Суммирование Рамануджана

Не путать с суммой Рамануджана .

Дополнительная информация: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.

Суммирование Рамануджана — это метод, изобретенный математиком Шринивасой Рамануджаном для присвоения значения расходящимся бесконечным рядам . Хотя суммирование Рамануджана расходящегося ряда не является суммой в традиционном смысле, оно обладает свойствами, которые делают его математически полезным при изучении расходящихся бесконечных рядов , для которых обычное суммирование не определено.

Суммирование

Поскольку свойств целой суммы нет, суммирование Рамануджана действует как свойство частичных сумм. Если мы возьмем формулу суммирования Эйлера-Маклорена вместе с правилом коррекции с использованием чисел Бернулли , мы увидим, что:

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}f(0)+f(1)+\cdots +f(n-1)+{\frac {1}{2}}f(n)&={\frac {f(0)+f(n)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)=\sum _{k=0}^{n}f(k)-{\frac {f(0)+f(n)}{2}}\\&=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left[f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}$

Рамануджан написал это еще раз для разных пределов интеграла и соответствующего суммирования для случая, когда p стремится к бесконечности :

$\sum _{k=a}^{x}f(k)=C+\int _{a}^{x}f(t)dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)$

где C — константа, специфичная для ряда и его аналитического продолжения, а пределы интеграла не были указаны Рамануджаном, но, по-видимому, они были такими, как указано выше. Сравнивая обе формулы и предполагая, что R стремится к 0 при стремлении x к бесконечности, видим, что в общем случае для функций f ( x ) без расходимости при x = 0:

$C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)$

где Рамануджан предположил $a=0.$ Взяв $a=\infty$ мы обычно восстанавливаем обычное суммирование для сходящихся рядов. Для функций f ( x ) без расходимости в точке x = 1 получаем:

$C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)$

альтернативно, применяя сглаженные суммы .

Тогда сходящаяся версия суммирования для функций с подходящим условием роста будет равна :

$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots =-{\frac {f(0)}{2}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt$

Для сравнения см. формулу Абеля – Планы.

Суммирование расходящихся рядов по Рамануджану

В следующем тексте $({\mathfrak {R}})$ указывает на «суммирование Рамануджана». Эта формула первоначально появилась в одной из записных книжек Рамануджана без каких-либо обозначений, указывающих на то, что она представляет собой новый метод суммирования.

Например, $({\mathfrak {R}})$ из 1 - 1 + 1 - ⋯ это:

$1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}\quad ({\mathfrak {R}}).$

Рамануджан вычислил «суммы» известных расходящихся рядов. Важно отметить, что суммы Рамануджана не являются суммами рядов в обычном смысле. т.е. частичные суммы не сходятся к этому значению, которое обозначается символом $({\mathfrak {R}}).$ В частности, $({\mathfrak {R}})$ сумма 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ рассчитывалась как:

$1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}\quad ({\mathfrak {R}})$

Распространяясь на положительные четные степени, это давало:

$1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\quad ({\mathfrak {R}})$

а для нечетных степеней этот подход предполагал связь с числами Бернулли :

$1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\quad ({\mathfrak {R}})$

было предложено использовать C (1), а не C (0), поскольку тогда можно быть уверенным, что один ряд В результате суммирования Рамануджана $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)$ допускает одно и только одно суммирование Рамануджана, определяемое как значение в 1 единственного решения разностного уравнения $R(x)-R(x+1)=f(x)$ который проверяет условие $\textstyle \int _{1}^{2}R(t)\,dt=0$.

Эта демонстрация суммирования Рамануджана (обозначаемая как $\textstyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)$) не совпадает ни с ранее определенным суммированием Рамануджана C (0), ни с суммированием сходящихся рядов, но обладает интересными свойствами, такими как: Если R ( x ) стремится к конечному пределу при x → 1, то ряд $\textstyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)$ сходится, и мы имеем

$\sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]$

В частности у нас есть:

$\sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}{\frac {1}{n}}=\gamma$

где γ — постоянная Эйлера–Машерони .

Расширение до интегралов

Возобновление Рамануджана можно распространить на интегралы; например, используя формулу суммирования Эйлера – Маклорена, можно написать

${\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }x^{m-s}\,dx&={\frac {m-s}{2}}\int _{a}^{\infty }\,dx+\zeta (s-m)-\sum _{i=1}^{a}\left[i^{m-s}+a^{m-s}\right]\\&\qquad -\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}\theta (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int _{a}^{\infty }x^{m-2r-s}\,dx\end{aligned}}$

что является естественным расширением интегралов алгоритма дзета-регуляризации.

Это рекуррентное уравнение конечно, так как при $m-2r<-1$,

$\int _{a}^{\infty }dx\,x^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}}.$

Обратите внимание, что это включает в себя (см. регуляризацию дзета-функции )

$I(n,\Lambda )=\int _{0}^{\Lambda }dx\,x^{n}$.

С $\Lambda \to \infty$, применение этого суммирования Рамануджана дает конечные результаты в перенормировке квантовых теорий поля .

См. также

• Суммирование Бореля
• Суммирование Чезаро
• Дивергентная серия
• Сумма Рамануджана
• Формула Абеля – Планы