10	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4
	11	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	12	0	2	0	−2	0	−4	0	−2	0	2	0	4	0	2	0	−2	0	−4	0	−2	0	2	0	4	0	2	0	−2	0	−4
	13	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	12	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	12	−1	−1	−1	−1
	14	1	−1	1	−1	1	−1	−6	−1	1	−1	1	−1	1	6	1	−1	1	−1	1	−1	−6	−1	1	−1	1	−1	1	6	1	−1
	15	1	1	−2	1	−4	−2	1	1	−2	−4	1	−2	1	1	8	1	1	−2	1	−4	−2	1	1	−2	−4	1	−2	1	1	8
	16	0	0	0	0	0	0	0	−8	0	0	0	0	0	0	0	8	0	0	0	0	0	0	0	−8	0	0	0	0	0	0
	17	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	16	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	18	0	0	3	0	0	−3	0	0	−6	0	0	−3	0	0	3	0	0	6	0	0	3	0	0	−3	0	0	−6	0	0	−3
	19	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	18	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	20	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−8	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	8	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−8
	21	1	1	−2	1	1	−2	−6	1	−2	1	1	−2	1	−6	−2	1	1	−2	1	1	12	1	1	−2	1	1	−2	−6	1	−2
	22	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	−10	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	10	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1
	23	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	22	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	24	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	−8	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	8	0	0	0	4	0	0
	25	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	20	0	0	0	0	−5
	26	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	−12	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	12	1	−1	1	−1
	27	0	0	0	0	0	0	0	0	−9	0	0	0	0	0	0	0	0	−9	0	0	0	0	0	0	0	0	18	0	0	0
	28	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−12	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	12	0	2
	29	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	28	−1
	30	−1	1	2	1	4	−2	−1	1	2	−4	−1	−2	−1	1	−8	1	−1	−2	−1	−4	2	1	−1	−2	4	1	2	1	−1	8

Расширения Рамануджана

Если f ( n ) — арифметическая функция (т. е. комплексная функция целых или натуральных чисел), то сходящийся бесконечный ряд вида:

$f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)$

или формы:

$f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)$

где a _k ∈ C , называется разложением Рамануджана. f ) ( n .

Рамануджан нашел расширения некоторых известных функций теории чисел. Все эти результаты доказываются «элементарным» способом (т.е. только с помощью формальных манипуляций с рядами и простейших результатов о сходимости).

Разложение нулевой функции зависит от результата аналитической теории простых чисел, а именно от того, что ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}$

сходится к 0, а результаты для r ( n ) и r ′( n ) зависят от теорем из более ранней статьи.

Все формулы в этом разделе взяты из статьи Рамануджана 1918 года.

Генерирующие функции

Производящими функциями сумм Рамануджана являются ряды Дирихле :

$\zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}$

является производящей функцией для последовательности c _q (1), c _q (2), ... где q сохраняется постоянным, и

${\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}$

является производящей функцией для последовательности c ₁ ( n ), c _​​2 ( n ), ... где n остается постоянным.

Существует также двойная серия Дирихле.

${\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.$

Полином с суммой Рамануджана в качестве коэффициентов можно выразить с помощью кругового полинома.

$\sum _{n=1}^{q}c_{q}(n)x^{n-1}=(x^{q}-1){\frac {\Phi _{q}'(x)}{\Phi _{q}(x)}}=\Phi _{q}'(x)\prod _{\begin{array}{c}d\mid q\\[-4pt]d\neq q\end{array}}\Phi _{d}(x)$.

σ _k ( п )

σ _k ( n ) — функция делителя (т.е. сумма k -ых степеней делителей числа n , включая 1 и n ). σ ₀ ( n ), количество делителей n , обычно обозначается d ( n ), а σ ₁ ( n ), сумма делителей n , обычно обозначается σ ( n ).

Если s > 0,

${\begin{aligned}\sigma _{s}(n)&=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\\\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\end{aligned}}$

Установка s = 1 дает

$\sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\cdots \right).$

Если гипотеза Римана верна и $-{\tfrac {1}{2}}<s<{\tfrac {1}{2}},$

$\sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\cdots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\cdots \right).$

д ( н )

d ( n ) = σ ₀ ( n ) — количество делителей числа n , включая 1 и n само .

${\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}$

где γ = 0,5772... — постоянная Эйлера–Машерони .

φ ( п )

Функция тотента Эйлера φ( n ) — это количество натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n . Рамануджан определяет его обобщение, если

$n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots$

— простая факторизация n , а s — комплексное число, пусть

$\varphi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,$

так что φ ₁ ( n ) = φ ( n ) — функция Эйлера.

Он доказывает, что

${\frac {\mu (n)n^{s}}{\varphi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}$

и использует это, чтобы показать, что

${\frac {\varphi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\varphi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\varphi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\varphi _{s+1}(3)}}+\cdots .$

Полагая s = 1,

$\varphi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\cdots \right).$

Обратите внимание, что константа является обратной того, что в формуле для σ( n ).

Л ( п )

Функция фон Мангольдта Λ( n ) = 0, если только n = p ^к — степень простого числа, и в этом случае это натуральный логарифм log p .

$-\Lambda (m)=c_{m}(1)+{\frac {1}{2}}c_{m}(2)+{\frac {1}{3}}c_{m}(3)+\cdots$

Ноль

Для всех n > 0,

$0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\cdots .$

Это эквивалентно теореме о простых числах .

r _{2 s} ( n ) (суммы квадратов)

r _{2 s} ( n ) — количество способов представления n в виде суммы 2 s квадратов , считая разные порядки и знаки разными (например, r ₂ (13) = 8, так как 13 = (±2) ² + (±3) ² = (±3) ² + (±2) ² .)

Рамануджан определяет функцию δ _{2 s} ( n ) и ссылается на статью в котором он доказал, что r _{2 s} ( n ) = δ _{2 s} ( n ) для s = 1, 2, 3 и 4. Для s > 4 он показывает, что δ _{2 s} ( n ) является хорошим приближением к r _{2 с} ( н ).

s = 1 имеет специальную формулу:

$\delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\cdots \right).$

В следующих формулах знаки повторяются с периодом 4.

${\begin{aligned}\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ and }}s>1\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 3{\pmod {4}}\\\end{aligned}}$

и, следовательно,

${\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}$

r ′ _2s (n) (суммы треугольников)

$r'_{2s}(n)$ — это количество способов, которыми n можно представить в виде суммы 2 -х треугольных чисел (т. е. чисел 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, . ..; n -е треугольное число определяется формулой n ( n + 1)/2.)

Анализ здесь аналогичен анализу квадратов. Рамануджан ссылается на ту же статью, что и о квадратах, где он показал, что существует функция $\delta '_{2s}(n)$ такой, что $r'_{2s}(n)=\delta '_{2s}(n)$ для s = 1, 2, 3 и 4, а также для s > 4, $\delta '_{2s}(n)$ является хорошим приближением к $r'_{2s}(n).$

Опять же, s = 1 требует специальной формулы:

$\delta '_{2}(n)={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right).$

Если s кратно 4,

${\begin{aligned}\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(n+{\frac {s}{4}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(n+{\frac {s}{4}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(n+{\frac {s}{4}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(2n+{\frac {s}{2}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(2n+{\frac {s}{2}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(2n+{\frac {s}{2}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(4n+s)}{1^{s}}}-{\frac {c_{3}(4n+s)}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(4n+s)}{5^{s}}}-\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {2}}{\text{ and }}s>1\end{aligned}}$

Поэтому,

${\begin{aligned}r'_{2}(n)&={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{4}(n)&=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {c_{1}(2n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(2n+1)}{9}}+{\frac {c_{5}(2n+1)}{25}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{6}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{3}}{2}}\left(n+{\frac {3}{4}}\right)^{2}\left({\frac {c_{1}(4n+3)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+3)}{27}}+{\frac {c_{5}(4n+3)}{125}}-\cdots \right)\\[6pt]r'_{8}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{4}}{6}}(n+1)^{3}\left({\frac {c_{1}(n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(n+1)}{81}}+{\frac {c_{5}(n+1)}{625}}+\cdots \right)\end{aligned}}$

Суммы

Позволять

${\begin{aligned}T_{q}(n)&=c_{q}(1)+c_{q}(2)+\cdots +c_{q}(n)\\U_{q}(n)&=T_{q}(n)+{\tfrac {1}{2}}\phi (q)\end{aligned}}$

Тогда для s > 1

${\begin{aligned}\sigma _{-s}(1)+\cdots +\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left(n+{\frac {T_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {T_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {T_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)\\&=\zeta (s+1)\left(n+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {U_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {U_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {U_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (s)\\d(1)+\cdots +d(n)&=-{\frac {T_{2}(n)\log 2}{2}}-{\frac {T_{3}(n)\log 3}{3}}-{\frac {T_{4}(n)\log 4}{4}}-\cdots \\d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n&=-{\frac {T_{2}(n)(2\gamma \log 2-\log ^{2}2)}{2}}-{\frac {T_{3}(n)(2\gamma \log 3-\log ^{2}3)}{3}}-{\frac {T_{4}(n)(2\gamma \log 4-\log ^{2}4)}{4}}-\cdots \\r_{2}(1)+\cdots +r_{2}(n)&=\pi \left(n-{\frac {T_{3}(n)}{3}}+{\frac {T_{5}(n)}{5}}-{\frac {T_{7}(n)}{7}}+\cdots \right)\end{aligned}}$

См. также

• Гауссов период
• Сумма Клоостермана

Ссылки

• Харди, GH (1999), Рамануджан: Двенадцать лекций по темам, предложенным его жизнью и работой , Провиденс, Род-Айленд: AMS / Челси, ISBN  978-0-8218-2023-0

• Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (1979) [1938]. Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN  0-19-853171-0 . МР   0568909 . Збл   0423.10001 .
• Кнопфмахер, Джон (1990) [1975], Абстрактная аналитическая теория чисел (2-е изд.), Нью-Йорк: Дувр, ISBN  0-486-66344-2 , Збл   0743.11002

• Натансон, Мелвин Б. (1996), Аддитивная теория чисел: классические основы , Тексты для аспирантов по математике, том. 164, Springer-Verlag, раздел A.7, ISBN  0-387-94656-Х , Збл   0859.11002 .
• Никол, Калифорния (1962). «Некоторые формулы, включающие суммы Рамануджана» . Может. Дж. Математика . 14 : 284–286. дои : 10.4153/CJM-1962-019-8 .

• Рамануджан, Шриниваса (1918), «О некоторых тригонометрических суммах и их приложениях в теории чисел», Труды Кембриджского философского общества , 22 (15): 259–276 (стр. 179–199 из его собрания статей )

• Рамануджан, Шриниваса (1916), «О некоторых арифметических функциях», Труды Кембриджского философского общества , 22 (9): 159–184 (стр. 136–163 его сборника статей )

• Рамануджан, Шриниваса (2000), Сборник статей , Провиденс, Род-Айленд: AMS / Челси, ISBN  978-0-8218-2076-6

• Шварц, Вольфганг; Спилкер, Юрген (1994), Арифметические функции. Введение в элементарные и аналитические свойства арифметических функций и в некоторые из их почти периодических свойств , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 184, Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-42725-8 , Збл   0807.11001

Внешние ссылки

• Тот, Ласло (2011). «Суммы произведений сумм Рамануджана». Анналы университета Феррары . 58 : 183–197. arXiv : 1104.1906 . дои : 10.1007/s11565-011-0143-3 . S2CID   119134250 .