Принципы индуистского исчисления
«Принципы индуистского исчисления» ( Kitab fi usul hisab al-hind ) — книга по математике, написанная персидским математиком X и XI веков Кушьяром ибн Лаббаном . Это вторая из сохранившихся на арабском языке книга об индуистской арифметике с использованием индуистско-арабских цифр (० ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹), которой предшествовала «Кибаб аль-Фусул фи аль-Хисуб аль-Хинди». книга Абул аль-Хасана Ахмада ибн Ибрагим аль-Углидис , написанный в 952 году.
Хотя Аль-Хварзими также написал книгу об индуистской арифметике в 825 году, его арабский оригинал был утерян, и сохранился только перевод XII века. [1] Кушьяр ибн Лаббан не упомянул индийские источники индуистского исчисления , и не существует более ранней индийской книги, которая охватывала бы те же темы, которые обсуждаются в этой книге. Принципы индуистского исчисления были одним из иностранных источников индуистского исчисления в Индии в 10 и 11 веках. Он был переведен на английский язык Мартином Леви и Марвином Петруком в 1963 году из единственной сохранившейся на тот момент арабской рукописи: Стамбул, Библиотека Айя София, MS 4857, а также перевода и комментариев на иврит Шалома бен Джозефа Анаби. [2]
Индийская пыльная доска [ править ]
Индуистская арифметика проводилась на пылевой доске, похожей на китайскую счетную доску . Пылевая доска представляет собой плоскую поверхность со слоем песка и выложенную сетками. Подобно китайским цифрам на счетных стержнях , пробел на сетке песочницы обозначал ноль, и знак нуля не был необходим. [3] Сдвиг цифр предполагает стирание и перезапись, в отличие от счетной доски.
Содержание [ править ]
Сохранилась только одна арабская копия, которая сейчас хранится в библиотеке Святой Софии в Стамбуле. Существует также перевод на иврит с комментариями, хранящийся в Бодлианской библиотеке Оксфордского университета . В 1965 году Университет Висконсина опубликовал английское издание этой книги, переведенное Мартином Леви и Марвином Петраком на основе арабского и еврейского изданий. Этот английский перевод включал 31 копию факсимиле оригинального арабского текста. [4]
«Принципы индуистского исчисления» состоят из двух частей, посвященных арифметике в двухсистемах счисления, существовавшей в Индии того времени.
- Часть I в основном посвящена десятичному алгоритму вычитания, умножения, деления, извлечения квадратного и кубического корня в индийской системе счисления. Однако раздел, посвященный «уполовинению», трактовался по-другому, то есть с использованием гибрида десятичных и шестидесятеричных цифр.
Сходство между десятичным индуистским алгоритмом и китайским алгоритмом Суньцзы Суаньцзин поразительно. [5] за исключением операции деления пополам, поскольку в Китае не было гибридных десятичных и шестидесятеричных вычислений.
- Часть II посвящена операциям вычитания, умножения, деления, извлечения квадратного и кубического корня в шестидесятеричной системе счисления. В Китае существовала только позиционная десятичная арифметика, а не шестидесятеричная арифметика.
- В отличие от книги Абуль-Хасана аль-Уклидиси « Китаб аль-Фусул фи аль-Хисаб аль-Хинди» ( «Арифметика аль-Уклидиси »), где основные математические операции сложения, вычитания, умножения и деления были описаны словами, книга Ибн Лаббана В книге представлены реальные процедуры расчета, выраженные индийско-арабскими цифрами.
Десятичная арифметика [ править ]
Дополнение [ править ]
Кушьяр ибн Лаббан подробно описал сложение двух чисел.
Индуистское дополнение идентично сложению стержневых цифр в Суньцзы Суаньцзин. [6]
| операция | Стержневое исчисление | Индуистское исчисление |
|---|---|---|
| Макет | Расставьте два числа в два ряда | Расставьте два числа в два ряда |
| порядок расчета | слева направо | слева направо |
| результат | помещен в верхний ряд | Размещено в верхнем ряду |
| удалить нижнюю строку | удалить цифру за цифрой слева направо | цифра не удалена |
Была небольшая разница в обработке второго ряда: в индуистском исчислении цифры второго ряда, нарисованные на песочной доске, оставались на месте от начала до конца, тогда как в стержневом исчислении стержни из нижних рядов были физически удалены и добавлены в верхний ряд. цифра за цифрой.
Вычитание [ править ]
В третьем разделе своей книги Кушьяр ибн Лаббан представил пошаговый алгоритм вычитания 839 из 5625. Цифры второго ряда всегда оставались на месте. В стержневом исчислении цифра из второй строки удалялась по цифре при расчете, оставляя только результат.в один ряд.
Умножение [ править ]
Умножение Кушьяра ибн Лаббана является разновидностью умножения Сунзи.
| операция | Сунзи | индуистский |
|---|---|---|
| умножение | размещен в верхнем ряду, | размещен в верхнем ряду, |
| множитель | третий ряд | 2-я строка ниже множителя |
| выравнивание | последняя цифра множителя с первой цифрой множителя | последняя цифра множителя с первой цифрой множителя |
| заполнение множителем | заготовки для цифр | Пробелы в виде стержневых цифр, а не индуистская цифра 0 |
| порядок расчета | слева направо | слева направо |
| продукт | помещен в центральном ряду | слился с мультипликантом |
| сдвиг множителя | на одну позицию вправо | на одну позицию вправо |
Дивизия [ править ]
Профессор Лам Лай Йонг обнаружил, что индуистский метод деления, описанный Кушьяром ибн Лаббаном, полностью идентичен делению стержневого исчисления в Суньцзы Суаньцзин V века . [7]
| операция | Подразделение Сунзи | Индуистское подразделение |
|---|---|---|
| дивиденды | в среднем ряду, | в среднем ряду, |
| делитель | делитель в нижней строке | делитель в нижней строке |
| частное | размещен в верхнем ряду | размещен в верхнем ряду |
| заполнение делителя | заготовки для цифр | Пробелы в виде стержневых цифр, а не индуистская цифра 0 |
| порядок расчета | слева направо | слева направо |
| Сдвиг делителя | на одну позицию вправо | на одну позицию вправо |
| Остаток | числитель в средней строке, знаменатель внизу | числитель в средней строке, знаменатель внизу |
Помимо полностью идентичного формата, процедуры и остаточной дроби, одним характерным признаком, раскрывающим происхождение этого алгоритма деления, является отсутствие 0 после 243, который в истинно индуистских цифрах должен быть записан как 2430, а не 243пробел; пустое пространство — особенность стержневых цифр (и счет).
Разделить на 2 [ править ]
Деление на 2 или «деление пополам» в индийском исчислении рассматривалось с помощью гибрида десятичных и шестидесятеричных цифр:Оно считалось не слева направо, как десятичная арифметика, а справа налево:Уменьшив пополам первую цифру 5, получим 2. 1 ⁄ 2 , замените 5 на 2 и под ней напишите 30 :
- 5622
- 30
Окончательный результат:
- 2812
- 30
Извлечение квадратного корня [ править ]
Кушьяр ибн Лаббан описал алгоритм извлечения квадратного корня на примере
Алгоритм извлечения квадратного корня Кушьяра ибн Лаббана в основном такой же, как алгоритм Сунзи.
| операция | Квадратный корень Сунзи | Площадь Ибн Лаббана |
|---|---|---|
| дивиденды | в среднем ряду, | в среднем ряду, |
| делитель | делитель в нижней строке | делитель в нижней строке |
| частное | размещен в верхнем ряду | размещен в верхнем ряду |
| заполнение делителя | заготовки для цифр | Пробелы в виде стержневых цифр, а не индуистская цифра 0 |
| порядок расчета | слева направо | слева направо |
| делитель удвоения | умноженный на 2 | умноженный на 2 |
| Сдвиг делителя | на одну позицию вправо | на одну позицию вправо |
| Сдвиговой коэффициент | Позиционируется в начале, без последующего смещения | на одну позицию вправо |
| Остаток | числитель в средней строке, знаменатель внизу | числитель в средней строке, знаменатель внизу |
| конечный знаменатель | без изменений | добавить 1 |
Аппроксимация несовершенного квадратного корня с использованием алгоритма Сунзи дает результат, немного превышающий истинное значение в десятичной части, аппроксимация квадратного корня Лаббана дала немного меньшее значение, целая часть такая же.
Шестидесятеричная editарифметика
Умножение [ править ]
Индуистский шестидесятеричный формат умножения полностью отличался от индуистской десятичной арифметики. Пример Кушьяра ибн Лаббана25 градусов 42 минуты, умноженные на 18 градусов 36 минут, записывалось вертикально как
- 18| |25
- 36| |42
с пустым пространством между [8]
Влияние [ править ]
Кушьяра ибн Лаббана Принципы индуистского исчисления оказали сильное влияние на более поздних арабских алгоритмистов. Его ученик ан-Насави последовал методу своего учителя. алгоритмиста 13-го века Иордана де Немора Работа находилась под влиянием ан-Насави. Еще в 16 веке имя ибн Лаббана все еще упоминалось. [9]
Ссылки [ править ]
- ^ Мартин Леви и Мартин Петрук, с. 3.
- ^ Мартин Леви, Марвин Петрук, «Кушьяр ибн Лаббан: принципы индуистского исчисления», Издательство Университета Висконсина (1965).
- ^ Джордж Ифра, Универсальная история чисел, стр. 554.
- ^ Мартин Леви и Марвин Петрук, Кушьяр ибн Лаббан, Принципы индуистского исчисления , The University of Wisconsin Press, 1965. Каталог Библиотеки Конгресса 65-11206.
- ^ Лам Лэй Ён, Анг Тянь Се, Мимолетные шаги, стр. 52.
- ^ Лам Лэй Ён, Анг Тянь Се, Мимолетный шаг, стр. 47, Всемирный научный.
- ^ Лам Лэй Ён, Анг Тянь Се, Мимолетный шаг, стр. 43, Всемирный научный.
- ^ Кушьяр ибн Лаббан, Принципы индуистского исчисления , стр. 80, Висконсин.
- ↑ Примечание Мартина Леви и Марвина Петрука к Принципам индуистского исчисления, стр. 40–42.
