Плотность Шнирельмана

В аддитивной теории чисел последовательности плотность Шнирельмана чисел — это способ измерить, насколько «плотной» является последовательность. Оно названо в честь русского математика Льва Шнирельмана , который первым его изучил.

Определение

Плотность Шнирельмана набора натуральных чисел A определяется как

$\sigma A=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}},$

где A ( n ) обозначает количество элементов A , не превышающих n , а inf — инфимум .

Плотность Шнирельмана четко определена, даже если предел A ( n )/ n при n → ∞ не существует (см. верхнюю и нижнюю асимптотическую плотность ).

Характеристики

По определению, 0 ⩽ A ( n ) ⩽ n и n σ A ⩽ A ( n ) для всех n , и, следовательно, 0 ⩽ σ A ⩽ 1 и σ A = 1 тогда и только тогда, когда A = N . Более того,

$\sigma A=0\Rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n.$

Чувствительность

Плотность Шнирельмана чувствительна к первым значениям набора:

$\forall k\ k\notin A\Rightarrow \sigma A\leq 1-1/k$.

В частности,

$1\notin A\Rightarrow \sigma A=0$

и

$2\notin A\Rightarrow \sigma A\leq {\frac {1}{2}}.$

Следовательно, плотности Шнирельмана четных и нечетных чисел, которые, как можно было ожидать, согласуются, равны 0 и 1/2 соответственно. Шнирельман и Юрий Линник воспользовались этой чувствительностью.

Теоремы Шнирельмана

Если мы установим ${\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }$, то теорему четырех квадратов Лагранжа можно переформулировать как $\sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=1$. (Здесь символ $A\oplus B$ обозначает сумму ​ $A\cup \{0\}$ и $B\cup \{0\}$.) Понятно, что $\sigma {\mathfrak {G}}^{2}=0$. На самом деле у нас еще есть $\sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=0$, и можно было бы задаться вопросом, в какой момент сумма достигает плотности Шнирельмана 1 и как она увеличивается. На самом деле это тот случай, что $\sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=5/6$ и мы видим эту совокупность ${\mathfrak {G}}^{2}$ еще раз дает более густонаселенный набор, а именно все $\mathbb {N}$. Шнирельману в дальнейшем удалось развить эти идеи в следующих теоремах, направленных на теорию аддитивных чисел и доказав, что они являются новым ресурсом (хотя и не очень мощным) для решения важных проблем, таких как проблема Уоринга и гипотеза Гольдбаха .

Теорема. Позволять $A$ и $B$ быть подмножествами $\mathbb {N}$. Затем

$\sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B.$

Обратите внимание, что $\sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B=1-(1-\sigma A)(1-\sigma B)$. Индуктивно мы имеем следующее обобщение.

Следствие. Позволять $A_{i}\subseteq \mathbb {N}$ быть конечным семейством подмножеств $\mathbb {N}$. Затем

$\sigma \left(\bigoplus _{i}A_{i}\right)\geq 1-\prod _{i}\left(1-\sigma A_{i}\right).$

Теорема дает первое представление о том, как накапливаются суммы. Кажется прискорбным, что его выводы не отражают $\sigma$ являющийся супераддитивным . Тем не менее, Шнирельман предоставил нам следующие результаты, которых хватило для большей части его целей.

Теорема. Позволять $A$ и $B$ быть подмножествами $\mathbb {N}$. Если $\sigma A+\sigma B\geq 1$, затем

$A\oplus B=\mathbb {N} .$

Теорема. ( Шнирельман ) Пусть $A\subseteq \mathbb {N}$. Если $\sigma A>0$ тогда существует $k$ такой, что

$\bigoplus _{i=1}^{k}A=\mathbb {N} .$

Аддитивные основы

Подмножество $A\subseteq \mathbb {N}$ с имуществом, которое $A\oplus A\oplus \cdots \oplus A=\mathbb {N}$ для конечной суммы называется аддитивным базисом , а наименьшее количество требуемых слагаемых называется степенью (иногда порядком ) базиса. Таким образом, последняя теорема утверждает, что любое множество с положительной плотностью Шнирельмана является аддитивным базисом. В этой терминологии множество квадратов ${\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }$ является аддитивным базисом степени 4. (Об открытой проблеме для аддитивных базисов см. гипотезу Эрдеша – Турана об аддитивных базисах .)

Теорема Манна

Исторически приведенные выше теоремы указывали на следующий результат, когда-то известный как $\alpha +\beta$ гипотеза. Его использовал Эдмунд Ландау и окончательно доказал Генри Манн в 1942 году.

Теорема. ( Манн 1942 ) Пусть $A$ и $B$ быть подмножествами $\mathbb {N}$. В случае, если $A\oplus B\neq \mathbb {N}$, у нас еще есть

$\sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B.$

Аналог этой теоремы для нижней асимптотической плотности был получен Кнезером. Позднее Э. Артин и П. Шерк упростили доказательство теоремы Манна.

Проблема Уоринга

Основная статья: Проблема Уоринга

Позволять $k$ и $N$ быть натуральными числами. Позволять ${\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }$. Определять $r_{N}^{k}(n)$ быть числом неотрицательных интегральных решений уравнения

$x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}=n$

и $R_{N}^{k}(n)$ — количество неотрицательных интегральных решений неравенства

$0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n,$

в переменных $x_{i}$, соответственно. Таким образом $R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)$. У нас есть

• $r_{N}^{k}(n)>0\leftrightarrow n\in N{\mathfrak {G}}^{k},$
• $R_{N}^{k}(n)\geq \left({\frac {n}{N}}\right)^{\frac {N}{k}}.$

Объем $N$-мерное тело, определяемое $0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n$, ограничен объемом гиперкуба размером $n^{1/k}$, следовательно $R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)\leq n^{N/k}$. Самое сложное — показать, что эта граница по-прежнему работает в среднем, т. е.

Лемма. ( Линник ) Для всех $k\in \mathbb {N}$ существует $N\in \mathbb {N}$ и константа $c=c(k)$, в зависимости только от $k$, такой, что для всех $n\in \mathbb {N}$,

$r_{N}^{k}(m)<cn^{{\frac {N}{k}}-1}$

для всех $0\leq m\leq n.$

Имея это под рукой, можно изящно доказать следующую теорему.

Теорема. Для всех $k$ существует $N$ для чего $\sigma (N{\mathfrak {G}}^{k})>0$.

Таким образом, мы установили общее решение проблемы Уоринга:

Следствие. ( Гильберт 1909 ) Для всех $k$ существует $N$, в зависимости только от $k$, такой, что каждое положительное целое число $n$ может быть выражено как сумма не более $N$ много $k$-ые полномочия.

постоянная Шнирельмана

В 1930 году Шнирельманн использовал эти идеи в сочетании с ситом Брюна , чтобы доказать теорему Шнирельмана : что любое натуральное число больше 1 можно записать как сумму не более чем C простых чисел , где C — эффективно вычислимая константа: Шнирельман получил C < 800000. Константа Шнирельмана — это наименьшее число C с этим свойством.

Оливье Рамаре показал ( Ramaré 1995 ), что константа Шнирельмана не превосходит 7, улучшение более ранней верхней границы 19, полученной Гансом Ризелем и Р. К. Воганом .

Константа Шнирельмана не менее 3; Гипотеза Гольдбаха подразумевает, что это фактическое значение константы.

В 2013 году Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу Гольдбаха для всех нечетных чисел. Следовательно, константа Шнирельмана не превосходит 4.

Основные компоненты

Хинчин доказал, что последовательность квадратов, хотя и с нулевой плотностью Шнирельмана, добавленная к последовательности с плотностью Шнирельмана от 0 до 1, увеличивает плотность:

$\sigma (A+{\mathfrak {G}}^{2})>\sigma (A){\text{ for }}0<\sigma (A)<1.$

Вскоре это было упрощено и расширено Эрдешем , который показал, что если A — любая последовательность с плотностью Шнирельмана α, а B — аддитивный базис порядка k , то

$\sigma (A+B)\geq \alpha +{\frac {\alpha (1-\alpha )}{2k}}\,,$

и это было улучшено Плюннеке до

$\sigma (A+B)\geq \alpha ^{1-{\frac {1}{k}}}\ .$

Последовательности с таким свойством, с увеличением плотности меньше единицы за счет присоединения, были названы эссенциальными компонентами Хинчиным . Линник показал, что существенный компонент не обязательно должен быть аддитивной основой. поскольку он построил существенный компонент, который имеет x ^о(1) элементы меньше x . Точнее, последовательность имеет

$e^{(\log x)^{c}}$

элементы меньше x для некоторого c <1. Это было улучшено Э. Вирсингом до

$e^{{\sqrt {\log x}}\log \log x}.$

Некоторое время оставался открытым вопрос о том, сколько элементов должен иметь важный компонент. Наконец, Ружа определил, что для каждого ε > 0 существует существенная компонента, имеющая не более c (log x ) ^{1+ е} элементы до x , но нет существенного компонента, который имеет c (log x ) ^{1+ о (1)} элементы до x .

Ссылки

• Гильберт, Дэвид (1909). «Доказательство представимости целых чисел фиксированным числом n-ных степеней (проблема Уоринга)» . Математические летописи . 67 (3): 281–300. дои : 10.1007/BF01450405 . ISSN   0025-5831 . МР1511530   . S2CID   179177986 .
• Шнирельманн, Л.Г. (1930). «Об аддитивных свойствах чисел». Энн. Инст. Политехн. Новочеркасск (на русском языке). 14 :3–28. ЖФМ   56.0892.02 .
• Шнирельманн, Л.Г. (1933). «Об аддитивных свойствах чисел». Математика Энн. (на немецком языке). 107 :649-690. дои : 10.1007/BF01448914 . S2CID   123067485 . Например,   0006.10402 .
• Манн, Генри Б. (1942). «Доказательство основной теоремы о плотности сумм множеств натуральных чисел». Анналы математики . Вторая серия. 43 (3): 523–527. дои : 10.2307/1968807 . ISSN   0003-486X . JSTOR   1968807 . МР   0006748 . Збл   0061.07406 .
• Гельфонд, АО ; Линник, Ю. В. (1966). Л. Дж. Морделл (ред.). Элементарные методы аналитической теории чисел . Джордж Аллен и Анвин.
• Манн, Генри Б. (1976). Теоремы сложения: Теоремы сложения теории групп и теории чисел (исправленное переиздание издания Wiley 1965 года). Хантингтон, Нью-Йорк: Издательство Роберта Э. Кригера. ISBN  978-0-88275-418-5 . МР   0424744 .
• Натансон, Мелвин Б. (1990). «Наилучшие результаты по плотности сумм». В Берндте, Брюс К .; Даймонд, Гарольд Г.; Хальберштам, Хейни ; и др. (ред.). Аналитическая теория чисел. Материалы конференции в честь Пола Т. Бейтмана, состоявшейся 25-27 апреля 1989 года в Университете Иллинойса, Урбана, Иллинойс (США) . Прогресс в математике. Том. 85. Бостон: Биркхойзер. стр. 395–403. ISBN  978-0-8176-3481-0 . Збл   0722.11007 .
• Рамаре, О. (1995). «О постоянной Шнирельмана» . Анналы Высшей нормальной школы Пизы. Научный класс. Серия IV . 22 (4): 645–706. Збл   0851.11057 . Проверено 28 марта 2011 г.
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы . Тексты для аспирантов по математике . Том. 164. Шпрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-94656-6 . Збл   0859.11002 .
• Натансон, Мелвин Б. (2000). Элементарные методы теории чисел . Тексты для аспирантов по математике. Том. 195. Шпрингер-Верлаг . стр. 359–367. ISBN  978-0-387-98912-9 . Збл   0953.11002 .
• Хинчин, А.Я. (1998). Три жемчужины теории чисел . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN  978-0-486-40026-6 . Имеет доказательство теоремы Манна и доказательство гипотезы Уоринга с помощью плотности Шнирельмана.
• Артин, Эмиль ; Шерк, Питер (1943). «О сумме двух наборов целых чисел». Анналы математики . 44 : 138–142. дои : 10.2307/1968760 . JSTOR   1968760 .
• Кожокару, Алина Кармен ; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 66. Издательство Кембриджского университета . стр. 100–105. ISBN  978-0-521-61275-3 .
• Ружа, Имре З. (2009). «Суммы и структура». В Герольдингере, Альфред; Ружа, Имре З. (ред.). Комбинаторная теория чисел и аддитивная теория групп . Курсы повышения квалификации по математике CRM в Барселоне. Эльшольц, К.; Фрейман, Г.; Хамидун, Йо; Хегивари, Н.; Каройи, Г.; Натансон, М.; Солимоси, Дж. ; Станческу, Ю. С предисловием Хавьера Силлеруэло, Марка Ноя и Ориола Серры (координаторов DocCourse). Базель: Биркхойзер. стр. 87 –210. ISBN  978-3-7643-8961-1 . Коллекция   1221.11026 .