Теорема Рота

В математике или теорема Рота теорема Туэ-Зигеля-Рота является фундаментальным результатом в диофантовой аппроксимации алгебраических чисел . Оно носит качественный характер и утверждает, что алгебраические числа не могут иметь много рациональных чисел «очень хороших» аппроксимаций . За полвека значение слова « очень хорошо» уточнялось рядом математиков, начиная с Джозефа Лиувилля в 1844 году и продолжая работами Акселя Туэ ( 1909 ), Карла Людвига Зигеля ( 1921 ), Фримена Дайсона ( 1947 ) и Клаус Рот ( 1955 ).

Заявление

Теорема Рота утверждает, что каждое иррациональное алгебраическое число $\alpha$ имеет показатель аппроксимации, равный 2. Это означает, что для любого $\varepsilon >0$ , неравенство

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}

может иметь только конечное число решений в взаимно простых целых числах $p$ и $q$ . Доказательство Рота этого факта разрешило гипотезу Сигела. Отсюда следует, что каждое иррациональное алгебраическое число α удовлетворяет условию

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C(\alpha ,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}

с $C(\alpha ,\varepsilon )$ положительное число, зависящее только от $\varepsilon >0$ и $\alpha$ .

Обсуждение

Первым результатом в этом направлении является теорема Лиувилля об аппроксимации алгебраических чисел, которая дает показатель аппроксимации d для алгебраического числа α степени d ≥ 2. Этого уже достаточно, чтобы продемонстрировать существование трансцендентных чисел . Туэ понял, что показатель степени меньше d будет применяться к решению диофантовых уравнений , и в теореме Туэ 1909 года установил показатель степени. $d/2+1+\varepsilon$ который он применил для доказательства конечности решений уравнения Туэ . Теорема Сигела улучшает это значение до показателя около 2 √ d , а теорема Дайсона 1947 года имеет показатель около √ 2 d .

Результат Рота с показателем степени 2 в каком-то смысле является наилучшим из возможных, поскольку это утверждение не работает при установке $\varepsilon =0$ : по теореме Дирихле о диофантовом приближении решений в этом случае бесконечно много. Однако существует более сильная гипотеза Сержа Ланга , согласно которой

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}\log(q)^{1+\varepsilon }}}

может иметь лишь конечное число решений в целых числах p и q . Если позволить α пройтись по всему множеству действительных чисел, а не только по алгебраическим действительным числам, то верны и вывод Рота, и вывод Ланга. для всех почти $\alpha$ . Таким образом, и теорема, и гипотеза утверждают, что определенное счетное множество не соответствует определенному множеству нулевой меры. ^{[ 1 ]}

Теорема в настоящее время не эффективна : то есть не существует известной границы возможных значений p , q при заданных $\alpha$ . ^{[ 2 ]} Давенпорт и Рот (1955) показали, что методы Рота можно использовать для получения эффективной оценки числа p / q, удовлетворяющего неравенству, используя принцип «разрыва». ^{[ 2 ]} Тот факт, что мы на самом деле не знаем C (ε), означает, что проект решения уравнения или ограничения размера решений недостижим.

Техника доказательства

Метод доказательства заключается в построении вспомогательного многомерного полинома от сколь угодно большого числа переменных, зависящих от $\varepsilon$ , что приводит к противоречию при наличии слишком большого количества хороших приближений. Точнее, мы находим определенное количество рациональных приближений к рассматриваемому иррациональному алгебраическому числу, а затем одновременно применяем функцию к каждому из них (т. е. каждое из этих рациональных чисел служит входными данными для уникальной переменной в выражении, определяющем нашу функцию ). По своей природе это было неэффективно (см. эффективные результаты в теории чисел ); это представляет особый интерес, поскольку основным применением результатов такого типа является ограничение числа решений некоторых диофантовых уравнений .

Обобщения

Существует многомерная версия — теорема Шмидта о подпространстве основного результата . Существуют также многочисленные расширения, например, использование p-адической метрики , ^{[ 3 ]} на основе метода Рота.

Уильям Дж. ЛеВек обобщил этот результат, показав, что аналогичная оценка имеет место, когда аппроксимирующие числа берутся из фиксированного поля алгебраических чисел . Определим высоту H (ξ) алгебраического числа ξ как максимальное из абсолютных значений коэффициентов его минимального многочлена . Зафиксируйте κ>2. Для заданного алгебраического числа α и поля алгебраических чисел K уравнение

|\alpha -\xi |<{\frac {1}{H(\xi )^{\kappa }}}

имеет лишь конечное число решений в элементах ξ из K . ^{[ 4 ]}

См. также

Примечания

^ Это также тесно связано с гипотезой Манина-Мамфорда .
^ Jump up to: ^а ^б Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000), Диофантова геометрия: введение , Тексты для аспирантов по математике , том. 201, стр. 344–345, ISBN. 0-387-98981-1
^ Ридаут, Д. (1958), « Р -адическое обобщение теоремы Туэ–Зигеля–Рота», Mathematika , 5 : 40–48, doi : 10.1112/s0025579300001339 , Zbl 0085.03501
^ ЛеВек, Уильям Дж. (2002) [1956], Темы теории чисел, тома I и II , Нью-Йорк: Dover Publications, стр. II: 148–152 , ISBN 978-0-486-42539-9 , Збл 1009.11001

Ссылки

Давенпорт, Х. ; Рот, Клаус Фридрих (1955), «Рациональные приближения к алгебраическим числам», Mathematika , 2 (2): 160–167, doi : 10.1112/S0025579300000814 , ISSN 0025-5793 , MR 0077577 , Zbl 0066.29302
Дайсон, Фриман Дж. (1947), «Приближение к алгебраическим числам рациональными числами», Acta Mathematica , 79 : 225–240, doi : 10.1007/BF02404697 , ISSN 0001-5962 , MR 0023854 , Zbl 0030.02101
Рот, Клаус Фридрих (1955), «Рациональные приближения к алгебраическим числам», Mathematika , 2 : 1–20, 168, doi : 10.1112/S0025579300000644 , ISSN 0025-5793 , MR 0072182 , Zbl 0064.28501
Вольфганг М. Шмидт (1996) [1980], Диофантово приближение , Конспект лекций по математике , вып. 785, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-540-38645-2 , ISBN. 978-3-540-09762-4
Вольфганг М. Шмидт (1991), Диофантовые приближения и диофантовые уравнения , Конспект лекций по математике , том. 1467, Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0098246 , ISBN 978-3-540-54058-8 , S2CID 118143570
Сигел, Карл Людвиг (1921), «Приближение алгебраических чисел» , Mathematical Journal , 10 (3): 173–213, doi : 10.1007/BF01211608 , ISSN 0025-5874 , MR 1544471 , S2CID 119577458
Туэ, А. (1909), «О приближениях алгебраических чисел» , Журнал чистой и прикладной математики , 1909 (135): 284–305, doi : 10.1515/crll.1909.135.284 , ISSN 0075-4102 , S2CID 125903243

Дальнейшее чтение

Бейкер, Алан (1975), Теория трансцендентных чисел , издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-20461-5 , Збл 0297.10013
Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007), Логарифмические формы и диофантова геометрия , Новые математические монографии, том. 9, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-88268-2 , Збл 1145.11004
Бомбьери, Энрико ; Гублер, Уолтер (2006), Высоты в диофантовой геометрии , Новые математические монографии, том. 4, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-71229-3 , Збл 1130.11034
Войта, Пол (1987), Диофантовы аппроксимации и теория распределения значений , Конспекты лекций по математике, том. 1239, Шпрингер-Верлаг , ISBN 3-540-17551-2 , Збл 0609.14011

[1] Это также тесно связано с гипотезой Манина-Мамфорда .

[HindrySilverman344-2] Jump up to: ^а ^б Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000), Диофантова геометрия: введение , Тексты для аспирантов по математике , том. 201, стр. 344–345, ISBN. 0-387-98981-1

[3] Ридаут, Д. (1958), « Р -адическое обобщение теоремы Туэ–Зигеля–Рота», Mathematika , 5 : 40–48, doi : 10.1112/s0025579300001339 , Zbl 0085.03501

[4] ЛеВек, Уильям Дж. (2002) [1956], Темы теории чисел, тома I и II , Нью-Йорк: Dover Publications, стр. II: 148–152 , ISBN 978-0-486-42539-9 , Збл 1009.11001

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]