Диофантова геометрия

В математике диофантова геометрия — это изучение диофантовых уравнений с помощью мощных методов алгебраической геометрии . К 20 веку некоторым математикам стало ясно, что методы алгебраической геометрии являются идеальными инструментами для изучения этих уравнений. Диофантова геометрия является частью более широкой области арифметической геометрии .

Четыре теоремы диофантовой геометрии, имеющие фундаментальное значение, включают:

• Теорема Морделла – Вейля
• Теорема Рота
• Теорема Зигеля
• Теорема Фальтингса

Предыстория

Серж Ланг опубликовал книгу «Диофантова геометрия» в этом районе в 1962 году, и в этой книге он ввел термин «Диофантова геометрия». Традиционно материал по диофантовым уравнениям располагался по степени и количеству переменных , как в Морделла « Диофантовых уравнениях» (1969). Книга Морделла начинается с замечания об однородных уравнениях f = 0 над рациональным полем , приписываемого К.Ф. Гауссу , о том, что ненулевые решения в целых числах (даже примитивные точки решетки) существуют, если существуют ненулевые рациональные решения, и отмечает предостережение LE. Диксона , посвященного параметрическим решениям. Результат Гильберта 1890 года , - Гурвица сводящий диофантову геометрию кривых рода 0 к степеням 1 и 2 ( конические сечения ), встречается в главе 17, как и гипотеза Морделла . Теорема Зигеля о целых точках встречается в главе 28. Теорема Морделла о конечном порождении группы рациональных точек на эллиптической кривой находится в главе 16, а о целых точках на кривой Морделла - в главе 26.

В враждебной рецензии на книгу Ланга Морделл написал:

В последнее время были разработаны новые мощные геометрические идеи и методы, с помощью которых были найдены и доказаны важные новые арифметические теоремы и связанные с ними результаты, причем некоторые из них нелегко доказать другим способом. Кроме того, возникла тенденция облечь старые результаты, их расширения и доказательства в новый геометрический язык. Однако иногда все последствия результатов лучше всего описать в геометрической форме. В этой книге Ланг уделяет большое внимание этим аспектам и, похоже, не упускает возможности геометрического представления. Этим объясняется его название «Диофантова геометрия».

Он отмечает, что содержание книги представляет собой в основном версии теоремы Морделла-Вейля , теоремы Туэ-Зигеля-Рота , теоремы Зигеля с трактовкой теоремы о неприводимости Гильберта и ее приложений (в стиле Зигеля). Оставляя в стороне вопросы общности и совершенно разного стиля, основное математическое различие между двумя книгами состоит в том, что Ланг использовал абелевы многообразия и предложил доказательство теоремы Зигеля, в то время как Морделл отметил, что доказательство «носит очень продвинутый характер» (стр. . 263).

Несмотря на поначалу плохую прессу, концепция Ланга получила достаточно широкое признание, чтобы в 2006 году книга была названа «провидческой». Более крупная область, которую иногда называют арифметикой абелевых многообразий, теперь включает диофантову геометрию наряду с теорией полей классов , комплексным умножением , локальными дзета-функциями и L-функциями . Пол Войта писал:

Хотя другие в то время разделяли эту точку зрения (например, Вейль , Тейт , Серр ), легко забыть, что другие этого не сделали, о чем свидетельствует обзор Морделла « Диофантова геометрия» .

Подходы

Одно уравнение определяет гиперповерхность , а одновременные диофантовы уравнения порождают общее алгебраическое многообразие V над K ; типичный вопрос касается природы множества V ( K ) точек на V с координатами в K , и с помощью функций высоты могут быть поставлены количественные вопросы о «размере» этих решений, а также о Качественные вопросы о том, существуют ли какие-либо точки, и если да, то есть ли их бесконечное число. Учитывая геометрический подход, рассмотрение однородных уравнений и однородных координат является фундаментальным по тем же причинам, по которым проективная геометрия является доминирующим подходом в алгебраической геометрии. Поэтому решения рациональных чисел являются основным соображением; но целочисленные решения (т.е. точки решетки ) можно рассматривать так же, как аффинное многообразие можно рассматривать внутри проективного многообразия, имеющего дополнительные точки на бесконечности .

Общий подход диофантовой геометрии иллюстрируется теоремой Фалтингса (гипотеза Дж. Морделла ), утверждающей, что алгебраическая кривая C рода Л. g > 1 над рациональными числами имеет лишь конечное число рациональных точек . Первым результатом такого рода могла быть теорема Гильберта и Гурвица, касающаяся случая g = 0. Теория состоит как из теорем, так и из множества гипотез и открытых вопросов.

См. также

• Словарь арифметики и диофантовой геометрии
• Arakelov geometry

Ссылки

• Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. Том. 9. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-88268-2 . Збл   1145.11004 .
• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том. 4. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-71229-3 . Збл   1115.11034 .
• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: Введение . Тексты для аспирантов по математике . Том. 201. ИСБН  0-387-98981-1 . Збл   0948.11023 .
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-61223-8 . Збл   0869.11051 .
• Морделл, Луис Дж. (1969). Диофантовы уравнения . Академическая пресса. ISBN  978-0125062503 .
• «Диофантова геометрия» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Обзор Ланга диофантовых уравнений Морделла
• Обзор Морделла « Диофантовой геометрии» Ланга