Общность алгебры

В истории математики общность алгебры была фразой, использованной Огюстеном-Луи Коши для описания метода аргументации, который использовался в 18 веке такими математиками, как Леонард Эйлер и Жозеф-Луи Лагранж . особенно при манипулировании бесконечными сериями . По словам Кетсера, принцип общности алгебры, грубо говоря, предполагал, что алгебраические правила, применимые к определенному классу выражений, могут быть расширены для более общего применения к более широкому классу объектов, даже если эти правила больше не являются очевидными. Как следствие, математики 18-го века считали, что они могут получить значимые результаты, применяя обычные правила алгебры и исчисления , которые справедливы для конечных расширений, даже когда манипулируют бесконечными расширениями.

В таких работах, как «Кур д'Анализ» , Коши отвергал использование методов «общности алгебры» и искал более строгую основу для математического анализа .

Пример

Пример это вывод Эйлера ряда

${\frac {\pi -x}{2}}=\sin x+{\frac {1}{2}}\sin 2x+{\frac {1}{3}}\sin 3x+\cdots$ ( 1 )

для $0<x<\pi$. Он впервые оценил тождество

${\frac {1-r\cos x}{1-2r\cos x+r^{2}}}=1+r\cos x+r^{2}\cos 2x+r^{3}\cos 3x+\cdots$ ( 2 )

в $r=1$ чтобы получить

$0={\frac {1}{2}}+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots .$ ( 3 )

Бесконечный ряд в правой части ( 3 ) расходится при всех действительных $x$. Но, тем не менее, интегрирование этого почленного значения дает ( 1 ), тождество, истинность которого известна из анализа Фурье .

См. также

• Принцип постоянства
• Принцип передачи