Последовательности (книга)
 Х. Хальберштам и К. Ф. Рот: Последовательности, 2-е изд., Springer, Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин, 1983. | |
| Автор | Х. Хальберштам и К. Ф. Рот |
|---|---|
| Издатель | Clarendon Press, 1-е издание; Спрингер, Нью-Йорк, 2-е издание. |
Опубликовано на английском языке | 1966 г., 1-е издание; 1983 г., 2-е издание. |
| ISBN | 9781461382294 2-е издание. |
| ОКЛК | 877577079 1-е издание; 7330436683 2-е издание. |
Sequences — математическая монография о целочисленных последовательностях . Он был написан Хейни Хальберштамом и Клаусом Ротом , опубликован в 1966 году издательством Clarendon Press и переиздан в 1983 году с небольшими исправлениями издательством Springer-Verlag . [1] [2] Хотя планировалось, что это будет часть двухтомного сборника, [3] [4] второй том так и не был опубликован.
Темы
[ редактировать ]В книге пять глав, [3] каждый в значительной степени автономен [4] [5] и свободно организованы вокруг различных методов, используемых для решения проблем в этой области, [4] с приложением, содержащим справочный материал по теории чисел, необходимый для чтения книги. [3] Вместо того, чтобы заниматься конкретными последовательностями, такими как простые числа или квадратные числа , его темой является математическая теория последовательностей в целом. [6] [7]
В первой главе рассматривается естественная плотность последовательностей и связанные с ней понятия, такие как плотность Шнирельмана . Он доказывает теоремы о плотности наборов сумм последовательностей, включая теорему Манна о том, что плотность Шнирельмана набора сумм является по крайней мере суммой плотностей Шнирельмана, и теорему Кнезера о структуре последовательностей, нижняя асимптотическая плотность которых субаддитивна. Он изучает эссенциальные компоненты , последовательности, которые при добавлении к другой последовательности плотности Шнирельмана от нуля до единицы увеличивают их плотность, доказывает, что аддитивные основания являются эссенциальными компонентами, и приводит примеры эссенциальных компонентов, не являющихся аддитивными основаниями. [3] [6] [7] [8]
Вторая глава посвящена количеству представлений целых чисел как сумм заданного количества элементов из заданной последовательности и включает теорему Эрдеша-Фукса, согласно которой это количество представлений не может быть близко к линейной функции . Третья глава продолжает исследование чисел представлений, используя вероятностный метод ; он включает в себя теорему о существовании аддитивного базиса второго порядка, число представлений которого логарифмически, позже усиленную до всех порядков в теореме Эрдеша – Тетали . [3] [6] [7] [8]
После главы о теории сита и большом сите (к сожалению, в ней отсутствуют важные события, произошедшие вскоре после публикации книги), [6] [7] последняя глава посвящена примитивным последовательностям целых чисел, последовательностям, подобным простым числам , в которых ни один элемент не делится на другой. Он включает в себя теорему Беренда о том, что такая последовательность должна иметь нулевую логарифмическую плотность, и кажущуюся противоречивой конструкцию Абрама Самойловича Безиковича примитивных последовательностей с естественной плотностью, близкой к 1/2. В нем также обсуждаются последовательности, которые содержат все целые кратные своих членов, теорема Давенпорта-Эрдеша, согласно которой нижняя натуральная и логарифмическая плотность существуют и равны для таких последовательностей, а также соответствующая конструкция Безиковича последовательности кратных, которая не имеет естественная плотность. [3] [6] [7]
Аудитория и прием
[ редактировать ]Эта книга предназначена для других математиков и студентов-математиков; он не подходит для широкой аудитории. [4] Однако рецензент Дж. У. С. Касселс предполагает, что он может быть доступен студентам с продвинутыми математическими знаниями. [6]
Рецензент Э.М. Райт отмечает «точную научность», «наиболее читабельное изложение» и «увлекательные темы». [5] Рецензент Марвин Кнопп описывает книгу как «мастерскую» и как первую книгу, в которой рассматривается аддитивная комбинаторика. [4] Точно так же, хотя Кассельс отмечает существование материала по аддитивной комбинаторике в книгах «Аддитивная залентеория» (Остманн, 1956) и «Теоремы сложения» (Манн, 1965), он называет это «первым связным описанием» этой области. [6] а рецензент Гарольд Старк отмечает, что большая часть материала, включенного в книгу, «уникальна в книжной форме». [7] Кнопп также хвалит книгу за то, что во многих случаях она исправляет ошибки или недостатки в первоисточниках, которые она исследует. [4] Рецензент Гарольд Старк пишет, что книга «должна стать стандартным справочником в этой области на долгие годы». [7]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Хальберштам, Х.; Рот, К.Ф. (1966). Последовательности . Оксфорд: Кларендон Пресс. OCLC 877577079 .
- ^ Хальберштам, Х.; Рот, К.Ф. (1983). Последовательности (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк. дои : 10.1007/978-1-4613-8227-0 . ISBN 9781461382294 . OCLC 7330436683 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж Кубилюс Дж. , «Обзор последовательностей », Математические обзоры , MR 0210679.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж Кнопп, Марвин И. (январь 1967 г.), «Вопросы и методы теории чисел», Science , 155 (3761): 442–443, Бибкод : 1967Sci...155..442H , doi : 10.1126/science.155.3761.442 , JSTOR 1720189 , S2CID 241017491
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Райт, Э.М. (1968), «Обзор последовательностей », Журнал Лондонского математического общества , s1-43 (1): 157, doi : 10.1112/jlms/s1-43.1.157a
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г Кассельс, JWS (февраль 1968 г.), «Обзор последовательностей », The Mathematical Gazette , 52 (379): 85–86, doi : 10.2307/3614509 , JSTOR 3614509 , S2CID 126260926
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г Старк, Х.М. (1971), «Обзор последовательностей » , Бюллетень Американского математического общества , 77 (6): 943–957, doi : 10.1090/s0002-9904-1971-12812-4
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Бриггс, М.Е., «Обзор последовательностей », zbMATH , Zbl 0141.04405.