число Бернулли

Числа Бернулли B ^±
_н

н	доля	десятичная дробь
0	1	+1.000000000
1	± 1 / 2	±0.500000000
2	1 / 6	+0.166666666
3	0	+0.000000000
4	− 1 / 30	−0.033333333
5	0	+0.000000000
6	1 / 42	+0.023809523
7	0	+0.000000000
8	− 1 / 30	−0.033333333
9	0	+0.000000000
10	5 / 66	+0.075757575
11	0	+0.000000000
12	− 691 / 2730	−0.253113553
13	0	+0.000000000
14	7 / 6	+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	− 3617 / 510	−7.092156862
17	0	+0.000000000
18	43867 / 798	+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	− 174611 / 330	−529.1242424

В математике числа Бернулли B _n представляют собой последовательность рациональных чисел , которые часто встречаются в анализе . Числа Бернулли появляются (и могут быть определены) в ряд Тейлора в разложениях касательных и гиперболических касательных функций, в формуле Фаульхабера для суммы m -ых степеней первых n положительных целых чисел, в формуле Эйлера-Маклорена и в выражениях для некоторых значений дзета-функции Римана .

Значения первых 20 чисел Бернулли приведены в соседней таблице. В литературе используются два соглашения, обозначенные здесь как $B_{n}^{-{}}$ и $B_{n}^{+{}}$; они различаются только для n = 1 , где $B_{1}^{-{}}=-1/2$ и $B_{1}^{+{}}=+1/2$. Для каждого нечетного n > 1 B n ₌ 0 . Для каждого четного n > 0 B n _{является} отрицательным, если n делится на 4, и положительным в противном случае. Числа Бернулли представляют собой специальные значения полиномов Бернулли. $B_{n}(x)$, с $B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)$ и $B_{n}^{+}=B_{n}(1)$.

Числа Бернулли были открыты примерно в то же время швейцарским математиком Якобом Бернулли , в честь которого они названы, и независимо японским математиком Секи Такакадзу . Открытие Секи было посмертно опубликовано в 1712 году. в своей работе Кацуё Санпо ; Бернулли, также посмертно, в его Ars Conjectandi 1713 года. Заметка Ады Лавлейс G об аналитической машине от 1842 года описывает алгоритм , подготовленный Бэббиджем для генерации чисел Бернулли с помощью . машины Бэббиджа В результате числа Бернулли стали предметом первой опубликованной сложной компьютерной программы .

Обозначения

Верхний индекс ±, используемый в этой статье, различает два соглашения о знаках чисел Бернулли. только член n = 1 Затрагивается :

• Б ⁻
  _п с Б ⁻
  ₁ = − 1/2 знаках , A027642 ( OEIS : A027641 / OEIS : ) — это соглашение о предписанное NIST и большинством современных учебников.
• Б ⁺
  _п с Б ⁺
  ₁ = + 1/2 ) A027642 ( OEIS : A164555 / OEIS : , использовался в более старой литературе и (с 2022 г.) Дональда Кнута. после «Манифеста Бернулли» Петра Лушнего.

В приведенных ниже формулах можно переключаться с одного соглашения о знаках на другое с помощью соотношения $B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}$, или для целого числа n = 2 или больше просто игнорируйте его.

Поскольку B _n = 0 для всех нечетных n > 1 и во многих формулах используются только числа Бернулли с четным индексом, лишь немногие авторы пишут « B _n » вместо B _{2 n}   . Эта статья не соответствует этому обозначению.

История

Ранняя история

Числа Бернулли уходят корнями в раннюю историю вычисления сумм целых степеней, которые интересовали математиков с античных времен.

Страница из книги Секи Такакадзу «Кацуё Санпо» (1712 г.), в которой представлены таблицы биномиальных коэффициентов и чисел Бернулли.

Были известны методы вычисления суммы первых n натуральных чисел, суммы квадратов и кубов первых n натуральных чисел, но настоящих «формул» не существовало, а были только описания, полностью даваемые словами. Среди великих математиков древности, занимавшихся этой проблемой, были Пифагор (ок. 572–497 до н. э., Греция), Архимед (287–212 до н. э., Италия), Ариабхата (р. 476, Индия), Абу Бакр аль-Караджи (ум. 1019, Персия) и Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам (965–1039, Ирак).

В конце шестнадцатого и начале семнадцатого веков математики добились значительных успехов. На Западе важную роль сыграли Томас Харриот (1560–1621) из Англии, Иоганн Фаульхабер (1580–1635) из Германии, Пьер де Ферма (1601–1665) и французский математик Блез Паскаль (1623–1662).

Томас Хэрриот, кажется, был первым, кто вывел и записал формулы для сумм степеней, используя символическую запись, но даже он вычислял только до суммы четвертых степеней. 1631 года дал формулы для сумм степеней до 17-й степени Иоганн Фаульхабер в своей «Академии алгебры» , что намного выше, чем у кого-либо до него, но он не дал общей формулы.

Блез Паскаль в 1654 году доказал тождество Паскаля, связывающее суммы p -х степеней первых n натуральных чисел для p = 0, 1, 2, ..., k .

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705) был первым, кто осознал существование единой последовательности констант B ₀ , B ₁ , B ₂ ,... которые обеспечивают единую формулу для всех сумм степеней.

Радость, которую испытал Бернулли, когда он наткнулся на шаблон, необходимый для быстрого и простого вычисления коэффициентов его формулы для суммы c - х степеней для любого положительного целого числа c, можно увидеть из его комментария. Он написал:

«С помощью этой таблицы мне потребовалось менее половины четверти часа, чтобы найти, что сложенные вместе десятые степени первых 1000 чисел дадут сумму 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500».

Результат Бернулли был опубликован посмертно в Ars Conjectandi в 1713 году. Секи Такакадзу независимо открыл числа Бернулли, и его результат был опубликован годом ранее, также посмертно, в 1712 году. Однако Секи не представил свой метод как формулу, основанную на последовательности констант.

Формула Бернулли для суммы степеней — наиболее полезная и обобщающая формулировка на сегодняшний день. Коэффициенты в формуле Бернулли теперь называются числами Бернулли, следуя предложению Абрахама де Муавра .

Формулу Бернулли иногда называют формулой Фаульхабера в честь Иоганна Фаульхабера, который нашел замечательные способы вычисления суммы степеней, но никогда не формулировал формулу Бернулли. По словам Кнута строгое доказательство формулы Фаульхабера было впервые опубликовано Карлом Якоби в 1834 году. Углубленное исследование формулы Фаульхабера, проведенное Кнутом, завершается (нестандартные обозначения LHS объясняются далее):

«Фаульхабер никогда не открывал числа Бернулли; т. е. он никогда не осознавал, что одна последовательность констант B ₀ , B ₁ , B ₂ , ... обеспечит равномерное

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

для всех сумм степеней. Он ни разу не упомянул, например, о том, что почти половина коэффициентов оказалась нулевой после того, как он перевел свои формулы для Σ n ^м от полиномов от N к полиномам от n ».

Выше Кнут имел в виду $B_{1}^{-}$; вместо этого используя $B_{1}^{+}$ формула позволяет избежать вычитания:

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

Реконструкция «Верховной державы»

«Высшие державы» Якоба Бернулли, 1713 г.

Числа Бернулли OEIS : A164555 (n)/ OEIS : A027642 (n) были введены Якобом Бернулли в книге Ars Conjectandi , опубликованной посмертно в 1713 году, стр. 97. Основную формулу можно увидеть во второй половине соответствующего факсимиле. Постоянные коэффициенты, обозначенные Бернулли A , B , C и D, преобразуются в обозначения, которые сейчас распространены как A = B ₂ , B = B ₄ , C = B ₆ , D = B ₈ . Выражение c · c -1· c -2· c -3 означает c ·( c -1)·( c -2)·( c -3) – маленькие точки используются в качестве символов группировки. Используя сегодняшнюю терминологию, эти выражения представляют собой падающие факториальные степени c. ^к . Факториальная запись k ! как сокращение для 1 × 2 × ... × k было введено только 100 лет спустя. Интегральный символ слева восходит к Готфриду Вильгельму Лейбницу в 1675 году, который использовал его как длинную букву S для обозначения «summa» (сумма). Буква n в левой части не является индексом суммирования , но указывает верхний предел диапазона суммирования, который следует понимать как 1, 2, ..., n . Если сложить все вместе, то для положительного c сегодня математик, скорее всего, запишет формулу Бернулли так:

$\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.$

Эта формула предлагает положить B ₁ = 1/2 . ) при переходе от так называемого «архаичного» перечисления, в котором используются только четные индексы 2, 4, 6..., к современной форме (подробнее о различных соглашениях в следующем параграфе Наиболее поразительным в этом контексте является тот факт, что падающий факториал c ^{к -1} имеет при k = 0 значение 1 / с + 1 . Таким образом, формулу Бернулли можно записать

$\sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}$

если B ₁ = 1/2 , возвращая значение, которое Бернулли придал коэффициенту в этой позиции.

Формула для $\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}$в первой половине приведенной выше цитаты Бернулли содержится ошибка в последнем члене; должен быть $-{\tfrac {3}{20}}n^{2}$ вместо $-{\tfrac {1}{12}}n^{2}$.

Определения

За последние 300 лет было найдено множество характеристик чисел Бернулли, и каждую из них можно было использовать для представления этих чисел. Здесь упомянуты только четыре наиболее полезных из них:

• рекурсивное уравнение,
• явная формула,
• производящая функция,
• целое выражение.

Для доказательства эквивалентности четырех подходов.

Рекурсивное определение

Числа Бернулли подчиняются формулам сумм

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}$

где $m=0,1,2...$и δ обозначает дельту Кронекера . Решение для $B_{m}^{\mp {}}$ дает рекурсивные формулы

${\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}$

Явное определение

В 1893 году Луи Заальшютц перечислил в общей сложности 38 явных формул для чисел Бернулли: обычно давая некоторые ссылки на более старую литературу. Один из них (для $m\geq 1$):

${\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}$

Генерирующая функция

Экспоненциальные производящие функции :

${\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}$

где замена $t\to -t$. Если мы позволим $F(t)=\sum _{i=1}^{\infty }f_{i}t^{i}$ и $G(t)=1/(1+F(t))=\sum _{i=0}^{\infty }g_{i}t^{i}$ затем

$G(t)=1-F(t)G(t).$

Затем $g_{0}=1$ и для $m>0$ их ^й термин в ряду для $G(t)$ является:

$g_{m}t^{i}=-\sum _{j=0}^{m-1}f_{m-j}g_{j}t^{m}$

Если

$F(t)={\frac {e^{t}-1}{t}}-1=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {t^{i}}{(i+1)!}}$

тогда мы находим это

$G(t)=t/(e^{t}-1)$

${\begin{aligned}m!g_{m}&=-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {m!}{j!}}{\frac {j!g_{j}}{(m-j+1)!}}\\&=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {m+1}{j}}j!g_{j}\\\end{aligned}}$

показывая, что значения $i!g_{i}$ подчиняться рекурсивной формуле для чисел Бернулли $B_{i}^{-}$.

(Обычная) производящая функция

$z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}$

есть асимптотический ряд . Он содержит тригамма-функцию ψ ₁ .

Интегральное выражение

Из производящих функций, приведенных выше, можно получить следующую интегральную формулу для четных чисел Бернулли:

$B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t$

Римана

Числа Бернулли, заданные дзета-функцией Римана.

Числа Бернулли можно выразить через дзета-функцию Римана :

Б ⁺
_п знак равно - nζ (1 - п ) для п ≥ 1 .

Здесь аргумент дзета-функции равен 0 или отрицателен. Как $\zeta (k)$ равен нулю для отрицательных четных целых чисел ( тривиальные нули ), если n>1 нечетно, $\zeta (1-n)$ равен нулю.

С помощью уравнения дзета-функционала и формулы гамма- отражения можно получить следующее соотношение:

$B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad$ для n ≥ 1 .

Теперь аргумент дзета-функции положителен.

Тогда из ζ → 1 ( n → ∞ ) и формулы Стирлинга следует , что

$|B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad$ для n → ∞ .

вычисление

В некоторых приложениях полезно иметь возможность вычислять числа Бернулли от B ₀ до B _{p − 3} по модулю p , где p — простое число; например, чтобы проверить, верна ли гипотеза Вандивера для p , или даже просто определить, ли p является неправильным простым числом . Провести такое вычисление с использованием приведенных выше рекурсивных формул невозможно, поскольку по крайней мере (постоянное кратное) p ² потребуются арифметические операции. К счастью, разработаны более быстрые методы. для которых требуется только O ( p (log p ) ² ) операции (см. большое O обозначение ).

Дэвид Харви описывает алгоритм вычисления чисел Бернулли путем вычисления Bn _по модулю p для многих маленьких простых чисел p , а затем восстановления с _Bn помощью китайской теоремы об остатках . Харви пишет, что асимптотическая временная сложность этого алгоритма равна O ( n ² журнал ( н ) ^{2 + е} ) и утверждает, что эта реализация значительно быстрее, чем реализации, основанные на других методах. Используя эту реализацию, Харви вычислил B _n для n = 10. ⁸ . Реализация Харви включена в SageMath начиная с версии 3.1. До этого Бернд Келлнер вычислен B _n с полной точностью для n = 10 ⁶ в Декабре 2002 и Александр Повлик для n = 10 ⁷ с Mathematica в апреле 2008 г.

Компьютер	Год	н	Цифры*
Дж. Бернулли	~1689	10	1
Л. Эйлер	1748	30	8
Джей Си Адамс	1878	62	36
Д.Э. Кнут, Ти.Дж. Бакхольц	1967	1 672	3 330
Г. Фи, С. Плуфф	1996	10 000	27 677
Г. Фи, С. Плуфф	1996	100 000	376 755
БК Келлнер	2002	1 000 000	4 767 529
O. Pavlyk	2008	10 000 000	57 675 260
Д. Харви	2008	100 000 000	676 752 569

* Под цифрами следует понимать показатель степени 10, когда B _n записано как действительное число в нормализованной научной записи .

Возможный алгоритм вычисления чисел Бернулли на языке программирования Джулия имеет вид

b      =   Array  {  Float64  }(  undef  ,   n  +  1  ) 
 b  [  1  ]   =   1 
 b  [  2  ]   =   -  0,5 
 для   m  =  2  :  n  
     для   k  =  0  :  m 
         для   v  =  0  :  k 
             b  [  m  +  1  ]   +=   (  -  1  )  ^  v   *   биномиальный  (  k  ,  v  )   *   v  ^  (  m  )   /   (  k  +  1  ) 
         конец 
     конец 
 конец 
 возврат   b 

Применение чисел Бернулли

Асимптотический

Возможно, наиболее важным применением чисел Бернулли в математике является их использование в формуле Эйлера-Маклорена . Предполагая, что f — достаточно часто дифференцируемая функция, формулу Эйлера–Маклорена можно записать в виде

$\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).$

Эта формулировка предполагает соглашение B ⁻
₁ = − 1/2 ​ ​ . Используя соглашение B ⁺
₁ = + 1/2 ​ становится формула

$\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).$

Здесь $f^{(0)}=f$ (т.е. производная нулевого порядка $f$ просто $f$). Более того, пусть $f^{(-1)}$ обозначим первообразную ​ $f$. По основной теореме исчисления ,

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).$

Таким образом, последнюю формулу можно дополнительно упростить до следующей краткой формы формулы Эйлера – Маклорена:

$\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).$

Эта форма является, например, источником важного разложения Эйлера-Маклорена дзета-функции.

${\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}$

Вот ​ ^к обозначает возрастающую факторную мощность .

Числа Бернулли также часто используются в других видах асимптотических разложений . Следующий пример представляет собой классическое асимптотическое разложение дигамма-функции ψ типа Пуанкаре .

$\psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}$

Сумма полномочий

Основная статья: формула Фаульхабера

Числа Бернулли занимают видное место в выражении в замкнутой форме суммы m -х степеней первых n положительных целых чисел. Для m , n ≥ 0 определим

$S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.$

Это выражение всегда можно переписать в виде многочлена от n степени m + 1 . Коэффициенты этих многочленов связаны с числами Бернулли формулой Бернулли :

$S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},$

где ( ^{м + 1}
_k ) обозначает биномиальный коэффициент .

Например, если принять m за 1, получим треугольные числа 0, 1, 3, 6, ... OEIS : A000217 .

$1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).$

Если принять m за 2, получим квадратно-пирамидальные числа 0, 1, 5, 14, ... OEIS : A000330 .

$1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).$

Некоторые авторы используют альтернативное соглашение для чисел Бернулли и формулируют формулу Бернулли следующим образом:

$S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.$

Формулу Бернулли иногда называют формулой Фаульхабера в честь Иоганна Фаульхабера , который также нашел замечательные способы вычисления сумм степеней .

Формула Фаульхабера была обобщена В. Го и Дж. Цзэном на q -аналог .

Серия Тейлора

Числа Бернулли появляются в разложении в ряд Тейлора многих тригонометрических и гиперболических функций .

$${\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}$$

Лорановский сериал

Числа Бернулли появляются в следующем ряду Лорана :

Дигамма-функция : $\psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}$

Использование в топологии

Формула Кервера–Милнора для порядка циклической группы классов диффеоморфизмов экзотических (4 n − 1) -сфер , ограничивающих параллелизуемые многообразия, включает числа Бернулли. Пусть ES _n — количество таких экзотических сфер при n ≥ 2 , тогда

${\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).$

Теорема сигнатуре Хирцебруха для L рода гладкого ориентированного о замкнутого многообразия 4 размерности n также включает числа Бернулли.

Связи с комбинаторными числами

Связь числа Бернулли с различными видами комбинаторных чисел основана на классической теории конечных разностей и на комбинаторной интерпретации чисел Бернулли как примера фундаментального комбинаторного принципа — принципа включения-исключения .

Связь с числами Ворпицкого

Определение, с которым следует продолжить, было разработано Юлиусом Ворпицким в 1883 году. Помимо элементарной арифметики, только факториальная функция n ! и степенная функция k ^м Используется. Беззнаковые числа Ворпицкого определяются как

$W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.$

Их также можно выразить через числа Стирлинга второго рода.

$W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.$

Затем число Бернулли вводится как сумма включения-исключения чисел Ворпицкого, взвешенных по гармонической последовательности 1, 1 / 2 ,  1 / 3 , ...

$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .$

Б ₀ = 1

Б ₁ = 1 − 1 / 2

Б ₂ = 1 − 3 / 2 + 2 / 3

Б ₃ = 1 − 7 / 2 + 12 / 3 − 6 / 4

Б ₄ = 1 − 15 / 2 + 50 / 3 − 60 / 4 + 24 / 5

Б ₅ = 1 − 31 / 2 + 180 / 3 − 390 / 4 + 360 / 5 − 120 / 6

Б ₆ = 1 − 63 / 2 + 602 / 3 − 2100 / 4 + 3360 / 5 − 2520 / 6 + 720 / 7

Это представление имеет B ⁺
₁ = + 1 / 2 .

Рассмотрим последовательность sn _, ≥ n 0 . Ворпицкого OEIS : A028246 , OEIS : A163626 примененных s0 _s0 , s1 _. , s0 _, , s1 _s1 , s2 _, , s2 _s0 , , _​ , чисел _, ​ s3 _​ ... к _Акияме Из идентично – Преобразование Танигавы, примененное к s _n (см. Связь с числами Стирлинга первого рода ). Это можно увидеть через таблицу:

Личность
Представление Ворпицкого и преобразование Акиямы – Танигавы

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	−1					0	2	−2				0	0	3	−3			0	0	0	4	−4
1	−3	2				0	4	−10	6			0	0	9	−21	12
1	−7	12	−6			0	8	−38	54	−24
1	−15	50	−60	24

Первая s0 _​ , s1 _​ , s2 _​ , s3 _, s4 . _строка представляет

Следовательно, для вторых дробных чисел Эйлера OEIS : A198631 ( n )/ OEIS : A006519 ( n + 1 ):

Е ₀ = 1

Е ₁ = 1 − 1 / 2

Е2 ₌ 1 − 3 / 2 + 2 / 4

Е ₃ = 1 − 7 / 2 + 12 / 4 − 6 / 8

Е ₄ = 1 − 15 / 2 + 50 / 4 − 60 / 8 + 24 / 16

Е5 ₌ 1 - 31 / 2 + 180 / 4 − 390 / 8 + 360 / 16 − 120 / 32

Е ₆ = 1 - 63 / 2 + 602 / 4 − 2100 / 8 + 3360 / 16 − 2520 / 32 + 720 / 64

Вторая формула, представляющая числа Бернулли числами Ворпицкого, предназначена для n ≥ 1.

$B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.$

Упрощенное второе представление Ворпицкого вторых чисел Бернулли:

OEIS : A164555 ( n + 1 ) / OEIS : A027642 ( n + 1 ) = п + 1/2 ​ ^{п + 2} - 2 × OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 )

которое связывает вторые числа Бернулли со вторыми дробными числами Эйлера. Начало такое:

1 / 2 , 1 / 6 , 0, − 1 / 30 , 0, 1 / 42 , ... = ( 1 / 2 , 1 / 3 , 3 / 14 , 2 / 15 , 5 / 62 , 1 / 21 , ...) × (1, 1 / 2 , 0, − 1 / 4 , 0, 1 / 2 , ...)

Числители первых скобок — OEIS : A111701 (см. Связь с числами Стирлинга первого рода ).

Стирлинга второго

Если определить полиномы Бернулли B _k ( j ) как:

$B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}$

где B _k при k = 0, 1, 2,... — числа Бернулли.

Для полиномов Бернулли также имеется следующее:

$B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.$

Коэффициент при j в ( ^дж
_{м + 1} ) есть (−1) ^м / м + 1 .

Сравнивая коэффициент при j в двух выражениях полиномов Бернулли, получаем:

$B_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k-1,m)$

(в результате B ₁ = + 1/2 ) , теоремы Фон- Штаудта которая является явной формулой для чисел Бернулли и может быть использована для доказательства Клаузена .

числами Стирлинга первого

Две основные формулы, связывающие беззнаковые числа Стирлинга первого рода [ ^н
_m ] к числам Бернулли (при B ₁ = + 1/2 ​ ) являются

${\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},$

и обращение этой суммы (при n ≥ 0 , m ≥ 0 )

${\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.$

Здесь числа An _{, — это рациональные числа Акиямы–Танигавы, первые несколько из m} которых показаны в следующей таблице.

Число Акиямы – Танигавы

м н	0	1	2	3	4
0	1	1 / 2	1 / 3	1 / 4	1 / 5
1	1 / 2	1 / 3	1 / 4	1 / 5	...
2	1 / 6	1 / 6	3 / 20	...	...
3	0	1 / 30	...	...	...
4	− 1 / 30	...	...	...	...

Числа Акиямы – Танигавы удовлетворяют простому рекуррентному соотношению, которое можно использовать для итеративного вычисления чисел Бернулли. Это приводит к алгоритму, показанному в разделе «алгоритмическое описание» выше. См. OEIS : A051714 / OEIS : A051715 .

Автопоследовательность — это последовательность , обратное биномиальное преобразование которой равно знаковой последовательности. Если главная диагональ равна нулям = OEIS : A000004 , автопоследовательность имеет первый вид. Пример: OEIS : A000045 , числа Фибоначчи. Если главная диагональ равна первой верхней диагонали, умноженной на 2, то она второго рода. Пример: OEIS : A164555 / OEIS : A027642 , вторые числа Бернулли (см. OEIS : A190339 ). Преобразование Акиямы – Танигавы, примененное к 2 ^{− п} = 1/ OEIS : A000079 ведет к OEIS : A198631 ( n )/ OEIS : A06519 ( n + 1). Следовательно:

Преобразование Акиямы – Танигавы для вторых чисел Эйлера

м н	0	1	2	3	4
0	1	1 / 2	1 / 4	1 / 8	1 / 16
1	1 / 2	1 / 2	3 / 8	1 / 4	...
2	0	1 / 4	3 / 8	...	...
3	− 1 / 4	− 1 / 4	...	...	...
4	0	...	...	...	...

См. OEIS : A209308 и OEIS : A227577 . OEIS : A198631 ( n )/ OEIS : A006519 ( n +1 ) — вторые (дробные) числа Эйлера и автопоследовательность второго рода.

( OEIS : A164555 ( n + 2 ) / OEIS : A027642 ( n + 2 ) = 1 / 6 , 0, − 1 / 30 , 0, 1 / 42 , ... ) × ( 2 ^{п + 3} − 2 / n + 2 = 3, 14 / 3 , 15 / 2 , 62 / 5 , 21, ... ) = OEIS : A198631 ( n + 1 ) / OEIS : A006519 ( n + 2 ) = 1 / 2 , 0, − 1 / 4 , 0, 1 / 2 , ... .

Также ценно для OEIS : A027641 / OEIS : A027642 (см. Связь с числами Ворпицкого ).

Связь с треугольником Паскаля

Существуют формулы, связывающие треугольник Паскаля с числами Бернулли.

$B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~$

где $|A_{n}|$ является определителем матрицы Хессенберга части размером n×n треугольника Паскаля, элементами которой являются: $a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Пример:

$B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}$

Связь с числами Эйлера

Существуют формулы, связывающие числа Эйлера ⟨ ^н
_m ⟩ к числам Бернулли:

${\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}$

Обе формулы справедливы для n ≥ 0, если для B ₁ установлено значение 1/2 ​ ​ . Если B ₁ установлен на — 1/2 ≥ n они справедливы только для 1 и n ≥ 2 соответственно.

Представление двоичного дерева

Полиномы Стирлинга σ _n ( x ) связаны с числами Бернулли соотношением B _n = n ! σ _н (1) . С.К. Вун описал алгоритм вычисления σ _n (1) в виде двоичного дерева:

Рекурсивный алгоритм Вуна (для n ≥ 1 ) начинается с присвоения корневому узлу N = [1,2] . Учитывая узел N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] дерева, левый дочерний элемент узла равен L ( N ) = [− a ₁ , a ₂ + 1, a ₃ , .. ., a _k ] и правый ребенок R ( N ) = [ a ₁ , 2, a ₂ , ..., a _k ] . Узел N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] записывается как ±[ a ₂ , ..., a _k ] в начальной части дерева, представленного выше, где ± обозначает знак a _1. .

Учитывая узел N, факториал N определяется как

$N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.$

Ограниченная узлами N фиксированного уровня дерева n, сумма 1 / Н ! является σ _n (1) , таким образом

$B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.$

Например:

В ₁ = 1!( 1 / 2! )

B ₂ = 2!(− 1 / 3! + 1 / 2!2! )

В ₃ = 3!( 1 / 4! − 1 / 2!3! − 1 / 3!2! + 1 / 2!2!2! )

представление

Интеграл ​

$b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}={\frac {s!}{2^{s-1}}}{\frac {\zeta (s)}{{}\pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={\frac {2s!\zeta (s)}{(2\pi i)^{s}}}$

имеет специальные значения b (2 n ) = B _{2 n} для n > 0 .

Например, б (3) = 3/2 г 3 р ) ( ⁻³ я и б (5) = - 15/2 г 5 р ) ( ⁻⁵ я . Здесь ζ — дзета-функция Римана , а i — мнимая единица . Леонард Эйлер ( «Опера Омния» , Сер. 1, Том 10, стр. 351) рассмотрел эти числа и вычислил

${\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}$

Другое подобное интегральное представление:

$b(s)=-{\frac {e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{\sinh \pi t}}{\frac {dt}{t}}={\frac {2e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\pi t}st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}.$

Связь с π

представляют Числа Эйлера собой последовательность целых чисел, тесно связанную с числами Бернулли. Сравнивая Асимптотическое разложение чисел Бернулли и Эйлера показывает, что числа Эйлера E _{2 n} по величине примерно равны 2 / п (4 ^{2 н} − 2 ^{2 н} ) раз больше чисел Бернулли B _{2 n} . В результате:

$\pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.$

Это асимптотическое уравнение показывает, что π находится в общем корне чисел Бернулли и Эйлера. Фактически, π можно вычислить на основе этих рациональных приближений.

Числа Бернулли выражаются через числа Эйлера и наоборот. Поскольку для нечетного B n n ₌ En = ₀ ( за исключением B ₁ ), достаточно рассмотреть случай, когда n четное.

${\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\[6pt]E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}$

Эти формулы преобразования выражают связь между числами Бернулли и Эйлера. Но что еще более важно, существует глубокий арифметический корень, общий для обоих видов чисел, который можно выразить через более фундаментальную последовательность чисел, также тесно связанную с π . Эти числа определяются для n ≥ 1 как

$S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kn}}{(2k+1)^{n}}}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\lim _{K\to \infty }\sum _{k=-K}^{K}(4k+1)^{-n}.$

Магия этих чисел заключается в том, что они оказываются рациональными числами. Впервые это было доказано Леонардом Эйлером в знаковой статье De summis serierum reciprocarum («О суммах рядов обратных чисел») и с тех пор очаровывает математиков. Первые несколько из этих чисел

$S_{n}=1,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{24}},{\frac {2}{15}},{\frac {61}{720}},{\frac {17}{315}},{\frac {277}{8064}},{\frac {62}{2835}},\ldots$ ( ОЕИС : A099612 / ОЕИС : A099617 )

Это коэффициенты разложения sec x + tan x .

Числа Бернулли и числа Эйлера можно понимать как особые виды этих чисел, выбранные из последовательности Sn _и масштабированные для использования в специальных приложениях.

${\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}$

Выражение [ neven ] имеет значение 1, если n четное, и 0 в противном случае ( скобка Айверсона ).

Эти тождества показывают, что частное чисел Бернулли и Эйлера в начале этого раздела является лишь частным случаем R _n = 2 S _n / S _{n + 1,} когда n четно. Rn , _{являются} рациональными аппроксимациями π и два последовательных члена всегда заключают в себе истинное значение π . Начиная с n = 1, начинается последовательность ( OEIS : A132049 / OEIS : A132050 ):

$2,4,3,{\frac {16}{5}},{\frac {25}{8}},{\frac {192}{61}},{\frac {427}{136}},{\frac {4352}{1385}},{\frac {12465}{3968}},{\frac {158720}{50521}},\ldots \quad \longrightarrow \pi .$

Эти рациональные числа также встречаются в последнем абзаце цитированной выше статьи Эйлера.

Рассмотрим преобразование Акиямы–Танигавы для последовательности OEIS : A046978 ( n + 2 )/ OEIS : A016116 ( n + 1 ):

0	1	1 / 2	0	− 1 / 4	− 1 / 4	− 1 / 8	0
1	1 / 2	1	3 / 4	0	− 5 / 8	− 3 / 4
2	− 1 / 2	1 / 2	9 / 4	5 / 2	5 / 8
3	−1	− 7 / 2	− 3 / 4	15 / 2
4	5 / 2	− 11 / 2	− 99 / 4
5	8	77 / 2
6	− 61 / 2

Со второго числители первого столбца являются знаменателями формулы Эйлера. Первый столбец — 1/2 /. x OEIS : A163982

Алгоритмическое представление

Последовательность Sn _{имеет еще одно неожиданное ,} важное свойство: знаменатели Sn _{+1 но} делят факториал n ! . Другими словами: числа T _n = S _{n + 1} n ! , иногда называемые зигзагообразными числами Эйлера , являются целыми числами.

$T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots$( ОЭИС : A000111 ). См. ( OEIS : A253671 ).

Их экспоненциальная производящая функция представляет собой сумму секущей и касательной функций.

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)=\sec x+\tan x$.

Таким образом, приведенные выше представления чисел Бернулли и Эйлера можно переписать в терминах этой последовательности как

${\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&\geq 2\\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n}&n&\geq 0\end{aligned}}$

Эти тождества облегчают вычисление чисел Бернулли и Эйлера: числа Эйлера E _{2 n} непосредственно задаются T _{2 n} , а числа Бернулли B _{2 n} являются дробями, полученными из T _{2 n - 1} путем некоторого простого сдвига, избегая рациональной арифметики. .

Осталось найти удобный способ вычисления чисел T _n . Однако уже в 1877 году Филипп Людвиг фон Зейдель опубликовал остроумный алгоритм, упрощающий вычисление T _n .

${\begin{array}{crrrcc}{}&{}&{\color {red}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {blue}1}&{\color {red}1}&{}\\{}&{\color {red}2}&{\color {blue}2}&{\color {blue}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {blue}2}&{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {red}5}\\{\color {red}16}&{\color {blue}16}&{\color {blue}14}&{\color {blue}10}&{\color {blue}5}&{\leftarrow }\end{array}}$

Алгоритм Зейделя для T _n

1. Начните с помещения 1 в строку 0 и пусть k обозначает номер строки, заполняемой в данный момент.
2. Если k нечетно, то поместите число из левого конца строки k - 1 в первую позицию строки k и заполните строку слева направо, причем каждая запись представляет собой сумму чисел до влево и номер вверху
3. В конце ряда дублируем последнюю цифру.
4. Если k четное, действуйте аналогично в другом направлении.

Алгоритм Зейделя на самом деле гораздо более общий (см. изложение Доминика Дюмона). ) и впоследствии несколько раз открывался заново.

Подобно подходу Зейделя, Д. Е. Кнут и Т. Дж. Бакгольц дали рекуррентное уравнение для чисел T _{2 n} и рекомендовали этот метод для вычисления B _{2 n} и E _{2 n} «на электронных компьютерах, используя только простые операции с целыми числами».

V. I. Arnold заново открыли алгоритм Зейделя, а позже Миллар, Слоан и Янг популяризировали алгоритм Зейделя под названием «преобразование бустрофедона» .

Треугольная форма:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

Только OEIS : A000657 с одной единицей и OEIS : A214267 с двумя единицами находятся в OEIS.

Распределение с дополнительной 1 и одним 0 в следующих строках:

						1
					0		1
				−1		−1		0
			0		−1		−2		−2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
−61		−61		−56		−46		−32		−16		0

Это OEIS : A239005 , подписанная версия OEIS : A008280 . Основная адиагональ — OEIS : A122045 . Основная диагональ — OEIS : A155585 . Центральный столбец — OEIS : A099023 . Суммы строк: 1, 1, −2, −5, 16, 61.... См. OEIS : A163747 . См. массив, начинающийся с 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 ниже.

Алгоритм Акиямы-Танигавы, примененный к OEIS : A046978 ( n + 1 )/ OEIS : A016116 ( n ), дает:

1	1	1 / 2	0	− 1 / 4	− 1 / 4	− 1 / 8
0	1	3 / 2	1	0	− 3 / 4
−1	−1	3 / 2	4	15 / 4
0	−5	− 15 / 2	1
5	5	− 51 / 2
0	61
−61

1. Первый столбец — OEIS : A122045 . Его биномиальное преобразование приводит к:

1	1	0	−2	0	16	0
0	−1	−2	2	16	−16
−1	−1	4	14	−32
0	5	10	−46
5	5	−56
0	−61
−61

Первая строка этого массива — OEIS : A155585 . Абсолютные значения возрастающих антидиагоналей: OEIS : A008280 . Сумма антидиагоналей равна — OEIS : A163747 ( n + 1 ).

2. Второй столбец: 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385... . Его биномиальное преобразование дает:

1	2	2	−4	−16	32	272
1	0	−6	−12	48	240
−1	−6	−6	60	192
−5	0	66	32
5	66	66
61	0
−61

Первая строка этого массива: 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584... . Абсолютные значения второго деления пополам в два раза превышают абсолютные значения первого деления пополам.

Рассмотрим алгоритм Акиямы-Танигавы, примененный к OEIS : A046978 ( n )/( OEIS : A158780 ( n + 1 ) = abs( OEIS : A117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2, 3 / 2 , 1, 3 / 4 , 3 / 4 , 7 / 8 , 1, 17 / 16 , 17 / 16 , 33 / 32 ... .

1	2	2	3 / 2	1	3 / 4	3 / 4
−1	0	3 / 2	2	5 / 4	0
−1	−3	− 3 / 2	3	25 / 4
2	−3	− 27 / 2	−13
5	21	− 3 / 2
−16	45
−61

Первый столбец, абсолютные значения которого равны OEIS : A000111, может быть числителем тригонометрической функции.

OEIS : A163747 — автопоследовательность первого рода (основная диагональ — OEIS : A000004 ). Соответствующий массив:

0	−1	−1	2	5	−16	−61
−1	0	3	3	−21	−45
1	3	0	−24	−24
2	−3	−24	0
−5	−21	24
−16	45
−61

Первые две верхние диагонали равны −1 3 −24 402... = (−1) ^{п + 1} × ОЭИС : A002832 . Сумма антидиагоналей равна 0 −2 0 10... = 2 × OEIS : A122045 ( n + 1).

− OEIS : A163982 — это автопоследовательность второго рода, например OEIS : A164555 / OEIS : A027642 . Отсюда массив:

2	1	−1	−2	5	16	−61
−1	−2	−1	7	11	−77
−1	1	8	4	−88
2	7	−4	−92
5	−11	−88
−16	−77
−61

Главная диагональ, здесь 2 −2 8 −92... , равна двойной первой верхней диагонали, здесь OEIS : A099023 . Сумма антидиагоналей равна 2 0 −4 0... = 2 × OEIS : A155585 ( n + 1). OEIS : A163747 − OEIS : A163982 = 2 × OEIS : A122045 .

Комбинаторный взгляд: чередующиеся перестановки

Основная статья: Альтернативные перестановки

Примерно в 1880 году, через три года после публикации алгоритма Зейделя, Дезире Андре доказал ставший уже классическим результат комбинаторного анализа. Глядя на первые члены разложения Тейлора тригонометрических функций tan x и sec x, Андре сделал поразительное открытие.

${\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}$

Коэффициенты представляют собой числа Эйлера нечетного и четного индекса соответственно. В результате обычное разложение tan x + sec x имеет в качестве коэффициентов рациональные числа S _n .

$\tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots$

Затем Андре удалось с помощью аргумента рекуррентности показать, что чередующиеся перестановки нечетного размера нумеруются числами Эйлера нечетного индекса (также называемыми касательными числами), а чередующиеся перестановки четного размера - числами Эйлера четного индекса (также называемыми числами Эйлера). секущие числа).

Связанные последовательности

Среднее арифметическое первого и второго чисел Бернулли являются ассоциированными числами Бернулли: В _{0 знак} равно 1 , В ₁ знак равно 0 , В ₂ знак равно 1 / 6 , B ₃ знак равно 0 , B ₄ знак равно - 1/30 ​ ​ , OEIS : A176327 / OEIS : A027642 . Через вторую строку обратного преобразования Акиямы-Танигавы OEIS : A177427 они приводят к ряду Бальмера OEIS : A061037 / OEIS : A061038 .

Алгоритм Акиямы-Танигавы, примененный к OEIS : A060819 ( n + 4 ) / OEIS : A145979 ( n ), приводит к числам Бернулли OEIS : A027641 / OEIS : A027642 , OEIS : A164555 / OEIS : A027642 или OEIS : A176327 O ЭИС : A176289 без B ₁ , называемые внутренними числами Бернулли B _i ( n ) .

1	5 / 6	3 / 4	7 / 10	2 / 3
1 / 6	1 / 6	3 / 20	2 / 15	5 / 42
0	1 / 30	1 / 20	2 / 35	5 / 84
− 1 / 30	− 1 / 30	− 3 / 140	− 1 / 105	0
0	− 1 / 42	− 1 / 28	− 4 / 105	− 1 / 28

Отсюда еще одна связь между внутренними числами Бернулли и рядом Бальмера через OEIS : A145979 ( n ).

OEIS : A145979 ( n − 2 ) = 0, 2, 1, 6,... — это перестановка неотрицательных чисел.

Члены первой строки: f(n) = 1 / 2 + 1 / н +2 . 2, f(n) — автопоследовательность второго рода. 3/2, f(n) путем обратного биномиального преобразования приводит к 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2.

Рассмотрим g(n) = 1/2 – 1/(n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3. Преобразования Акиямы-Танагивы дают:

0	1 / 6	1 / 4	3 / 10	1 / 3	5 / 14	...
− 1 / 6	− 1 / 6	− 3 / 20	− 2 / 15	− 5 / 42	− 3 / 28	...
0	− 1 / 30	− 1 / 20	− 2 / 35	− 5 / 84	− 5 / 84	...
1 / 30	1 / 30	3 / 140	1 / 105	0	− 1 / 140	...

0, g(n), является автопоследовательностью второго рода.

Эйлер OEIS : A198631 ( n )/ OEIS : A006519 ( n +1 ) без второго члена ( 1/2 − ) — дробные внутренние числа Эйлера E _i ( n ) знак равно 1, 0, 1 / 4 , 0, 1 / 2 , 0, − 17 / 8 , 0, ... Соответствующее преобразование Акиямы:

1	1	7 / 8	3 / 4	21 / 32
0	1 / 4	3 / 8	3 / 8	5 / 16
− 1 / 4	− 1 / 4	0	1 / 4	25 / 64
0	− 1 / 2	− 3 / 4	− 9 / 16	− 5 / 32
1 / 2	1 / 2	− 9 / 16	− 13 / 8	− 125 / 64

Первая строка — Eu ( n ) . Eu ( n ) , которому предшествует ноль, является автопоследовательностью первого рода. Это связано с числами Орема. Числители второй строки: OEIS : A069834 , перед которым стоит 0. Таблица различий:

0	1	1	7 / 8	3 / 4	21 / 32	19 / 32
1	0	− 1 / 8	− 1 / 8	− 3 / 32	− 1 / 16	− 5 / 128
−1	− 1 / 8	0	1 / 32	1 / 32	3 / 128	1 / 64

Арифметические свойства чисел Бернулли

Числа Бернулли можно выразить через дзета-функцию Римана как B _n = − nζ (1 − n ) для целых чисел n ≥ 0 , при условии, что для n = 0 выражение − nζ (1 − n ) понимается как предельное значение и соглашение B ₁ = 1/2 ​ используется . Это тесно связывает их со значениями дзета-функции для отрицательных целых чисел. Таким образом, можно было бы ожидать, что они будут иметь и имеют глубокие арифметические свойства. Например, гипотеза Аго-Джуги постулирует, что p является простым числом тогда и только тогда, когда pB _{p − 1} конгруэнтно −1 по модулю p . Свойства делимости чисел Бернулли связаны с идеальными группами классов круговых полей теоремой Куммера и ее усилением в теореме Эрбрана-Рибе , а также с числами классов вещественных квадратичных полей Анкени-Артина-Чоулы .

Куммера

Числа Бернулли связаны с Великой теоремой Ферма (FLT) : теоремой Куммера который говорит:

Если нечетное простое число p не делит ни один из числителей чисел Бернулли B ₂ , B ₄ , ..., B _{p − 3} , то x ^п + и ^п + я ^п = 0 не имеет решений в ненулевых целых числах.

Простые числа, обладающие этим свойством, называются правильными простыми числами . Другим классическим результатом Куммера являются следующие сравнения .

Основная статья: сравнение Куммера

Пусть p — нечетное простое число, а b — четное число такое, что p − 1 не делит b . Тогда для любого целого неотрицательного k

${\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.$

Обобщение этих сравнений носит название p -адической непрерывности.

p -адическая непрерывность

Если b , m и n — положительные целые числа такие, что m и n не делятся на p − 1 и m ≡ n (mod p ^{б - 1} ( p − 1)) , тогда

$(1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.$

Поскольку B _n = − nζ (1 − n ) , это также можно записать

$\left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},$

где u = 1 - m и v = 1 - n , так что u и v неположительны и не конгруэнтны 1 по модулю p - 1 . Это говорит нам о том, что дзета-функция Римана с 1 − p ^{− с} вынесенная из формулы произведения Эйлера, непрерывна в p -адических числах на нечетных отрицательных целых числах, конгруэнтных по модулю p − 1 конкретному a ≢ 1 mod ( p − 1) , и поэтому может быть расширена до непрерывной функции ζ _p ( s ) для всех p -адических целых чисел $\mathbb {Z} _{p},$ p - адическая дзета-функция .

Сравнения Рамануджана

Следующие соотношения, созданные Рамануджаном , предоставляют метод вычисления чисел Бернулли, который более эффективен, чем тот, который дается их исходным рекурсивным определением:

${\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}$

–

Основная статья: теорема фон Штаудта – Клаузена

Теорема фон Штаудта – Клаузена была сформулирована Карлом Георгом Кристианом фон Штаудтом. и Томас Клаузен независимо в 1840 году. Теорема утверждает, что для каждого n > 0

$B_{2n}+\sum _{(p-1)\,\mid \,2n}{\frac {1}{p}}$

является целым числом. Сумма распространяется на все простые числа p , для которых p − 1 делит 2 n .

Следствием этого является то, что знаменатель B _{2 n} равен произведению всех простых чисел p , для которых p − 1 делит 2 n . В частности, эти знаменатели не содержат квадратов и делятся на 6.

Почему нечетные числа Бернулли исчезают?

Сумма

$\varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}$

может быть оценен для отрицательных значений индекса n . Это покажет, что это нечетная функция для четных значений k , а это означает, что в сумме есть только члены нечетного индекса. Отсюда и из формулы суммы Бернулли следует, что B _{2 k + 1 − m} равно 0 для четного m и 2 k + 1 − m > 1 ; и что член для B ₁ отменяется вычитанием. Теорема фон Штаудта – Клаузена в сочетании с представлением Ворпицкого также дает комбинаторный ответ на этот вопрос (справедлив для n > 1).

Из теоремы фон Штаудта–Клаузена известно, что при нечетном n > 1 число 2 B _n является целым числом. Это кажется тривиальным, если заранее знать, что рассматриваемое целое число равно нулю. Однако, применяя представление Ворпицкого, получаем

$2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1{\text{ is odd}})$

как сумму целых чисел , что нетривиально. Здесь на поверхность выходит комбинаторный факт, объясняющий исчезновение чисел Бернулли при нечетном индексе. Пусть S _{n , m} — количество сюръективных отображений из {1, 2, ..., n } в {1, 2, ..., m }, тогда S _{n , m} = m ! { ^н
_м } . Последнее уравнение может выполняться только в том случае, если

$\sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2{\text{ is even}}).$

Это уравнение можно доказать по индукции. Первые два примера этого уравнения:

п = 4: 2 + 8 = 7 + 3 ,

п = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40 .

Таким образом, числа Бернулли обращаются в нуль по нечетному индексу, поскольку в числах Бернулли воплощаются некоторые неочевидные комбинаторные тождества.

гипотезы

Связь между числами Бернулли и дзета-функцией Римана достаточно сильна, чтобы обеспечить альтернативную формулировку гипотезы Римана ( RH), в которой используются только числа Бернулли. Фактически Марсель Рис доказал, что RH эквивалентно следующему утверждению:

Для каждого ε > 1/4 что ( существует константа Cε _{зависящая} > 0 от ε ) такая, | р ( Икс ) | < С _ε х ^е при Икс → ∞ .

Здесь R ( x ) — функция Рисса

$R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left({\frac {B_{2k}}{2k}}\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.$

н ^к обозначает возрастающую факториальную степень в обозначениях Д.Е. Кнута . Числа β _n = B _n / n часто встречаются при изучении дзета-функции и имеют важное значение, поскольку β _n является p -целым числом для простых чисел p , где p − 1 не делит n . β n _{разделенными числами} называются Бернулли .

Обобщенные числа Бернулли

Обобщенные числа Бернулли — это некоторые алгебраические числа , определенные аналогично числам Бернулли, которые связаны со специальными значениями L Дирихле . -функций так же, как числа Бернулли связаны со специальными значениями дзета-функции Римана

Пусть х — характер Дирихле по модулю f . Обобщенные числа Бернулли, присоединенные к χ, определяются формулой

$\sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}.$

Помимо исключительного B _1,1 = 1/2 −1 , для любого имеем характера Дирихле χ , χ = 0, B _{k если (} χ ) ≠ (−1) ^к .

Обобщая связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана для неположительных целых чисел, для всех целых чисел k ≥ 1 :

$L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}},$

где L ( s , χ ) -функция Дирихле — L от χ .

Число Эйзенштейна–Кронекера

Основная статья: число Эйзенштейна – Кронекера

Числа Эйзенштейна–Кронекера являются аналогом обобщенных чисел Бернулли для мнимых квадратичных полей . Они связаны с критическими L -значениями характеров Гекке .

Приложение

Различные личности

• Теневое исчисление дает компактную форму формулы Бернулли, используя абстрактный символ B :

  $S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}((\mathbf {B} +n)^{m+1}-B_{m+1})$

  где символ Б ^к возникающее при биномиальном разложении слагаемого в скобках, необходимо заменить числом Бернулли B _k (и B ₁ = + 1/2 ​ ) . Более наводяще и мнемонически это можно записать как определенный интеграл:

  $S_{m}(n)=\int _{0}^{n}(\mathbf {B} +x)^{m}\,dx$

  С помощью этого символа можно компактно записать многие другие тождества Бернулли, например

  $(1-2\mathbf {B} )^{m}=(2-2^{m})B_{m}$

• Пусть n неотрицательно и даже

  $\zeta (n)={\frac {(-1)^{{\frac {n}{2}}-1}B_{n}(2\pi )^{n}}{2(n!)}}$

• n - й кумулянт равномерного на распределения вероятностей интервале [−1, 0] равен Бн / н .
• Пусть н ? "=" 1 / н ! и п ≥ 1 . Тогда B _n — это следующий ( n + 1) × ( n + 1) определитель:

  ${\begin{aligned}B_{n}&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\2?&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\n?&(n-1)?&\cdots &1&0\\(n+1)?&n?&\cdots &2?&0\end{vmatrix}}\\[8pt]&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{2!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{n!}}&{\frac {1}{(n-1)!}}&\cdots &1&0\\{\frac {1}{(n+1)!}}&{\frac {1}{n!}}&\cdots &{\frac {1}{2!}}&0\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

  Таким образом, определителем является σ _n (1) , полином Стирлинга при x = 1 .
• Для четных чисел Бернулли B _{2 p} задается определителем ( p + 1) × ( p + 1) :

  $B_{2p}=-{\frac {(2p)!}{2^{2p}-2}}{\begin{vmatrix}1&0&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{3!}}&1&0&\cdots &0&0\\{\frac {1}{5!}}&{\frac {1}{3!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{(2p+1)!}}&{\frac {1}{(2p-1)!}}&{\frac {1}{(2p-3)!}}&\cdots &{\frac {1}{3!}}&0\end{vmatrix}}$

• Пусть n ≥ 1 . Тогда ( Леонард Эйлер )

  ${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}B_{n-k}+B_{n-1}=-B_{n}$

• Пусть n ≥ 1 . Затем

  $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+1}{k}}(n+k+1)B_{n+k}=0$

• Пусть n ≥ 0 . Тогда ( Леопольд Кронекер 1883)

  $B_{n}=-\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {n+1}{k}}\sum _{j=1}^{k}j^{n}$

• Пусть n ≥ 1 и m ≥ 1 . Затем

  $(-1)^{m}\sum _{r=0}^{m}{\binom {m}{r}}B_{n+r}=(-1)^{n}\sum _{s=0}^{n}{\binom {n}{s}}B_{m+s}$

• Пусть n ≥ 4 и

  $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{-1}$

  гармоники номер . Тогда (Х. Мики, 1978)

  ${\frac {n}{2}}\sum _{k=2}^{n-2}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}{\frac {B_{k}}{k}}-\sum _{k=2}^{n-2}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}=H_{n}B_{n}$

• Пусть n ≥ Юрий Матясевич основал (1997 г.)

  $(n+2)\sum _{k=2}^{n-2}B_{k}B_{n-k}-2\sum _{l=2}^{n-2}{\binom {n+2}{l}}B_{l}B_{n-l}=n(n+1)B_{n}$

• Фабера- Пандхарипанде - Загира тождество -Гесселя : для n ≥ 1

  ${\frac {n}{2}}\left(B_{n-1}(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {B_{k}(x)}{k}}{\frac {B_{n-k}(x)}{n-k}}\right)-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}(x)=H_{n-1}B_{n}(x).$

  Выбор x = 0 или x = 1 приводит к тождеству числа Бернулли в том или ином соглашении.
• Следующая формула верна при n ≥ 0, если B ₁ = B ₁ (1) = 1/2 , , но только для n ≥ 1 если B ₁ = B ₁ (0) = − 1 / 2 .

  $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{k}}{n-k+2}}={\frac {B_{n+1}}{n+1}}$

• Пусть n ≥ 0 . Затем

  $-1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(1)=2^{n}$

  и

  $-1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(0)=\delta _{n,0}$

• Отношение взаимности М. Б. Гельфанда:

  $(-1)^{m+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{m+1+j}}{m+1+j}}+(-1)^{k+1}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}{\frac {B_{k+1+j}}{k+1+j}}={\frac {k!m!}{(k+m+1)!}}$

См. также

• Полином Бернулли
• Полиномы Бернулли второго рода
• Бернулли тень
• Номер звонка
• число Эйлера
• Число Генокки
• Сравнения Куммера
• Число Поли-Бернулли
• Дзета-функция Гурвица
• суммирование Эйлера
• Полином Стирлинга
• Суммы степеней

Библиография

• Абрамовиц, М.; Стегун, И.А. (1972), «§23.1: Полиномы Бернулли и Эйлера и формула Эйлера-Маклорена», Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (9-е печатное издание), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 804–806 .
• Арфкен, Джордж (1970), Математические методы для физиков (2-е изд.), Academic Press, ISBN  978-0120598519
• Арлеттаз, Д. (1998), «Числа Бернулли: взаимосвязь между топологией и теорией групп», Math. Semesterber , 45 : 61–75, doi : 10.1007/s005910050037 , S2CID   121753654 .
• Аюб, А. (1981), «Эйлер и дзета-функция», Amer. Математика. Monthly , 74 (2): 1067–1086, doi : 10.2307/2319041 , JSTOR   2319041 .
• Конвей, Джон ; Гай, Ричард (1996), Книга чисел , Springer-Verlag .
• Дилчер, К.; Скула, Л.; Славутский, И.Ш. (1991), «Числа Бернулли. Библиография (1713–1990)» , « Документы Королевы по чистой и прикладной математике» (87), Кингстон, Онтарио .
• Дюмон, Д.; Вьенно, Г. (1980), «Комбинаторная интерпретация генерации Зейделя чисел Генокки», Ann. Дискретная математика. , Анналы дискретной математики, 6 : 77–87, doi : 10.1016/S0167-5060(08)70696-4 , ISBN  978-0-444-86048-4 .
• Энтрингер, Р.К. (1966), «Комбинаторная интерпретация чисел Эйлера и Бернулли», Nieuw. Арх. В. Вискунде , 14 : 241–6 .
• Плата, Г.; Плуфф, С. (2007), «Эффективный алгоритм вычисления чисел Бернулли», arXiv : math/0702300 .
• Грэм, Р .; Кнут, Делавэр ; Паташник, О. (1989), Конкретная математика (2-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN  0-201-55802-5
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.), Springer-Publishers, ISBN  0-387-97329-Х
• Джордан, Чарльз (1950), Исчисление конечных разностей , Нью-Йорк: Chelsea Publ. Ко . .
• Канеко, М. (2000), «Алгоритм Акиямы-Танигавы для чисел Бернулли» , Журнал целочисленных последовательностей , 12 : 29, Бибкод : 2000JIntS...3...29K .
• Кнут, DE (1993), «Иоганн Фаулхабер и суммы степеней», Mathematics of Computing , 61 (203), Американское математическое общество: 277–294, arXiv : math/9207222 , doi : 10.2307/2152953 , JSTOR   2152953
• Лучный, Питер (2007), Включение чисел Бернулли .
• Лучный, Питер (8 октября 2011 г.), "TheLostBernoulliNumbers" , OeisWiki , получено 11 мая 2019 г. .
• Проект математической генеалогии , Фарго: факультет математики, Государственный университет Северной Дакоты, дата рождения: заархивировано из оригинала 10 мая 2019 года , получено 11 мая 2019 года .
• Миллер, Джефф (23 июня 2017 г.), «Самое раннее использование символов исчисления» , «Самое раннее использование различных математических символов» , получено 11 мая 2019 г.
• Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974), «Приложение B: Числа Бернулли», Характеристические классы , Анналы математических исследований, том. 76, Издательство Принстонского университета и Издательство Токийского университета, стр. 281–287 .
• Пьетрокола, Джорджио (31 октября 2008 г.), «Исследование древнего пути: теоремы о сумме степеней последовательных целых чисел (следствие 2b)» , Maecla (на итальянском языке) , получено 8 апреля 2017 г.
• Славутский, Илья Ш. (1995), «Штаудт и арифметические свойства чисел Бернулли», Historia Scientiarum , 2 : 69–74 .
• фон Штаудт, KG Ch. (1845), «О числах Бернулля, еще один комментарий», Эрланген .
• Сунь, Чжи-Вэй (2005–2006 гг.), Некоторые любопытные результаты о полиномах Бернулли и Эйлера , заархивировано из оригинала 31 октября 2001 г.
• Вун, SC (1998), «Обобщение связи между дзета-функцией Римана и числами Бернулли», arXiv : math.NT/9812143 .
• Ворпицкий, Дж. (1883), «Исследования чисел Бернулля и Эйлера» , Журнал чистой и прикладной математики , 94 : 203–232 .

Внешние ссылки

• «Числа Бернулли» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Первые 498 чисел Бернулли из проекта Гутенберг
• Мультимодульный алгоритм вычисления чисел Бернулли
• Страница чисел Бернулли
• Числовые программы Бернулли в LiteratePrograms
• П. Лущный, Вычисление неправильных простых чисел
• П. Лущный, Вычисление и асимптотика чисел Бернулли
• Готфрид Хелмс, Числа Бернуллина в контексте (биномиальной) матрицы Паскаля (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Готфрид Хелмс, суммирование одинаковых степеней в контексте с матрицей Паскаля/Бернулли (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Готфрид Хелмс, Некоторые особые свойства, суммы чисел Бернулли и связанных с ними чисел (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 09 октября 2022 г.