История математики

Доказательство из ( » Евклида « Начал ок . 300 г. до н. э. ), широко считающегося самым влиятельным учебником всех времен.

История математики посвящена происхождению открытий в математике , а также математических методов и обозначений прошлого . До наступления современной эпохи и распространения знаний по всему миру письменные примеры новых математических разработок появлялись лишь в нескольких регионах. С 3000 г. до н.э. месопотамские государства Шумер , Аккад и Ассирия , а затем Древний Египет и левантийское государство Эбла начали использовать арифметику , алгебру и геометрию для целей налогообложения , коммерции , торговли, а также в закономерностях в природе , в области астрономии , а также для записи времени и составления календарей .

Самые ранние доступные математические тексты находятся в Месопотамии и Египте – Плимптон 322 ( Вавилон ок. 2000 – 1900 до н.э.). ( Математический папирус Ринда египтянин , около 1800 г. до н.э.) и Московский математический папирус (Египет, ок. 1890 г. до н. э.). Во всех этих текстах упоминаются так называемые тройки Пифагора , поэтому, как следствие, теорема Пифагора кажется наиболее древней и широко распространенной математической разработкой после основ арифметики и геометрии.

Изучение математики как «показательной дисциплины» началось в VI веке до нашей эры пифагорейцами , которые ввели термин «математика» от древнегреческого μάθημα ( матема ) , что означает «предмет обучения». Греческая математика значительно усовершенствовала методы (особенно за счет введения дедуктивных рассуждений и математической строгости в доказательствах ) и расширила предмет математики. Хотя они практически не внесли никакого вклада в теоретическую математику , древние римляне использовали прикладную математику в геодезии , строительном проектировании , машиностроении , бухгалтерском учете , создании лунных и солнечных календарей и даже в декоративно-прикладном искусстве . Китайская математика внесла ранний вклад, включая систему разрядов и первое использование отрицательных чисел . Индо -арабская система счисления и правила использования ее операций, используемые сегодня во всем мире, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы в западный мир через исламскую математику через работы Мухаммада ибн Мусы. аль-Хорезми . Исламская математика, в свою очередь, развила и расширила математику, известную этим цивилизациям. Одновременно с этими традициями, но независимо от них, была математика, разработанная цивилизацией майя в Мексике и Центральной Америке , где понятие нуля получило стандартный символ в виде цифр майя .

Многие греческие и арабские тексты по математике были переведены на латынь, начиная с XII века, что привело к дальнейшему развитию математики в средневековой Европе . С древних времен до средневековья периоды математических открытий часто сменялись столетиями застоя. Начиная с эпохи Возрождения в Италии в 15 веке, новые математические разработки, взаимодействующие с новыми научными открытиями, происходили с возрастающей скоростью , которая продолжается и по сей день. Сюда входит новаторская работа Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница по развитию исчисления бесконечно малых в течение 17 века.

Таблица цифр

Европейский (происходит от западноарабского)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
арабско-индийский	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
Восточно-арабско-индийский (персидский и урду)	۰	۱	۲	۳	۴	۵	۶	۷	۸	۹
Деванагари (хинди)	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Бенгальский	০	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯
Китайский – Японский	ноль	один	два	три	Четыре	пять	шесть	Семь	восемь	Девять
тамильский		௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯

Доисторический

Истоки математической мысли лежат в понятиях числа , закономерностей в природе , величины и формы . Современные исследования когнитивных способностей животных показали, что эти концепции присущи не только человеку. Подобные концепции были частью повседневной жизни в обществах охотников-собирателей . Идея о том, что концепция «числа» развивается постепенно с течением времени, подтверждается существованием языков, которые сохраняют различие между «один», «два» и «многие», но не между числами, большими двух.

Кость Ишанго , найденная недалеко от истоков реки Нил (северо-восток Конго ), может иметь возраст более 20 000 лет и состоит из серии отметин, вырезанных в виде трех колонн, идущих по всей длине кости. Распространенные интерпретации заключаются в том, что кость Ишанго представляет собой результат самой ранней известной демонстрации последовательностей простых чисел. или шестимесячный лунный календарь. Питер Рудман утверждает, что развитие концепции простых чисел могло произойти только после концепции деления, которую он датирует после 10 000 г. до н.э., при этом простые числа, вероятно, не были поняты примерно до 500 г. до н.э. Он также пишет, что «не было предпринято никаких попыток объяснить, почему подсчет чего-либо должен быть кратен двум, простым числам от 10 до 20 и некоторым числам, почти кратным 10». Кость Ишанго, по мнению ученого Александра Маршака , возможно, повлияла на более позднее развитие математики в Египте, поскольку, как и некоторые записи о кости Ишанго, египетская арифметика также использовала умножение на 2; однако это оспаривается.

Додинастические египтяне V тысячелетия до нашей эры графически представляли геометрические узоры. Утверждалось, что мегалитические памятники в Англии и Шотландии , датируемые 3-м тысячелетием до нашей эры, включают геометрические идеи, такие как круги , эллипсы и пифагорейские тройки . в свой дизайн Однако все вышеперечисленное оспаривается, и самые старые на данный момент неоспоримые математические документы взяты из вавилонских и династических египетских источников.

Вавилонский

Основная статья: вавилонская математика

См. Также: Плимптон 322.

Вавилонская математика относится к любой математике народов Месопотамии (современный Ирак ) со времен ранних шумеров через эллинистический период почти до зари христианства . Большая часть вавилонских математических работ относится к двум сильно разделенным периодам: первым нескольким сотням лет второго тысячелетия до нашей эры (период Старого Вавилона) и последним нескольким столетиям первого тысячелетия до нашей эры ( период Селевкидов ). Она названа вавилонской математикой из-за центральной роли Вавилона как места обучения. Позже под властью Арабской империи Месопотамия, особенно Багдад , снова стала важным центром изучения исламской математики .

Задача по геометрии на глиняной табличке, принадлежащей школе писцов; Сузы , первая половина II тысячелетия до н.э.

В отличие от скудности источников по египетской математике , знания по вавилонской математике основаны на более чем 400 глиняных табличках, раскопанных с 1850-х годов. Таблички, написанные клинописью , наносились на влажную глину и обжигались в печи или под воздействием солнечного тепла. Некоторые из них выглядят как домашнее задание.

Самые ранние свидетельства письменной математики относятся к древним шумерам , которые построили самую раннюю цивилизацию в Месопотамии. Они разработали сложную систему метрологии с 3000 г. до н.э., которая в основном касалась административного/финансового подсчета, например, наделов зерна, рабочих, весов серебра или даже жидкостей и прочего. Примерно с 2500 г. до н. э. шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках, решали геометрические упражнения и задачи на деление . К этому же периоду относятся и самые ранние следы вавилонских цифр.

Вавилонская математическая табличка Plimpton 322 , датированная 1800 годом до нашей эры.

Вавилонская математика была написана с использованием шестидесятеричной (с основанием 60) системы счисления . Отсюда происходит современное использование 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и 360 (60 × 6) градусов в круге, а также использование секунд и угловых минут для обозначения долей градуса. . Считается, что шестидесятеричная система изначально использовалась шумерскими писцами, поскольку 60 можно разделить поровну на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30. а для писцов (выдающих вышеупомянутые наделы зерна, записывающих вес серебра и т. д.) была необходима возможность легко производить вычисления вручную, и поэтому шестидесятеричную систему прагматически легче вычислять вручную; однако существует вероятность того, что использование шестидесятеричной системы было этнолингвистическим явлением (о котором, возможно, никогда не станет известно), а не математическим/практическим решением. Кроме того, в отличие от египтян, греков и римлян, вавилоняне имели систему разрядов, где цифры, записанные в левом столбце, представляли большие значения, как и в десятичной системе. Сила вавилонской системы обозначений заключалась в том, что ее можно было использовать для обозначения дробей так же легко, как и целых чисел; таким образом, умножение двух чисел, содержащих дроби, ничем не отличалось от умножения целых чисел, аналогично современным обозначениям. Система обозначений вавилонян была лучшей из всех цивилизаций до эпохи Возрождения , и ее мощь позволяла ей достигать поразительной точности вычислений; например, вавилонская табличка YBC 7289 дает приближение √ 2 с точностью до пяти десятичных знаков. Однако у вавилонян не было эквивалента десятичной точки, и поэтому позиционное значение символа часто приходилось выводить из контекста. К периоду Селевкидов вавилоняне разработали нулевой символ в качестве заполнителя для пустых позиций; однако он использовался только для промежуточных позиций. Этот нулевой знак не появляется в терминальных позициях, таким образом, вавилоняне подошли близко к этому, но не разработали настоящую систему оценки мест.

Другие темы, охватываемые вавилонской математикой, включают дроби, алгебру, квадратные и кубические уравнения, а также вычисление регулярных чисел и их обратных пар . Таблички также включают таблицы умножения и методы решения линейных , квадратных и кубических уравнений , что является выдающимся достижением для того времени. Таблички древневавилонского периода также содержат самое раннее известное утверждение теоремы Пифагора . Однако, как и в случае с египетской математикой, вавилонская математика не демонстрирует ни осознания разницы между точными и приближенными решениями, ни разрешимости задачи, а главное, явного заявления о необходимости доказательств или логических принципов.

Египетский

Основная статья: египетская математика

Изображение задачи 14 из Московского математического папируса . В задачу входит схема с указанием размеров усеченной пирамиды.

Египетская математика относится к математике, написанной на египетском языке . С периода эллинистического греческий заменил египетский в качестве письменного языка египетских ученых. Математические исследования в Египте позже продолжились в рамках Арабской империи как часть исламской математики , когда арабский язык стал письменным языком египетских ученых. Археологические данные свидетельствуют о том, что древнеегипетская система счета возникла в Африке к югу от Сахары. Кроме того, конструкции фрактальной геометрии, широко распространенные среди культур Африки к югу от Сахары, также встречаются в египетской архитектуре и космологических знаках.

Самый обширный египетский математический текст - это папирус Ринда (иногда его также называют папирусом Ахмеса по имени его автора), датированный ок. 1650 г. до н.э., но, вероятно, это копия более старого документа из Среднего царства примерно 2000–1800 гг. до н.э. Это учебное пособие для учащихся по арифметике и геометрии. Помимо формул площади и методов умножения, деления и работы с единичными дробями, он также содержит свидетельства других математических знаний. включая составные и простые числа ; арифметические , геометрические и гармонические средства ; и упрощенное понимание как Решета Эратосфена , так и теории совершенных чисел (а именно, теории числа 6). Также показано, как решать линейные уравнения первого порядка. а также арифметические и геометрические ряды .

Другой важный египетский математический текст — Московский папирус , также периода Среднего царства , датированный ок. 1890 г. до н.э. Он состоит из того, что сегодня называют задачами на слова или задачами на рассказы , которые, очевидно, были задуманы как развлечение. Одна задача считается особенно важной, поскольку она дает метод нахождения объема усеченной пирамиды .

Наконец, Берлинский папирус 6619 второго порядка (ок. 1800 г. до н. э.) показывает, что древние египтяне могли решать алгебраические уравнения .

греческий

Основная статья: греческая математика

Теорема Пифагора . Пифагорейцам обычно приписывают первое доказательство теоремы.

Греческая математика относится к математике, написанной на греческом языке со времен Фалеса Милетского (~ 600 г. до н.э.) до закрытия Афинской академии в 529 году нашей эры. Греческие математики жили в городах, разбросанных по всему Восточному Средиземноморью, от Италии до Северной Африки, но были объединены культурой и языком. Греческую математику периода после Александра Великого иногда называют эллинистической математикой.

Греческая математика была гораздо более сложной, чем математика, разработанная в более ранних культурах. Все сохранившиеся записи догреческой математики показывают использование индуктивного рассуждения , то есть повторных наблюдений, используемых для установления эмпирических правил. Греческие математики, напротив, использовали дедуктивные рассуждения . Греки использовали логику для вывода выводов из определений и аксиом и использовали математическую строгость для их доказательства.

Считается, что греческая математика началась с Фалеса Милетского (ок. 624–546 до н. э.) и Пифагора Самосского (ок. 582–507 до н. э.). Хотя степень влияния оспаривается, они, вероятно, были вдохновлены египетской и вавилонской математикой . Согласно легенде, Пифагор отправился в Египет, чтобы изучать математику, геометрию и астрономию у египетских жрецов.

Фалес использовал геометрию для решения таких задач, как расчет высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Ему приписывают первое использование дедуктивного рассуждения в применении к геометрии, выведя четыре следствия из теоремы Фалеса . В результате его провозгласили первым настоящим математиком и первым известным человеком, которому приписали математическое открытие. Пифагор основал Пифагорейскую школу , доктрина которой заключалась в том, что математика управляет вселенной, и чьим девизом было «Все есть число». Именно пифагорейцы придумали термин «математика» и с них начинается изучение математики как таковой. Пифагорейцам приписывают первое доказательство теоремы Пифагора . хотя формулировка теоремы имеет давнюю историю и связана с доказательством существования иррациональных чисел . Хотя ему предшествовали вавилоняне , индийцы и китайцы , математик неопифагорейец - Никомах (60–120 гг. н.э.) предоставил одну из самых ранних греко-римских таблиц умножения , тогда как самая старая из сохранившихся греческих таблиц умножения находится на восковой табличке, датированной I веком нашей эры (ныне находится в Британском музее ). Связь неопифагорейцев с западным изобретением таблицы умножения очевидна в ее более позднем средневековом названии: mensa Pythagorica .

Платон (428/427 г. до н. э. – 348/347 г. до н. э.) сыграл важную роль в истории математики, вдохновляя и направляя других. Его Платоновская Академия в Афинах стала математическим центром мира в 4 веке до н. э., и именно из этой школы вышли ведущие математики того времени, такие как Евдокс Книдский (ок. 390 – ок. 340 до н. э.), пришел. Платон также обсуждал основы математики. уточнил некоторые определения (например, определение линии как «длины без ширины») и реорганизовал предположения. Платону приписывают аналитический метод , а его имя носит формула получения пифагорейских троек.

Евдокс разработал метод истощения , предшественник современной интеграции. и теория отношений, которая позволила избежать проблемы несоизмеримых величин . Первые позволяли рассчитывать площади и объемы криволинейных фигур, в то время как последний позволил последующим геометрам добиться значительных успехов в геометрии. ) не сделал конкретных технических математических открытий, Хотя Аристотель (384–322 до н.э. он внес значительный вклад в развитие математики, заложив основы логики .

Евклида Один из старейших сохранившихся фрагментов «Начал» , найденный в Оксиринхе и датированный примерно 100 годом нашей эры. Схема сопровождает Книгу II, Предложение 5.

В III веке до нашей эры главным центром математического образования и исследований музей Александрийский был . Именно там Евклид ( ок. 300 г. до н. э. ) преподавал и написал « Начала» , которые широко считаются самым успешным и влиятельным учебником всех времен. «Элементы » привнесли математическую строгость посредством аксиоматического метода и являются самым ранним примером формата, который до сих пор используется в математике: определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Хотя большая часть содержания « Элементов» уже была известна, Евклид организовал их в единую последовательную логическую структуру. «Элементы » были известны всем образованным людям на Западе вплоть до середины 20-го века, и их содержание до сих пор преподается на уроках геометрии. Помимо известных теорем евклидовой геометрии , « Начала» задумывались как вводный учебник ко всем математическим предметам того времени, таким как теория чисел , алгебра и твердотельная геометрия . включая доказательства того, что квадратный корень из двух иррационален и что существует бесконечно много простых чисел. Евклид также много писал по другим предметам, таким как конические сечения , оптика , сферическая геометрия и механика, но сохранилась только половина его сочинений.

Архимед использовал метод истощения , чтобы аппроксимировать значение числа Пи .

Архимед ( ок. 287–212 до н.э.) из Сиракуз , широко считавшийся величайшим математиком древности, использовал метод истощения для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда , способом, не слишком отличающимся от современного исчисления. Он также показал, что можно использовать метод исчерпывания для расчета значения π с желаемой точностью, и получил наиболее точное известное на тот момент значение π — 3+. 10/71 < 3+ < π 10 / 70 . Он также изучил спираль , носящую его имя, получил формулы объемов поверхностей вращения ( параболоида, эллипсоида, гиперболоида), и гениальный метод возведения в степень для выражения очень больших чисел. Хотя он также известен своим вкладом в физику и созданием нескольких передовых механических устройств, сам Архимед придавал гораздо большее значение продуктам своей мысли и общим математическим принципам. Своим величайшим достижением он считал определение площади поверхности и объема сферы, которое он получил, доказав, что они составляют 2/3 площади поверхности и объема цилиндра, описывающего сферу.

Аполлоний Пергский добился значительных успехов в изучении конических сечений .

Аполлоний Пергский ( ок. 262–190 до н.э.) добился значительных успехов в изучении конических сечений , показав, что можно получить все три разновидности конического сечения, изменяя угол плоскости, разрезающей конус с двойным ворсом. Он также ввел терминологию, используемую сегодня для конических сечений, а именно параболу («место рядом» или «сравнение»), «эллипс» («недостаток») и «гиперболу» («выход за пределы»). Его работа «Коника» — одна из самых известных и сохранившихся математических работ античности, и в ней он выводит множество теорем, касающихся конических сечений, которые окажутся неоценимыми для более поздних математиков и астрономов, изучающих движение планет, таких как Исаак Ньютон. Хотя ни Аполлоний, ни какие-либо другие греческие математики не сделали шага к координации геометрии, трактовка кривых Аполлонием в некотором смысле похожа на современную трактовку, и некоторые из его работ, кажется, предвосхищают развитие аналитической геометрии Декартом примерно 1800 лет спустя.

Примерно в то же время Эратосфен Киренский ( ок. 276–194 до н. э.) изобрел « Решето Эратосфена» для нахождения простых чисел . Третий век до нашей эры обычно считается «золотым веком» греческой математики, при этом достижения чистой математики с тех пор находятся в относительном упадке. Тем не менее, в последующие столетия были достигнуты значительные успехи в прикладной математике, особенно в тригонометрии , в основном для удовлетворения потребностей астрономов. Гиппарх Никейский ( ок. 190–120 до н.э.) считается основоположником тригонометрии за составление первой известной тригонометрической таблицы, ему же принадлежит и систематическое использование круга в 360 градусов. Герону Александрийскому ( ок. 10–70 гг. н.э.) приписывают формулу Герона для определения площади разностороннего треугольника и то, что он первым признал возможность отрицательных чисел иметь квадратные корни. Менелай Александрийский ( ок. 100 г. н.э. ) первым ввел сферическую тригонометрию посредством теоремы Менелая . Наиболее полным и влиятельным тригонометрическим трудом древности является « Альмагест Птолемея » ( ок. 90–168 гг. н.э. ), знаковый астрономический трактат, тригонометрические таблицы которого будут использоваться астрономами в течение следующей тысячи лет. Птолемею также приписывают теорему Птолемея для получения тригонометрических величин и самое точное значение π за пределами Китая до средневекового периода - 3,1416.

Титульный лист издания 1621 года « Арифметики переведенного на латынь Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком. » Диофанта ,

После периода застоя после Птолемея период между 250 и 350 годами нашей эры иногда называют «Серебряным веком» греческой математики. В этот период Диофант добился значительных успехов в алгебре, особенно в неопределенном анализе , который также известен как «диофантов анализ». Изучение диофантовых уравнений и диофантовых приближений по сей день является важной областью исследований. Его основной работой была « Арифметика» , сборник из 150 алгебраических задач, касающихся точных решений определенных и неопределенных уравнений . « Арифметика» оказала значительное влияние на более поздних математиков, таких как Пьер де Ферма , который пришел к своей знаменитой «Великой теореме» после попытки обобщить проблему, которую он прочитал в « Арифметике» (проблему деления квадрата на два квадрата). Диофант также добился значительных успехов в обозначениях: «Арифметика» стала первым примером алгебраической символики и синкопы.

Собор Святой Софии был спроектирован математиками Антемием Траллесским и Исидором Милетским .

Среди последних великих греческих математиков — Папп Александрийский (4 век нашей эры). Он известен своей теоремой о шестиугольнике и теоремой о центроиде , а также конфигурацией Паппуса и графом Паппуса . Его Коллекция является основным источником знаний по греческой математике, поскольку большая часть ее сохранилась. Папп считается последним крупным новатором в греческой математике, его последующие работы состоят в основном из комментариев к более ранним работам.

Первой женщиной-математиком, зафиксированной в истории, была Гипатия Александрийская (350–415 гг. н.э.). Она сменила своего отца ( Теона Александрийского ) на посту библиотекаря Великой библиотеки. и написал много работ по прикладной математике. Из-за политического спора христианская община Александрии публично раздела ее и казнила. Ее смерть иногда воспринимается как конец эпохи александрийской греческой математики, хотя работа продолжалась в Афинах еще столетие с такими фигурами, как Прокл , Симплиций и Евтоций . Хотя Прокл и Симплиций были скорее философами, чем математиками, их комментарии к более ранним работам являются ценными источниками по греческой математике. неоплатонической Закрытие Афинской академии императором Юстинианом в 529 году нашей эры традиционно считается концом эпохи греческой математики, хотя греческая традиция продолжалась непрерывно в Византийской империи благодаря таким математикам, как Антемий Траллесский и Исидор. из Милета , архитекторы собора Святой Софии . Тем не менее, византийская математика состояла в основном из комментариев, в которых было мало инноваций, а центры математических инноваций к этому времени можно было найти в других местах.

Роман

Дополнительная информация: римские счеты и римские цифры.

использованное древнеримским землемером Оборудование , ( gromatici ), найденное на месте Аквинкума , современный Будапешт , Венгрия.

Хотя этнические греческие математики продолжали находиться под властью поздней Римской республики и последующей Римской империи , в сравнении с ними не было примечательных местных латинских математиков. Древние римляне , такие как Цицерон (106–43 до н.э.), влиятельный римский государственный деятель, изучавший математику в Греции, считали, что римские геодезисты и калькуляторы гораздо больше интересовались прикладной математикой, чем теоретической математикой и геометрией, которые ценились греками. Неясно, вывели ли римляне свою систему счисления непосредственно из греческого прецедента или из этрусских цифр, используемых этрусской цивилизацией, сосредоточенной на территории нынешней Тосканы , центральной Италии .

Используя расчеты, римляне умели как подстрекать, так и обнаруживать финансовые махинации , а также управлять налогами в казну . Сицилий Флакк , один из римских gromatici (то есть землемеров), написал « Категории полей» , которые помогали римским геодезистам измерять площади выделенных земель и территорий. Помимо управления торговлей и налогами, римляне также регулярно применяли математику для решения инженерных задач , включая возведение архитектурных сооружений, таких как мосты , строительство дорог и подготовку к военным кампаниям . Искусства и ремесла , такие как римская мозаика , вдохновленные предыдущими греческими дизайнами , создавали иллюзионистские геометрические узоры и богатые, детализированные сцены, которые требовали точных измерений для каждой плитки тессеры , кусочки opus tessellatum в среднем имели площадь восемь квадратных миллиметров, а более тонкие кусочки opus vermiculatum имели средняя поверхность четыре квадратных миллиметра.

Создание римского календаря также потребовало элементарной математики. Первый календарь предположительно датируется 8 веком до нашей эры во времена Римского королевства и включал 356 дней плюс високосный год через год. Напротив, лунный календарь республиканской эпохи содержал 355 дней, что примерно на десять и одну четвертую дней короче солнечного года , и это несоответствие было решено путем добавления в календарь дополнительного месяца после 23 февраля. Этот календарь был вытеснен юлианским календарем , солнечным календарем, организованным Юлием Цезарем (100–44 гг. до н. э.) и разработанным Сосигеном Александрийским, чтобы включать високосный день каждые четыре года в 365-дневный цикл. Этот календарь, который содержал ошибку в 11 минут и 14 секунд, позже был исправлен григорианским календарем, организованным Папой Григорием XIII ( годы правления 1572–1585 ), практически тем же солнечным календарем, который используется в наше время в качестве международного стандартного календаря.

Примерно в одно и то же время ханьцы и римляне изобрели колесный одометр для измерения пройденного расстояния , римскую модель, впервые описанную римским инженером-строителем и архитектором Витрувием ( ок. 80 г. до н. э. – ок. 15 г. до н. э .). Устройство использовалось, по крайней мере, до правления императора Коммода ( годы правления 177–192 гг. н. э. ), но его конструкция, похоже, была утеряна до тех пор, пока в 15 веке в Западной Европе не были проведены эксперименты. Возможно, опираясь на аналогичные механизмы и технологии, используемые в механизме Антикитеры , одометр Витрувия имел колеса колесницы диаметром 4 фута (1,2 м), поворачивающиеся четыреста раз за одну римскую милю (примерно 4590 футов/1400 м). При каждом обороте штифтовое устройство задействовало зубчатое колесо с 400 зубьями , которое включало вторую шестерню, ответственную за сбрасывание камешков в коробку, причем каждый камешек представлял собой пройденную милю.

китайский

Основная статья: китайская математика

Дополнительная информация: Книга по числам и вычислениям.

Смотрите также: История науки § Китайская математика

, Бамбуковые пластинки Цинхуа содержащие самую раннюю в мире десятичную таблицу умножения, датированную 305 г. до н. э., в Воюющих царств. период

Анализ ранней китайской математики продемонстрировал ее уникальное развитие по сравнению с другими частями мира, что побудило ученых предположить совершенно независимое развитие. Самый старый из сохранившихся математических текстов из Китая - это « Чжоуби Суаньцзин» (周髀算經), датированный по разным причинам между 1200 г. до н.э. и 100 г. до н.э., хотя дата около 300 г. до н.э. в период Воюющих царств кажется разумной. Однако « Бамбуковые листочки Цинхуа» , содержащие самую раннюю из известных десятичных таблиц умножения (хотя у древних вавилонян были таблицы с основанием 60), датируются примерно 305 годом до нашей эры и, возможно, являются старейшим из сохранившихся математических текстов Китая.

Счет стержневых цифр

Особо следует отметить использование в китайской математике десятичной позиционной системы записи, так называемых «стержневых цифр», в которых для чисел от 1 до 10 использовались отдельные шифры, а для степеней десяти — дополнительные шифры. Таким образом, число 123 будет записано с использованием символа «1», за которым следует символ «100», затем символ «2», за которым следует символ «10», а затем символ «3». В то время это была самая совершенная система счисления в мире, очевидно, использовавшаяся за несколько столетий до нашей эры и задолго до появления индийской системы счисления. Стержневые цифры позволяли представлять числа сколь угодно большого размера и позволяли выполнять вычисления на суань-пане , или китайских счетах. Дата изобретения суань -пана не точна, но самое раннее письменное упоминание датируется 190 годом нашей эры в « Дополнительных заметках Сюй Юэ по искусству фигур ».

Самая старая из сохранившихся работ по геометрии в Китае взята из философского мохистского канона ок. 330 г. до н. э. , составлено последователями Мози (470–390 до н. э.). Мо Цзин описал различные аспекты многих областей, связанных с физической наукой, а также предоставил небольшое количество геометрических теорем. Он также определил понятия окружности , диаметра , радиуса и объема .

«Девять глав математического искусства» , один из самых ранних сохранившихся математических текстов из Китая (2 век нашей эры).

В 212 г. до н.э. император Цинь Шихуан приказал сжечь все книги в Империи Цинь, кроме официально разрешенных. Этот указ не соблюдался повсеместно, но как следствие этого приказа до этой даты о древней китайской математике мало что известно. После сожжения книг в 212 г. до н.э. династия Хань (202 г. до н.э. – 220 г. н.э.) создала математические работы, которые, предположительно, расширили работы, которые сейчас утеряны. Наиболее важным из них являются «Девять глав о математическом искусстве» , полное название которых появилось к 179 году нашей эры, но ранее частично существовало под другими названиями. Он состоит из 246 текстовых задач, касающихся сельского хозяйства, бизнеса, использования геометрии для определения пролетов высот и соотношений размеров башен китайских пагод , инженерного дела, геодезии , а также включает материалы по прямоугольным треугольникам . Он создал математическое доказательство теоремы Пифагора . и математическая формула исключения Гаусса . В трактате также приводятся значения π , которое китайские математики первоначально приближали к 3, пока Лю Синь (ум. 23 г. н. э.) не предоставил цифру 3,1457, а впоследствии Чжан Хэн (78–139) приблизил число Пи как 3,1724, а также 3,162, извлекая квадратный корень из 10. Лю Хуэй прокомментировал Девять глав в III веке нашей эры и дал значение π с точностью до 5 десятичных знаков (т.е. 3,14159). Хотя это больше вопрос вычислительной выносливости, чем теоретического понимания, в V веке нашей эры Цзу Чунчжи вычислил значение π с точностью до семи десятичных знаков (между 3,1415926 и 3,1415927), что оставалось наиболее точным значением π в течение почти следующих 1000 лет. Он также разработал метод, который позже будет назван принципом Кавальери для определения объема сферы .

Пик китайской математики пришелся на XIII век, во второй половине правления династии Сун (960–1279), с развитием китайской алгебры. Наиболее важным текстом того периода является « Драгоценное зеркало четырех элементов» Чжу Шицзе (1249–1314), посвященное решению одновременных алгебраических уравнений высшего порядка с использованием метода, аналогичного методу Горнера . « Драгоценное зеркало» также содержит диаграмму треугольника Паскаля с коэффициентами биномиального разложения в восьмой степени, хотя оба они появляются в китайских работах еще в 1100 году. Китайцы также использовали сложную комбинаторную диаграмму, известную как магический квадрат и магические круги , описанную в древние времена и усовершенствованную Ян Хуэем (1238–1298 гг. н.э.).

Даже после того, как европейская математика начала процветать в эпоху Возрождения , европейская и китайская математика оставались отдельными традициями, при этом значительная китайская математическая продукция пришла в упадок, начиная с 13 века. Миссионеры -иезуиты , такие как Маттео Риччи, переносили математические идеи между двумя культурами с 16 по 18 века, хотя в этот момент в Китай входило гораздо больше математических идей, чем уезжало.

Японская математика , корейская математика и вьетнамская математика традиционно рассматриваются как происходящие от китайской математики и принадлежащие конфуцианской культурной восточноазиатской сфере . Корейская и японская математика находилась под сильным влиянием алгебраических работ, созданных во времена китайской династии Сун, тогда как вьетнамская математика во многом обязана популярным работам китайской династии Мин (1368–1644). Например, хотя вьетнамские математические трактаты были написаны либо китайским , либо местным вьетнамским письмом Чу Ном , все они следовали китайскому формату представления набора задач с алгоритмами их решения, за которыми следовали числовые ответы. Математика во Вьетнаме и Корее в основном ассоциировалась с профессиональной судебной бюрократией математиков и астрономов , тогда как в Японии она была более распространена в сфере частных школ .

Индийский

Основная статья: индийская математика

Дополнительная информация: История науки § Индийская математика.

Смотрите также: История индуистско-арабской системы счисления

Цифры, использованные в рукописи Бахшали , датируются II веком до нашей эры и II веком нашей эры.

Индийские цифры в каменных и медных надписях

Древние цифры Брахми в части Индии

Самая ранняя цивилизация на Индийском субконтиненте — это цивилизация долины Инда (вторая фаза зрелости: 2600–1900 гг. до н.э.), которая процветала в бассейне реки Инд . Их города были расположены с геометрической регулярностью, но никаких известных математических документов этой цивилизации не сохранилось.

Самыми старыми сохранившимися математическими записями из Индии являются Сульба-сутры (датированные по-разному между 8 веком до нашей эры и 2 веком нашей эры). приложения к религиозным текстам, в которых даны простые правила построения алтарей различной формы: квадратов, прямоугольников, параллелограммов и др. Как и в случае с Египтом, озабоченность храмовыми функциями указывает на происхождение математики из религиозного ритуала. Сутры Сульба дают методы построения круга примерно той же площади, что и заданный квадрат , которые подразумевают несколько различных приближений значения π. Кроме того, они вычисляют квадратный корень из 2 с точностью до нескольких десятичных знаков, перечисляют тройки Пифагора и приводят формулировку теоремы Пифагора . Все эти результаты присутствуют в вавилонской математике, что указывает на влияние Месопотамии. Неизвестно, в какой степени Сульба-сутры повлияли на более поздних индийских математиков. Как и в Китае, в индийской математике отсутствует преемственность; значительные успехи разделяются длительными периодами бездействия.

Панини (ок. V в. до н. э.) сформулировал правила санскритской грамматики . Его обозначения были похожи на современные математические обозначения и использовали метаправила, преобразования и рекурсию . Пингала (примерно III–I вв. до н.э.) в своем трактате о просодии использует прием, соответствующий двоичной системе счисления . Его обсуждение комбинаторики метров соответствует биномиальной элементарной версии теоремы . Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи (называемых матрамеру ).

Следующими значительными математическими документами из Индии после Сульба-сутр являются Сиддханты , астрономические трактаты IV и V веков нашей эры ( период Гуптов ), демонстрирующие сильное эллинистическое влияние. Они важны тем, что содержат первый пример тригонометрических отношений, основанных на полухорде, как в современной тригонометрии, а не на полной хорде, как это было в тригонометрии Птолемея. Из-за ряда ошибок перевода слова «синус» и «косинус» произошли от санскритских «джия» и «кодзия».

Объяснение правила синуса в Юктибхаше

Около 500 г. н.э. Арьябхата написал « Арьябхатию» , небольшой томик, написанный стихами и призванный дополнить правила вычислений, используемые в астрономии и математических измерениях, хотя и без чувства логики или дедуктивной методологии. Именно в « Арьябхатии» впервые появляется десятичная разрядная система. Несколько столетий спустя мусульманский математик Абу Райхан Бируни описал Арьябхатию как «смесь обычных камешков и дорогих кристаллов».

В VII веке Брахмагупта определил теорему Брахмагупты , тождество Брахмагупты и формулу Брахмагупты , и впервые в «Брахма-спхута-сиддханте » он доходчиво объяснил использование нуля как заполнителя и десятичной цифры , а также объяснил индуистскую Арабская система счисления . Именно из перевода этого индийского текста по математике (ок. 770 г.) исламские математики познакомились с этой системой счисления, которую они адаптировали как арабские цифры . Исламские ученые принесли знания об этой системе счисления в Европу к XII веку, и теперь она вытеснила все старые системы счисления во всем мире. Для представления чисел в индуистско-арабской системе счисления используются различные наборы символов, все из которых произошли от цифр Брахми . Каждое из примерно дюжины основных письменностей Индии имеет свои собственные цифровые символы. В X веке работе комментарий Халаюдхи к Пингалы содержит исследование последовательности Фибоначчи и треугольника Паскаля , а также описывает формирование матрицы .

В XII веке Бхаскара II живший на юге Индии, много писал по всем известным тогда разделам математики. Его работа содержит математические объекты, эквивалентные или приблизительно эквивалентные бесконечно малым, теорему о среднем значении и производную функции синуса, хотя он не разработал понятие производной. В 14 веке Нараяна Пандит завершил свою Ганиту Каумуди .

Также в 14 веке Мадхава Сангамаграма , основатель Керальской школы математики , нашел ряд Мадхавы-Лейбница и получил из него преобразованный ряд , первые 21 член которого он использовал для вычисления значения π как 3,14159265359. Мадхава также нашел ряд Мадхавы-Грегори для определения арктангенса, степенной ряд Мадхавы-Ньютона для определения синуса и косинуса и приближение Тейлора для функций синуса и косинуса. В 16 веке Джьештхадева объединил многие разработки и теоремы Керальской школы в Юкти-бхаше . Утверждалось, что некоторые идеи исчисления, такие как бесконечные ряды и ряды Тейлора некоторых тригонометрических функций, были переданы в Европу в 16 веке. через миссионеров- иезуитов и торговцев, которые в то время действовали в районе древнего порта Музирис и, как следствие, напрямую повлияли на более поздние европейские разработки в области анализа и исчисления. Однако другие ученые утверждают, что школа Кералы не сформулировала систематическую теорию дифференциации и интеграции и что нет никаких прямых доказательств того, что их результаты передавались за пределы Кералы.

Исламские империи

Основная статья: Математика в средневековом исламе

Смотрите также: История индуистско-арабской системы счисления

Страница из «Сборника вычислений путем завершения и балансирования» ( Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми ок. 820 г. н.э.)

основанная Исламская империя, на Ближнем Востоке , в Центральной Азии , Северной Африке , Иберии и в некоторых частях Индии в 8 веке, внесла значительный вклад в развитие математики. Хотя большинство исламских текстов по математике были написаны на арабском языке , не все они были написаны арабами , поскольку, как и статус греческого языка в эллинистическом мире, арабский язык использовался в качестве письменного языка неарабских ученых во всем исламском мире в то время. .

В 9 веке персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми написал важную книгу об индийско-арабских цифрах и книгу о методах решения уравнений. Его книга «О вычислении индийскими цифрами» , написанная около 825 года, наряду с работой Аль-Кинди , сыграла важную роль в распространении индийской математики и индийских цифр на Западе. Слово «алгоритм» происходит от латинизации его имени Алгоритми, а слово «алгебра» — от названия одной из его работ « Аль-Китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-Габр ва'ль-мукабала» ( «Сборник вычислений, написанный автором Доработка и балансировка ). Он дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями: и он был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме и ради самой алгебры. Он также обсудил фундаментальный метод « редукции » и «балансировки», имея в виду перенос вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть сокращение одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую аль-Хорезми первоначально назвал «аль-Джабр» . Его алгебра также больше не занималась «рядом проблем, которые необходимо было решить, а представляла собой изложение , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект исследования». Он также изучал уравнение само по себе и «в общем виде, поскольку оно не просто возникает в ходе решения задачи, а специально призвано определить бесконечный класс задач».

В Египте Абу Камиль расширил алгебру до набора иррациональных чисел , приняв квадратные корни и корни четвертой степени в качестве решений и коэффициентов квадратных уравнений. Он также разработал методы, используемые для решения трех нелинейных уравнений одновременно с тремя неизвестными переменными. Уникальной особенностью его работ была попытка найти все возможные решения некоторых его задач, в том числе той, где он нашел 2676 решений. Его работы легли в основу развития алгебры и оказали влияние на более поздних математиков, таких как аль-Караджи и Фибоначчи.

Дальнейшие разработки в алгебре были сделаны Аль-Караджи в его трактате «Аль-Фахри» , где он расширяет методологию, включив в нее целые степени и целые корни неизвестных величин. Нечто близкое к доказательству методом математической индукции появляется в книге, написанной Аль-Караджи около 1000 года нашей эры, который использовал ее для доказательства биномиальной теоремы , треугольника Паскаля и суммы целых кубов . Историк Вепке математики Ф. похвалил Аль-Караджи за то, что он «первый, кто представил алгебраического исчисления теорию » . Также в X веке Абул Вафа перевел произведения Диофанта на арабский язык. Ибн аль-Хайсам был первым математиком, который вывел формулу суммы четвертых степеней, используя метод, который легко обобщается для определения общей формулы суммы любых целых степеней. Он выполнил интегрирование, чтобы найти объем параболоида , и смог обобщить свой результат для интегралов от многочленов до четвертой степени . Таким образом, он был близок к нахождению общей формулы для интегралов от многочленов, но его не интересовали полиномы выше четвертой степени.

В конце 11 века Омар Хайям написал «Обсуждение трудностей Евклида» , книгу о том, что он считал недостатками в » Евклида «Началах , особенно в постулате о параллельности . Он также был первым, кто нашел общее геометрическое решение кубических уравнений . Он также оказал большое влияние на реформу календаря .

В 13 веке Насир ад-Дин Туси (Насиреддин) добился успехов в сфере сферической тригонометрии . Евклида Он также написал влиятельную работу по постулату параллельности . В 15 веке Гият аль-Каши вычислил значение числа π с точностью до 16-го знака после запятой. У Каши также был алгоритм вычисления корней n-й степени, который был частным случаем методов, данных много столетий спустя Руффини и Хорнером .

Другие достижения мусульманских математиков в этот период включают добавление десятичной точки к арабским цифрам , открытие всех современных тригонометрических функций, кроме синуса, аль-Кинди введение криптоанализа и частотного анализа , развитие аналитической геометрии. Ибн аль-Хайсама , начало алгебраической геометрии Омара Хайяма и развитие алгебраической записи аль -Каласади .

Во времена Османской империи и империи Сефевидов с 15 века развитие исламской математики застопорилось.

Майя

Цифры майя от 1 до 19, написанные шрифтом майя.

В доколумбовой Америке цивилизация майя , процветавшая в Мексике и Центральной Америке в I тысячелетии нашей эры, разработала уникальную математическую традицию, которая из-за своей географической изоляции была полностью независима от существующей европейской, египетской и азиатской математики. В цифрах майя использовалась система счисления двадцатеричная , вместо десятичной системы, которая составляет основу десятичной системы, используемой в большинстве современных культур. Майя использовали математику для создания календаря майя , а также для предсказания астрономических явлений в своей родной астрономии майя . Хотя понятие нуля должно было быть выведено из математики многих современных культур, майя разработали для него стандартный символ.

Средневековый европейец

Дополнительная информация: Список средневековых европейских ученых и европейской науки в средние века.

Смотрите также: Латинские переводы XII века.

Интерес средневековых европейцев к математике был обусловлен заботами, совершенно отличными от интересов современных математиков. Одним из движущих элементов была вера в то, что математика дает ключ к пониманию сотворенного порядка природы, часто оправдываемая платоновским « Тимеем» и библейским отрывком (в « Книге Мудрости ») о том, что Бог упорядочил все вещи в мере и числе, и масса .

Боэций предоставил место математике в учебной программе в VI веке, когда он ввел термин квадривиум для описания изучения арифметики, геометрии, астрономии и музыки. Он написал «De Institutione arithmetica» , вольный перевод с греческого « Никомаха Введения в арифметику» ; De Institutione Musica , также полученная из греческих источников; и серия выдержек из «Начал» Евклида . Его работы были скорее теоретическими, чем практическими, и составляли основу математических исследований до восстановления греческих и арабских математических работ.

В XII веке европейские учёные путешествовали по Испании и Сицилии в поисках научных арабских текстов , в том числе аль-Хваризми » «Сборника вычислений путём завершения и балансировки , переведенного на латынь Робертом Честерским » Евклида , и полного текста «Начал , переведенного в различных версиях Аделарда Батского , Германа Каринтийского и Герарда Кремонского . Эти и другие новые источники вызвали обновление математики.

Леонардо Пизанский, ныне известный как Фибоначчи , по счастливой случайности узнал об индуистско-арабских цифрах во время поездки на территорию, которая сейчас называется Беджая , Алжир, вместе со своим отцом-торговцем. (Европа все еще использовала римские цифры .) Там он наблюдал систему арифметики ( в частности, алгоритмизм ), которая благодаря позиционному обозначению индуистско-арабских цифр была намного более эффективной и значительно облегчала торговлю. Леонардо написал Liber Abaci в 1202 году (обновленную в 1254 году), познакомив Европу с этой техникой и положив начало длительному периоду ее популяризации. Книга также принесла в Европу то, что сейчас известно как последовательность Фибоначчи (известную индийским математикам за сотни лет до этого). который Фибоначчи использовал в качестве ничем не примечательного примера.

В 14 веке появились новые математические концепции для исследования широкого круга проблем. Одним из важных вкладов было развитие математики локального движения.

Томас Брэдуордин предположил, что скорость (V) увеличивается в арифметической пропорции по мере увеличения отношения силы (F) к сопротивлению (R) в геометрической пропорции. Брэдуордин выразил это рядом конкретных примеров, но, хотя логарифм еще не был изобретен, мы можем выразить его вывод анахронично, написав:V = log (F/R). Анализ Брэдуордина является примером переноса математического метода, использованного аль-Кинди и Арнальдом из Виллановы для количественной оценки природы сложных лекарств, на другую физическую задачу.

Николь Орем (1323–1382), изображенная в этой современной иллюминированной рукописи с армиллярной сферой на переднем плане, была первой, кто предложил математическое доказательство расхождения гармонического ряда .

Адам Райс известен как «отец современных вычислений» из-за его решающего вклада в признание непрактичности римских цифр и их замену значительно более практичными арабскими цифрами .

XIV века Один из оксфордских калькуляторов , Уильям Хейтсбери , не обладая дифференциальным исчислением и концепцией пределов , предложил измерять мгновенную скорость «по пути, который описывало бы [тело], если бы ... степень скорости, с которой он движется в данный момент».

Хейтсбери и другие математически определили расстояние, пройденное телом, совершающим равномерно ускоренное движение (сегодня это решается путем интегрирования), заявив, что «движущееся тело, равномерно приобретающее или теряющее это приращение [скорости], пройдет за некоторый данный момент [расстояние], полностью равное к тому, что он прошел бы, если бы двигался непрерывно в одно и то же время со средней степенью [скорости]».

Николь Ореме из Парижского университета и итальянец Джованни ди Казали независимо представили графическую демонстрацию этой зависимости, утверждая, что область под линией, изображающей постоянное ускорение, представляет собой общее пройденное расстояние. В более позднем математическом комментарии к «Началам » Евклида Орем провел более подробный общий анализ, в котором продемонстрировал, что тело с каждым последующим приращением времени приобретает приращение любого качества, которое увеличивается в нечетном числе. Поскольку Евклид продемонстрировал, что сумма нечетных чисел является квадратом числа, общее качество, приобретаемое телом, увеличивается пропорционально квадрату времени.

Ренессанс

Дополнительная информация: Математика и искусство.

В эпоху Возрождения развитие математики и бухгалтерского учета были переплетены. Хотя прямой связи между алгеброй и бухгалтерским учетом нет, преподавание предметов и публикуемые книги часто предназначались для детей купцов, которых отправляли в школы счетов (во Фландрии и Германии ) или школы счетов (известные как abbaco в Италии), где они обучались навыкам, полезным для торговли и коммерции. операций, вероятно, не нужна Алгебра при выполнении бухгалтерских , но для сложных бартерных операций или расчета сложных процентов базовые знания арифметики были обязательными, а знание алгебры было очень полезно.

Пьеро делла Франческа (ок. 1415–1492) написал книги по твердотельной геометрии и линейной перспективе , в том числе De Prospectiva Pingendi («О перспективе для живописи») , Trattato d'Abaco («Трактат о счетах») и De quinque corporibus Regularibus («О пяти правильных твердых телах»). ) .

Портрет Луки Пачоли , картина, традиционно приписываемая Якопо де Барбари , 1495 год ( Музей Каподимонте ).

Луки Пачоли Книга «Сумма арифметики, геометрии, пропорций и пропорций » (итал. «Обзор арифметики , геометрии , отношений и пропорций ») была впервые напечатана и опубликована в Венеции в 1494 году. Она включала 27-страничный трактат по бухгалтерскому учету «Особенности». de Computis et Scripturis» (итал. «Детали вычислений и записи»). Она была написана в первую очередь для купцов и продавалась в основном им, которые использовали книгу как справочный текст, как источник удовольствия от содержащихся в ней математических головоломок и для помощи в образовании своих сыновей. В «Сумме арифметике» ввел символы плюс и минус Пачоли впервые в печатной книге , символы, которые стали стандартными обозначениями в итальянской математике эпохи Возрождения. «Сумма арифметика» также была первой известной книгой, напечатанной в Италии и содержащей алгебру. Пачоли получил многие из своих идей от Пьеро Делла Франчески, которого он использовал в качестве плагиата.

В Италии в первой половине 16 века Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья обнаружили решения кубических уравнений . Джероламо Кардано опубликовал их в своей книге Ars Magna 1545 года вместе с решением уравнений четвертой степени , открытым его учеником Лодовико Феррари . В 1572 году Рафаэль Бомбелли опубликовал свою «Алгебру» , в которой показал, как обращаться с мнимыми величинами , которые могли появиться в формуле Кардано для решения кубических уравнений.

Саймона Стевина Книга « De Thiende » («Искусство десятых»), впервые опубликованная на голландском языке в 1585 году, содержала первую систематическую трактовку десятичной системы счисления в Европе, которая повлияла на все последующие работы над действительной системой счисления .

Под влиянием требований навигации и растущей потребности в точных картах больших территорий тригонометрия стала важной отраслью математики. Варфоломей Питиск был первым, кто использовал это слово, опубликовав свою «Тригонометрию» в 1595 году. Таблица синусов и косинусов Региомонана была опубликована в 1533 году.

В эпоху Возрождения желание художников реалистично изобразить мир природы вместе с вновь открытой философией греков побудило художников изучать математику. Они также были инженерами и архитекторами того времени и поэтому в любом случае нуждались в математике. Искусство живописи в перспективе и связанные с этим разработки в области геометрии интенсивно изучались.

Математика во время научной революции

Смотрите также: Научная революция

17 век

Готфрид Вильгельм Лейбниц

В 17 веке наблюдался беспрецедентный рост математических и научных идей по всей Европе. Галилей наблюдал спутники Юпитера на орбите этой планеты, используя телескоп Ганса Липперхея . Тихо Браге собрал большое количество математических данных, описывающих положение планет на небе. Будучи помощником Браге, Иоганн Кеплер впервые познакомился с темой движения планет и серьезно занялся ею. Вычисления Кеплера были упрощены одновременным изобретением логарифмов Джоном Нэпьером и Йостом Бюрги . Кеплеру удалось сформулировать математические законы движения планет. Аналитическая геометрия, разработанная Рене Декартом (1596–1650), позволила отобразить эти орбиты на графике в декартовых координатах .

Опираясь на более ранние работы многих предшественников, Исаак Ньютон открыл законы физики, объясняющие законы Кеплера , и объединил концепции, теперь известные как исчисление . Независимо от этого Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал исчисление и большую часть обозначений исчисления, которые используются до сих пор. Он также усовершенствовал двоичную систему счисления , которая является основой почти всех цифровых ( электронных , твердотельных , дискретных ) компьютеров , включая архитектуру фон Неймана , которая является стандартной парадигмой проектирования, или « компьютерной архитектурой », последовавшей из Вторая половина 20-го века и начало 21-го. Лейбница называли «основателем информатики».

Наука и математика стали международным занятием, которое вскоре распространилось по всему миру.

Помимо применения математики к изучению неба, прикладная математика начала расширяться в новые области благодаря переписке Пьера де Ферма и Блеза Паскаля . Паскаль и Ферма заложили основу для исследований теории вероятностей и соответствующих правил комбинаторики в своих дискуссиях по поводу азартной игры . Паскаль, сделав ставку , попытался использовать недавно разработанную теорию вероятности, чтобы аргументировать необходимость жизни, посвященной религии, на том основании, что даже если вероятность успеха была мала, вознаграждение было бесконечным. В каком-то смысле это предвещало развитие теории полезности в XVIII–XIX веках.

18 век

Леонард Эйлер

Самым влиятельным математиком XVIII века был, пожалуй, Леонард Эйлер (1707–1783). Его вклад варьируется от основания изучения теории графов с помощью проблемы семи мостов Кенигсберга до стандартизации многих современных математических терминов и обозначений. Например, он назвал квадратный корень из минус 1 символом i и популяризировал использование греческой буквы. $\pi$ обозначать отношение длины окружности к ее диаметру. Он внес большой вклад в изучение топологии, теории графов, исчисления, комбинаторики и комплексного анализа, о чем свидетельствует множество теорем и обозначений, названных в его честь.

Среди других важных европейских математиков 18-го века были Жозеф Луи Лагранж , который проделал новаторскую работу в области теории чисел, алгебры, дифференциального исчисления и вариационного исчисления, и Пьер-Симон Лаплас , который в эпоху Наполеона проделал важную работу по основы небесной механики и статистики .

Современный

19 век

Карл Фридрих Гаусс

На протяжении XIX века математика становилась все более абстрактной. Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) олицетворяет эту тенденцию. Он проделал революционную работу над функциями комплексных переменных , в геометрии и по сходимости рядов , оставив в стороне свои многочисленные вклады в науку. Он также дал первые удовлетворительные доказательства основной теоремы алгебры и квадратичного закона взаимности .

Поведение линий с общим перпендикуляром в каждом из трех типов геометрии

В этом столетии возникли две формы неевклидовой геометрии , в которых постулат евклидовой геометрии о параллельности больше не действует.Русский математик Николай Иванович Лобачевский и его соперник, венгерский математик Янош Больяи , независимо определили и изучили гиперболическую геометрию , в которой единственность параллелей больше не соблюдается. В этой геометрии сумма углов треугольника составляет менее 180°. Эллиптическая геометрия была разработана позже, в 19 веке, немецким математиком Бернхардом Риманом ; здесь параллели найти невозможно, а сумма углов в треугольнике превышает 180°. Риман также разработал риманову геометрию , которая объединяет и значительно обобщает три типа геометрии, и определил понятие многообразия , которое обобщает идеи кривых и поверхностей , и заложил математические основы общей теории относительности .

В 19 веке началось развитие абстрактной алгебры . Герман Грассман в Германии дал первую версию векторных пространств , Уильям Роуэн Гамильтон в Ирландии разработал некоммутативную алгебру . Британский математик Джордж Буль разработал алгебру, которая вскоре превратилась в то, что сейчас называется булевой алгеброй , в которой единственными числами были 0 и 1. Булевая алгебра является отправной точкой математической логики и имеет важные приложения в электротехнике и информатике . Огюстен-Луи Коши , Бернхард Риман и Карл Вейерштрасс переформулировали исчисление в более строгой форме.

Кроме того, впервые были исследованы пределы математики. Нильс Хенрик Абель , норвежец, и Эварист Галуа , француз, доказали, что не существует общего алгебраического метода решения полиномиальных уравнений степени выше четырёх ( теорема Абеля–Руффини ). Другие математики XIX века использовали это в своих доказательствах того, что одних только прямых и циркуля недостаточно, чтобы разделить произвольный угол на три части , построить сторону куба, вдвое превышающую объем данного куба, или построить квадрат, равный по площади данный круг . Математики тщетно пытались решить все эти проблемы со времен древних греков. С другой стороны, ограничение трех измерений в геометрии было преодолено в 19 веке благодаря рассмотрению пространства параметров и гиперкомплексных чисел .

Исследования Абеля и Галуа решений различных полиномиальных уравнений заложили основу для дальнейшего развития теории групп и связанных с ней областей абстрактной алгебры . В 20 веке физики и другие ученые рассматривали теорию групп как идеальный способ изучения симметрии .

В конце 19 века Георг Кантор заложил первые основы теории множеств , которая позволила строго трактовать понятие бесконечности и стала общим языком почти всей математики. Теория множеств Кантора и возникновение математической логики в руках Пеано , Л. Дж. Брауэра , Дэвида Гильберта , Бертрана Рассела и А. Н. Уайтхеда положили начало длительным дебатам об основаниях математики .

В XIX веке был основан ряд национальных математических обществ: Лондонское математическое общество в 1865 г., Математическое общество Франции в 1872 году, Математический цирк Палермо в 1884 году, Эдинбургское математическое общество в 1883 году, и Американское математическое общество в 1888 году. Первое международное общество с особыми интересами, Общество Кватернионов , было сформировано в 1899 году в контексте векторного спора .

В 1897 году Курт Хензель ввёл p-адические числа .

20 век

В 20 веке математика стала основной профессией. К концу столетия ежегодно присуждались тысячи новых докторов наук по математике, и появились рабочие места как в преподавании, так и в промышленности. Попытка систематизировать области и приложения математики была предпринята в энциклопедии Кляйна .

В своей речи на Международном конгрессе математиков в 1900 году Дэвид Гильберт изложил список из 23 нерешённых проблем математики . Эти проблемы, охватывающие многие области математики, были в центре внимания большей части математики 20-го века. На сегодняшний день решено 10, частично решено 7 и еще 2 открыты. Остальные четыре сформулированы слишком свободно, чтобы можно было сказать, решены они или нет.

Карта, иллюстрирующая теорему четырех цветов.

Известные исторические предположения были наконец доказаны. В 1976 году Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель доказали теорему о четырех цветах , которая в то время вызывала споры по поводу использования для этого компьютера. Эндрю Уайлс , опираясь на работы других, доказал Великую теорему Ферма в 1995 году. Пол Коэн и Курт Гёдель доказали, что гипотеза континуума не зависит (не может быть ни доказана, ни опровергнута) от стандартных аксиом теории множеств . В 1998 году Томас Каллистер Хейлз доказал гипотезу Кеплера , также используя компьютер.

Произошло математическое сотрудничество беспрецедентного размера и масштаба. Примером может служить классификация конечных простых групп (также называемая «огромной теоремой»), доказательство которой в период с 1955 по 2004 год потребовало 500 с лишним журнальных статей примерно 100 авторов и заняло десятки тысяч страниц. Группа французских математиков, в том числе Жан Дьедонне и Андре Вейль , публиковавшаяся под псевдонимом « Николя Бурбаки », попыталась представить всю известную математику как единое строгое целое. Получившиеся в результате несколько десятков томов оказали неоднозначное влияние на математическое образование.

Ньютоновская (красная) и эйнштейновская орбита (синяя) одинокой планеты, вращающейся вокруг звезды, с релятивистской прецессией апсид

Дифференциальная геометрия получила свое признание, когда Альберт Эйнштейн использовал ее в общей теории относительности . Совершенно новые области математики, такие как математическая логика , топология и фон Неймана, Джона теория игр изменили виды вопросов, на которые можно было ответить с помощью математических методов. Все виды структур были абстрагированы с помощью аксиом и названий, таких как метрические пространства , топологические пространства и т. д. Как это делают математики, концепция абстрактной структуры сама по себе была абстрагирована и привела к теории категорий . Гротендик и Серр переработали алгебраическую геометрию, используя теорию пучков . Большие успехи были достигнуты в качественном исследовании динамических систем , которое Пуанкаре начал в 1890-х годах. Теория меры была разработана в конце 19 - начале 20 веков. Приложения мер включают интеграл Лебега , теории аксиоматизацию Колмогорова вероятностей и эргодическую теорию . Теория узлов значительно расширилась. Квантовая механика привела к развитию функционального анализа . Другие новые области включают Лорана Шварца , теорию распределения теорию неподвижной точки , особенностей и Рене Тома , теорию катастроф теорию моделей и Мандельброта фракталы теорию . Теория Ли с ее группами Ли и алгебрами Ли стала одной из основных областей исследования.

Нестандартный анализ , введенный Абрахамом Робинсоном , реабилитировал бесконечно малый подход к исчислению, который приобрел дурную славу в пользу теории пределов , расширив область действительных чисел до гипердействительных чисел , которые включают бесконечно малые и бесконечные величины. Еще более обширная система счисления, сюрреалистические числа, была открыта Джоном Хортоном Конвеем в связи с комбинаторными играми .

Развитие и постоянное совершенствование компьютеров , сначала механических аналоговых машин, а затем цифровых электронных машин, позволило промышленности иметь дело со все большими и большими объемами данных для облегчения массового производства, распределения и связи, и для решения этой проблемы были разработаны новые области математики. : Алана Тьюринга теория вычислимости ; теория сложности ; Дерриком Генри Лемером Использование ENIAC для дальнейшего развития теории чисел и теста на простоту Лукаса-Лемера ; Рожи Петера теория рекурсивных функций ; Клода Шеннона теория информации ; обработка сигнала ; анализ данных ; оптимизация и другие области исследования операций . В предыдущие столетия большое математическое внимание уделялось исчислению и непрерывным функциям, но развитие вычислительных и коммуникационных сетей привело к увеличению важности дискретных концепций и расширению комбинаторики , включая теорию графов . Скорость и возможности обработки данных компьютеров также позволили решать математические задачи, которые были слишком трудоемкими для решения с помощью вычислений карандашом и бумагой, что привело к появлению таких областей, как численный анализ и символьные вычисления . Некоторые из наиболее важных методов и алгоритмов 20-го века: симплексный алгоритм , быстрое преобразование Фурье , коды, исправляющие ошибки , фильтр Калмана из теории управления и алгоритм RSA криптографии с открытым ключом .

В то же время были сделаны глубокие выводы об ограничениях математики. В 1929 и 1930 годах было доказано истинность или ложность всех утверждений, сформулированных о натуральных числах плюс сложение или умножение (но не то и другое), была разрешима , то есть могла быть определена с помощью некоторого алгоритма. В 1931 году Курт Гёдель обнаружил, что это не относится к натуральным числам, а также к сложению и умножению; эта система, известная как арифметика Пеано , на самом деле была неполной . (Арифметика Пеано подходит для значительной части теории чисел , включая понятие простого числа .) Следствием двух теорем Гёделя о неполноте является то, что в любой математической системе, которая включает арифметику Пеано (включая весь анализ и геометрию), истина обязательно опережает доказательство, то есть существуют истинные утверждения, которые не могут быть доказаны в рамках системы. Следовательно, математику нельзя свести к математической логике, и мечту Дэвида Гильберта о том, чтобы сделать всю математику полной и последовательной, необходимо было переформулировать.

Абсолютное значение гамма-функции на комплексной плоскости

Одной из наиболее ярких фигур в математике XX века был Шриниваса Айянгар Рамануджан (1887–1920), индийский самоучка. который выдвинул или доказал более 3000 теорем , включая свойства весьма составных чисел , функция разделения и ее асимптотика , и высмеивать тета-функции . Он также провел крупные исследования в области гамма-функций . модульные формы , расходящийся ряд , гипергеометрический ряд и теория простых чисел.

Пауль Эрдеш опубликовал больше статей, чем любой другой математик в истории. работа с сотнями сотрудников. У математиков есть игра, эквивалентная игре Кевина Бэкона , которая приводит к числу Эрдеша математика. Это описывает «совместную дистанцию» между человеком и Эрдёшем, измеряемую совместным авторством математических статей.

Эмми Нётер самой важной женщиной в истории математики. Многие называют Она изучала теории колец , полей и алгебр .

Как и в большинстве областей обучения, взрыв знаний в эпоху науки привел к специализации: к концу века в математике существовали сотни специализированных областей, а Классификация предметов математики состояла из десятков страниц. Издавалось все больше и больше математических журналов , и к концу века развитие Всемирной паутины привело к онлайн-публикациям.

21 век

См. Также: Список нерешенных задач по математике § Проблемы, решенные с 1995 г.

В 2000 году Математический институт Клея объявил о семи задачах премии тысячелетия . В 2003 году гипотеза Пуанкаре была решена Григорием Перельманом (который отказался принять награду, так как критиковал математический истеблишмент).

Большинство математических журналов теперь имеют как онлайн-версии, так и печатные версии, и многие журналы выпускаются только онлайн. Растет стремление к публикации в открытом доступе , впервые ставшей популярной благодаря arXiv .

Будущее

Основная статья: Будущее математики

В математике можно наблюдать множество тенденций, наиболее заметной из которых является то, что этот предмет становится все более обширным, поскольку компьютеры становятся все более важными и мощными; объем данных, производимых наукой и промышленностью при помощи компьютеров, продолжает расти в геометрической прогрессии. В результате наблюдается соответствующий рост спроса на математику, помогающую обрабатывать и понимать эти большие данные . Ожидается, что карьера в сфере математических наук также продолжит расти: по оценкам Бюро статистики труда США (в 2018 году), «занятость в сфере математических наук, по прогнозам, вырастет на 27,9 процента с 2016 по 2026 год».

См. также

• Архивы американской математики
• Этноматематика
• История алгебры
• История арифметики
• История исчисления
• История комбинаторики
• История концепции функции
• История геометрии
• История теории групп
• История логики
• История математиков
• История математической записи
• История измерений
• История чисел
  • История древних систем счисления
  • Доисторический счет
• История теории чисел
• История статистики
• История тригонометрии
• История написания чисел
• Премия Кеннета О. Мэя
• Список важных публикаций по математике
• Списки математиков
• Список тем по истории математики
• Хронология математики

Ссылки

• де Креспиньи, Рэйф (2007), Биографический словарь от поздней Хань до Трех Королевств (23–220 гг. Н.э.) , Лейден: Koninklijke Brill, ISBN  978-90-04-15605-0 .
• Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (2004), Pi: Справочник , Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-0-387-20571-7
• Бойер, CB (1991) [1989], История математики (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  978-0-471-54397-8
• Куомо, Серафина (2001), Древняя математика , Лондон: Routledge, ISBN  978-0-415-16495-5
• Гудман, Майкл, К.Дж. (2016), Введение в раннее развитие математики , Хобокен: Wiley, ISBN  978-1-119-10497-1 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Галлберг, январь (1997), Математика: от рождения чисел , Нью-Йорк: WW Norton and Company, ISBN  978-0-393-04002-9
• Джойс, Хетти (июль 1979 г.), «Форма, функция и техника тротуаров Делоса и Помпеи», Американский журнал археологии , 83 (3): 253–63, doi : 10.2307/505056 , JSTOR   505056 , S2CID   191394716 .
• Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: введение (2-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN  978-0-321-01618-8
• Кац, Виктор Дж. (2007), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-11485-9
• Нидэм, Джозеф ; Ван, Лин (1995) [1959], Наука и цивилизация в Китае: математика и науки о небе и Земле , том. 3, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-05801-8
• Нидэм, Джозеф; Ван, Лин (2000) [1965], Наука и цивилизация в Китае: физика и физические технологии: машиностроение , том. 4 (переиздание), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-05803-2
• Слисвик, Андре (октябрь 1981 г.), «Одометр Витрувия», Scientific American , 252 (4): 188–200, Бибкод : 1981SciAm.245d.188S , doi : 10.1038/scientificamerican1081-188 .
• Страффин, Филип Д. (1998), «Лю Хуэй и первый золотой век китайской математики», Mathematics Magazine , 71 (3): 163–81, doi : 10.1080/0025570X.1998.11996627
• Тан, Биргит (2005), Делос, Карфаген, Ампуриас: жилье трех средиземноморских торговых центров , Рим: L'Erma di Bretschneider (Accademia di Danimarca), ISBN  978-88-8265-305-7 .
• Волков, Алексей (2009), «Математика и математическое образование в традиционном Вьетнаме», Робсон, Элеонора; Стедалл, Жаклин (ред.), Оксфордский справочник по истории математики , Оксфорд: Oxford University Press, стр. 153–76, ISBN  978-0-19-921312-2

Дальнейшее чтение

Общие

• Аабо, Асгер (1964). Эпизоды из ранней истории математики . Нью-Йорк: Рэндом Хаус.
• Белл, ET (1937). Мужчины математики . Саймон и Шустер.
• Бертон, Дэвид М. (1997). История математики: Введение . МакГроу Хилл.
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2003). Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук . Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN  978-0-8018-7397-3 .
• Клайн, Моррис . Математическая мысль от древности до современности .
• Струйк, диджей (1987). Краткая история математики , четвертое исправленное издание. Dover Publications, Нью-Йорк.

Книги определенного периода

• Жиллингс, Ричард Дж. (1972). Математика во времена фараонов . Кембридж, Массачусетс: MIT Press.
• Хит, Томас Литтл (1921). История греческой математики . Оксфорд, Кларедон Пресс.
• ван дер Варден, БЛ (1983). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях , Спрингер, ISBN   0-387-12159-5 .

Книги по определенной теме

• Корри, Лео (2015), Краткая история чисел , Oxford University Press, ISBN  978-0198702597
• Хоффман, Пол (1998). Человек, который любил только цифры: история Пола Эрдеша и поисков математической истины . Гиперион. ISBN  0-7868-6362-5 .
• Меннингер, Карл В. (1969). Числовые слова и числовые символы: культурная история чисел . МТИ Пресс. ISBN  978-0-262-13040-0 .
• Стиглер, Стивен М. (1990). История статистики: измерение неопределенности до 1900 года . Белнап Пресс. ISBN  978-0-674-40341-3 .

Внешние ссылки

Документальные фильмы

• Би-би-си (2008). История математики .
• Математика эпохи Возрождения , дискуссия на BBC Radio 4 с Робертом Капланом, Джимом Беннеттом и Джеки Стедаллом ( В наше время , 2 июня 2005 г.)

Учебный материал

• Архив MacTutor History of Mathematics (Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон; Университет Сент-Эндрюс, Шотландия). Отмеченный наградами веб-сайт, содержащий подробные биографии многих исторических и современных математиков, а также информацию о выдающихся кривых и различных темах из истории математики.
• Домашняя страница истории математики (Дэвид Э. Джойс; Университет Кларка). Статьи по различным темам истории математики с обширной библиографией.
• История математики (Дэвид Р. Уилкинс; Тринити-колледж, Дублин). Сборники материалов по математике 17-19 веков.
• Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов (Джефф Миллер). Содержит информацию о самых ранних известных использованиях терминов, используемых в математике.
• Самое раннее использование различных математических символов (Джефф Миллер). Содержит информацию по истории математических обозначений.
• Математические слова: происхождение и источники (Джон Олдрич, Университет Саутгемптона) Обсуждает происхождение современного математического словаря.
• Биографии женщин-математиков (Ларри Риддл; Колледж Агнес Скотт).
• Математики африканской диаспоры (Скотт В. Уильямс; Университет Буффало).
• Конспекты к мини-курсу МАА: преподавание курса истории математики. (2009) ( В. Фредерик Рики и Виктор Дж. Кац ).
• Древний Рим: Одометр Витрува . Иллюстрированная (движущаяся) реконструкция римского одометра Витусия.

Библиографии

• Библиография собрания сочинений и архив переписки математиков от 17 марта 2007 г. (Стивен В. Рокки; Библиотека Корнелльского университета).

Организации

• Международная комиссия по истории математики

Журналы

• Математическая история
• Convergence , Математической ассоциации Америки. онлайн по истории математики -журнал
• История математики. Архивировано 4 октября 2006 г. в математических архивах Wayback Machine (Университет Теннесси, Ноксвилл).
• История/биография Математический форум (Университет Дрекселя)
• История математики (Мемориальная библиотека Кортрайта).
• История веб-сайтов по математике (Дэвид Калвис; Колледж Болдуина-Уоллеса)
• История математики в Керли
• История математики (Университет Ла-Ла-Гуна)
• История математики (Университет Коимбры)
• Использование истории на уроке математики
• Математические ресурсы: история математики (Бруно Кевиус)
• История математики (Роберта Туччи)