Клаус Рот

Не путать с Леонардом Ротом .

Клаус Рот
Рожденный	Клаус Фридрих Рот ( 1925-10-29 ) 29 октября 1925 г. Бреслау , провинция Нижняя Силезия , Веймарская Германия
Умер	10 ноября 2015 г. (10 ноября 2015 г.) (90 лет) Инвернесс , Шотландия
Образование	Школа Святого Павла, Лондон Питерхаус, Кембридж Университетский колледж Лондона
Известный	Диофантово приближение Теория несоответствия Большое сито
Награды	Медаль Филдса (1958) Член Королевского общества (1960). Медаль Моргана (1983) Медаль Сильвестра (1991).
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университетский колледж Лондона Имперский колледж Лондона
Диссертация	Доказательство того, что почти все положительные целые числа являются суммами квадрата, положительного куба и четвертой степени   (1950).
Докторантура	Теодор Эстерманн
Другие научные консультанты	Джон Чарльз Беркилл Гарольд Давенпорт

Клаус Фридрих Рот FRS (29 октября 1925 — 10 ноября 2015) — британский математик немецкого происхождения, получивший медаль Филдса за доказательство теоремы Рота о диофантовой аппроксимации алгебраических чисел . Он также был лауреатом медали Де Моргана и медали Сильвестра , а также членом Королевского общества .

Рот переехал в Англию в детстве в 1933 году, спасаясь от нацистов, и получил образование в Кембриджском университете и Университетском колледже Лондона , получив докторскую степень в 1950 году. Он преподавал в Университетском колледже Лондона до 1966 года, когда он занял кафедру в Имперском колледже. Лондон . Он вышел на пенсию в 1988 году.

Помимо своей работы по диофантовой аппроксимации, Рот внес большой вклад в теорию множеств без прогрессии в арифметической комбинаторике и в теорию неравномерностей распределения . Он был также известен своими исследованиями сумм степеней , большого сита , проблемы треугольника Гейльбронна и упаковки квадратов в квадрат . Он был соавтором книги «Последовательности целочисленных последовательностей» .

Биография

Ранняя жизнь

Рот родился в еврейской семье в Бреслау , Пруссия , 29 октября 1925 года. Его родители поселились с ним в Лондоне, спасаясь от нацистских преследований в 1933 году, и он вырос и получил образование в Великобритании. Его отец, адвокат, подвергся воздействию отравляющего газа во время Первой мировой войны и умер, когда Рот был еще молод. Рот стал учеником школы Святого Павла в Лондоне с 1939 по 1943 год, а вместе с остальной частью школы он был эвакуирован из Лондона в Истхэмпстед-парк во время Блица . В школе он был известен своими способностями как в шахматах, так и в математике. Он пытался присоединиться к воздушному учебному корпусу , но был заблокирован на несколько лет из-за того, что был немцем, а затем из-за отсутствия координации, необходимой для пилота.

Математическое образование

Рот изучал математику в Питерхаусе, Кембридж , и играл на первой доске за шахматную команду Кембриджа. окончание в 1945 году. Несмотря на свои математические способности, он получил только третью оценку на экзамене по математике из -за своих плохих способностей к сдаче тестов. Его наставник в Кембридже Джон Чарльз Беркилл не поддерживал продолжение Рота математики, рекомендуя вместо этого ему устроиться на «какую-нибудь коммерческую работу со статистическим уклоном». Вместо этого он ненадолго стал школьным учителем в Гордонстоуне , между окончанием Кембриджа и началом учебы в аспирантуре.

По рекомендации Гарольда Давенпорта он был принят в 1946 году на магистерскую программу по математике в Университетский колледж Лондона , где работал под руководством Теодора Эстерманна . Там он получил степень магистра в 1948 году и докторскую степень в 1950 году. Его диссертация была «Доказательство того, что почти все положительные целые числа являются суммами квадрата, положительного куба и четвертой степени» .

Карьера

Получив степень магистра в 1948 году, Рот стал доцентом Университетского колледжа Лондона, а в 1950 году получил должность преподавателя. Его наиболее значительные работы по диофантовой аппроксимации, последовательностям без прогрессий и несоответствиям были опубликованы в середине 1950-х годов.а в 1958 году ему была вручена Медаль Филдса, высшая награда для математиков. Однако только в 1961 году ему было присвоено звание профессора. В этот период он продолжал тесно сотрудничать с Гарольдом Давенпортом.

В середине 1950-х и середине 1960-х годов он брал творческий отпуск в Массачусетском технологическом институте и серьезно подумывал о миграции в Соединенные Штаты. Уолтер Хейман и Патрик Линстед опровергли эту возможность, которую они считали угрозой британской математике, предложив кафедру чистой математики в Имперском колледже Лондона , и Рот принял эту кафедру в 1966 году. Он сохранял эту должность до официального выхода на пенсию в 1988 году. Он оставался в Имперском колледже в качестве приглашенного профессора до 1996 года.

Лекции Рота обычно были очень ясными, но иногда могли быть беспорядочными. В проекте «Математическая генеалогия» указано, что у него было только два докторанта. но один из них, Уильям Чен, продолживший работу Рота в области теории несоответствия, стал членом Австралийского математического общества и главой математического факультета в Университете Маккуори .

Личная жизнь

В 1955 году Рот женился на Мелек Хайри, которая привлекла его внимание, когда она была студенткой на его первой лекции; Хайри была дочерью египетского сенатора Хайри Паши. Она пришла работать на факультет психологии Университетского колледжа Лондона, где опубликовала исследование о влиянии токсинов на крыс. После выхода Рота на пенсию они переехали в Инвернесс ; Рот посвятил комнату своего дома латинским танцам, что было их общим интересом. Хайри умер в 2002 году, а Рот умер в Инвернессе 10 ноября 2015 года в возрасте 90 лет. У них не было детей, и Рот посвятил большую часть своего состояния, более миллиона фунтов, двум благотворительным организациям, занимающимся здравоохранением, «чтобы помочь пожилым и немощным людям, живущим в городе Инвернесс». Он отправил Филдсовскую медаль с меньшим наследством Питерхаусу.

Взносы

Рот был известен как специалист по решению математических задач, а не как создатель теорий. Гарольд Давенпорт пишет, что «мораль работы доктора Рота» заключается в том, что «великие нерешенные проблемы математики все еще могут поддаваться прямой атаке, какими бы трудными и неприступными они ни казались и сколько бы усилий на них уже ни было затрачено». Его исследовательские интересы охватывали несколько тем теории чисел , теории неточностей и теории целочисленных последовательностей .

Диофантово приближение

Основная статья: теорема Рота

Предметом диофантовой аппроксимации является поиск точного приближения иррациональных чисел рациональными числами . Вопрос о том, насколько точно алгебраические числа можно аппроксимировать , стал известен как проблема Туэ-Зигеля после предыдущего прогресса в этом вопросе Акселя Туэ и Карла Людвига Зигеля . Точность аппроксимации можно измерить показателем аппроксимации числа $x$, определяемый как наибольшее число $e$ такой, что $x$ имеет бесконечно много рациональных приближений $p/q$ с $|x-p/q|<1/q^{e}$. Если показатель аппроксимации велик, то $x$ имеет более точные аппроксимации, чем число, показатель степени которого меньше. Наименьший возможный показатель аппроксимации равен двум: даже самые трудные для аппроксимации числа можно аппроксимировать вторым показателем, используя цепные дроби . До работы Рота считалось, что алгебраические числа могут иметь больший показатель аппроксимации, связанный со степенью многочлена, определяющего число.

В 1955 году Рот опубликовал то, что сейчас известно как теорема Рота , полностью разрешив этот вопрос. Его теорема опровергла предполагаемую связь между показателем аппроксимации и степенью и доказала, что с точки зрения показателя аппроксимации алгебраические числа наименее точно аппроксимируются из всех иррациональных чисел. Точнее, он доказал, что для иррациональных алгебраических чисел показатель аппроксимации всегда равен двум. В обзоре работ Рота, представленном Гарольдом Давенпортом на Международном конгрессе математиков в 1958 году, когда Роту была вручена медаль Филдса, Давенпорт назвал этот результат «величайшим достижением Рота».

Арифметическая комбинаторика

Основная статья: теорема Рота об арифметических прогрессиях

Набор {1,2,4,5,10,11,13,14} (синий) не имеет трехчленной арифметической прогрессии, поскольку среднее значение каждых двух членов набора (желтый) выходит за пределы набора. Рот доказал, что любое множество без прогрессий должно быть разреженным.

Другой результат, названный « Теоремой Рота », датированный 1953 годом , относится к арифметической комбинаторике и касается последовательностей целых чисел, в которых нет трех в арифметической прогрессии . Эти последовательности были изучены в 1936 году Полом Эрдешем и Палом Тураном , которые предположили, что они должны быть редкими. Однако в 1942 году Рафаэль Салем и Дональд К. Спенсер построили подмножества чисел без прогрессии из $1$ к $n$ размера, пропорционального $n^{1-\varepsilon }$, для каждого $\varepsilon >0$.

Рот оправдал Эрдеша и Турана, доказав, что размер такого набора не может быть пропорционален $n$: каждый плотный набор целых чисел содержит трехчленную арифметическую прогрессию. В его доказательстве используются методы аналитической теории чисел, включая метод круга Харди – Литтлвуда, чтобы оценить количество прогрессий в данной последовательности и показать, что, когда последовательность достаточно плотна, это число не равно нулю.

Другие авторы позже усилили ограничение Рота на размер множеств без прогрессии. Усиление в другом направлении, теорема Семереди , показывает, что плотные множества целых чисел содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

Несоответствие

Набор Хаммерсли — набор точек с низким расхождением, полученный из последовательности Ван дер Корпута.

Хотя работа Рота по диофантовой аппроксимации принесла ему высочайшее признание, именно его исследования неравномерностей распределения (согласно некрологу Уильяма Чена и Боба Воана ) он гордился больше всего. Его статья 1954 года по этой теме заложила основы современной теории несоответствия . Речь идет о размещении $n$ точек в единичном квадрате так, что для каждого прямоугольника, ограниченного началом координат и точкой квадрата, площадь прямоугольника хорошо аппроксимируется числом точек в нем.

Рот измерил это приближение по квадрату разницы между количеством точек и $n$ раз площадь, и доказал, что для случайно выбранного прямоугольника ожидаемое значение квадрата разности является логарифмическим в $n$. Этот результат является наилучшим из возможных и значительно улучшает предыдущую оценку той же задачи, полученную Татьяной Павловной Эренфест . Несмотря на предыдущие работы Эренфеста и Йоханнеса ван дер Корпута по той же проблеме, Рот был известен тем, что хвастался, что этот результат «начал тему».

Другие темы

Некоторые из самых ранних работ Рота включали статью 1949 года о суммах степеней , показывающую, что почти все положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы квадрата, куба и четвертой степени, а также статья 1951 года о промежутках между бесквадратными числами , описывающая Чена и Воана назвали «весьма сенсационным» и «имеющим большое значение» соответственно. Его первая лекция в Имперском колледже касалась большого сита : ограничения размера наборов целых чисел, из которых многие классы конгруэнтности чисел по модулю простых чисел . были запрещены Рот ранее опубликовал статью по этой проблеме в 1965 году .

Оптимальная упаковка квадратов в квадрате иногда может включать наклонные квадраты; Рот и Боб Воган показали, что непостоянную область следует оставить непокрытой.

Еще одним интересом Рота была проблема треугольника Гейльбронна : размещение точек в квадрате, чтобы избежать треугольников небольшой площади. Его статья 1951 года по этой проблеме была первой, в которой была доказана нетривиальная верхняя граница достижимой области. В конце концов он опубликовал четыре статьи по этой проблеме, последняя из которых — в 1976 году . Рот также добился значительного прогресса в области упаковки квадратов в квадрат . Если единичные квадраты упакованы в $s\times s$ квадрат очевидным способом, параллельным осям, то для значений $s$ которые чуть ниже целого числа, почти $2s$ территорию можно оставить незакрытой. После того, как Пол Эрдеш и Рональд Грэм доказали, что более умная наклонная упаковка может оставить значительно меньшую площадь, только $O(s^{7/11})$, Рот и Боб Воган ответили статьей 1978 года , доказывающей первую нетривиальную нижнюю оценку проблемы. Как они показали, для некоторых значений $s$, непокрытая площадь должна быть как минимум пропорциональна ${\sqrt {s}}$.

В 1966 году Хейни Хальберштам и Рот опубликовали свою книгу «Последовательности» , посвященную целочисленным последовательностям . Первоначально планировалось, что это будет первый из двухтомного набора, его темы включали плотности сумм последовательностей, границы количества представлений целых чисел в виде сумм членов последовательностей, плотность последовательностей, суммы которых представляют все целые числа, теорию сита и вероятностный метод и последовательности, в которых ни один элемент не кратен другому . Второе издание вышло в 1983 году.

Признание

Филдса Медаль

Рот получил медаль Филдса в 1958 году за работу по диофантовой аппроксимации. Он был первым медалистом Британских Филдсов. Он был избран членом Королевского общества в 1960 году, а позже стал почетным членом Королевского общества Эдинбурга , членом Университетского колледжа Лондона, членом Имперского колледжа Лондона и почетным членом Питерхауса. Его забавляло то, что медаль Филдса, избрание в Королевское общество и профессорское кресло достались ему в порядке, обратном их престижу.

Лондонское математическое общество вручило Роту медаль Де Моргана в 1983 году. В 1991 году Королевское общество наградило его медалью Сильвестра «за его большой вклад в теорию чисел и, в частности, за решение знаменитой проблемы, касающейся приближения алгебраических чисел рациональными числами».

В 2009 году в честь 80-летия Рота был опубликован сборник из 32 эссе на темы , связанные с исследованиями Рота. а в 2017 году редакция журнала «Математика» посвятила Роту специальный выпуск. После смерти Рота математический факультет Имперского колледжа учредил стипендию Рота в его честь.

Избранные публикации

Журнальные статьи

• Рот, К.Ф. (1949). «Доказательство того, что почти все положительные целые числа являются суммами квадрата, положительного куба и четвертой степени». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 24 : 4–13. дои : 10.1112/jlms/s1-24.1.4 . МР   0028336 . Збл   0032.01401 .
• Рот, К.Ф. (1951a). «О проблеме Гейльбронна». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 26 (3): 198–204. дои : 10.1112/jlms/s1-26.3.198 . МР   0041889 . Збл   0043.16303 .
• Рот, К.Ф. (1951b). «О промежутках между бесквадратными числами». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 26 (4): 263–268. дои : 10.1112/jlms/s1-26.4.263 . МР   0043119 . Збл   0043.04802 .
• Рот, К.Ф. (1953). «О некоторых множествах целых чисел». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 28 : 104–109. дои : 10.1112/jlms/s1-28.1.104 . МР   0051853 . Збл   0050.04002 .
• Рот, К.Ф. (1954). «О нарушениях распределения». Математика . 1 (2): 73–79. дои : 10.1112/S0025579300000541 . МР   0066435 . Збл   0057.28604 .
• Рот, К.Ф. (1955). «Рациональные приближения к алгебраическим числам». Математика . 2 : 1–20, 168. doi : 10.1112/S0025579300000644 . МР   0072182 . Збл   0064.28501 .
• Рот, К.Ф. (1965). «О больших решетах Линника и Реньи». Математика . 12 : 1–9. дои : 10.1112/S0025579300005088 . МР   0197424 . Збл   0137.25904 .
• Рот, К.Ф. (1976). «Развитие проблемы треугольника Гейльбронна» . Достижения в математике . 22 (3): 364–385. дои : 10.1016/0001-8708(76)90100-6 . МР   0429761 . Збл   0338.52005 .
• Рот, К.Ф.; Воган, RC (1978). «Неэффективность упаковки квадратов в единичные квадраты» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 24 (2): 170–186. дои : 10.1016/0097-3165(78)90005-5 . МР   0487806 . Збл   0373.05026 .

Книга

• Хальберштам, Хейни ; Рот, Клаус Фридрих (1966). Последовательности . Лондон: Кларендон Пресс. Второе издание было опубликовано в 1983 году издательством Springer-Verlag .