Уравнение Туэ

Чтобы узнать о других теоремах, названных в честь Акселя Туэ, см. Теорему Туэ (значения) .

В математике уравнение Туэ — это диофантово уравнение вида

$$f(x,y)=r,$$

где $f$ является неприводимой двумерной формой степени не ниже 3 над рациональными числами и $r$ является ненулевым рациональным числом . Оно названо в честь Акселя Туэ , который в 1909 году доказал, что уравнение Туэ может иметь только конечное число решений в целых числах. $x$ и $y$, результат, известный как теорема Туэ ,

Уравнение Туэ эффективно разрешимо : существует явная граница решений $x$, $y$ формы $(C_{1}r)^{C_{2}}$ где константы $C_{1}$ и $C_{2}$ зависит только от формы $f$. Имеет место более сильный результат: если $K$ поле, порожденное корнями $f$, то уравнение имеет лишь конечное число решений с $x$ и $y$ целые числа $K$, и опять-таки они могут быть эффективно определены.

Конечность решений и диофантово приближение

Первоначальное доказательство Туэ того, что уравнение, названное в его честь, имеет конечное число решений, основано на доказательстве того, что сейчас известно как теорема Туэ : оно утверждает, что для любого алгебраического числа $\alpha$ имеющий степень $d\geq 3$ и для любого $\varepsilon >0$ существует только конечное число взаимно простых целых чисел $p,q$ с $q>0$ такой, что $|\alpha -p/q|<q^{-(d+1+\varepsilon )/2}$. Применение этой теоремы позволяет почти сразу прийти к выводу о конечности решений. Однако доказательство Туэ, а также последующие усовершенствования Сигела , Дайсона и Рота оказались неэффективными.

Алгоритм решения

Найти все решения уравнения Туэ можно с помощью практического алгоритма: который был реализован в следующих системах компьютерной алгебры :

• в PARI/GP как функции thueinit() и thue() .
• в Magma как функции ThueObject() и ThueSolve() .
• в Mathematica через сокращение[]
• в Maple через ThueSolve()

Ограничение числа решений

Хотя существует несколько эффективных методов решения уравнений Туэ (в том числе с использованием метода Бейкера и метода Скулема). $p$-адический метод), они не могут дать наилучших теоретических оценок числа решений. Можно квалифицировать эффективную границу $C(f,r)$ уравнения Туэ $f(x,y)=r$ по параметрам, от которых это зависит, и насколько «хорошей» является зависимость.

Лучший результат, известный сегодня, основанный на новаторских работах Бомбьери и Шмидта . дает границу формы $C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (r)}$, где $C$ является абсолютной константой (т. е. не зависит ни от того, ни от другого). $f$ и $r$) и $\omega (\cdot )$ количество различных простых делителей $r$. Наиболее значительное качественное улучшение теоремы Бомбьери и Шмидта принадлежит Стюарту . который получил оценку вида $C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (g)}$ где $g$ является делителем $r$ превышающий $|r|^{3/4}$ в абсолютном значении. Предполагается, что можно взять границу $C(f,r)=C(\deg f)$; то есть в зависимости только степени от $f$ но не его коэффициенты и совершенно не зависят от целого числа $r$ в правой части уравнения.

Это более слабая форма гипотезы Стюарта и частный случай гипотезы о равномерной ограниченности рациональных точек . Эта гипотеза была доказана для «маленьких» целых чисел. $r$, где малость измеряется через дискриминант вида $f$, различных авторов, в том числе Эвертсе , Стюарта и Ахтари . Стюарт и Сяо продемонстрировали сильную форму этой гипотезы, утверждая, что число решений абсолютно ограничено, справедливо в среднем (как $r$ колеблется в интервале $|r|\leq Z$ с $Z\rightarrow \infty$)

См. также

• Теорема Рота
• Теорема Фальтингса

Дальнейшее чтение

• Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. Том. 9. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-88268-2 .