Аддитивная теория чисел

Аддитивная теория чисел — это раздел теории чисел, изучающий подмножества целых чисел и их поведение при сложении . Более абстрактно, область аддитивной теории чисел включает изучение абелевых групп и коммутативных полугрупп с операцией сложения. Аддитивная теория чисел тесно связана с комбинаторной теорией чисел и геометрией чисел . Двумя основными объектами исследования являются сумма двух подмножеств A и B элементов абелевой группы G ,

$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\},$

и h-кратная сумма A ,

$hA={\underset {h}{\underbrace {A+\cdots +A} }}\,.$

чисел

Эта область в основном посвящена рассмотрению прямых задач над (обычно) целыми числами, то есть определению структуры hA из структуры A : например, определению того, какие элементы могут быть представлены в виде суммы из hA , где A - это фиксированное подмножество. Двумя классическими проблемами этого типа являются гипотеза Гольдбаха (которая представляет собой гипотезу о том, что 2 P содержит все четные числа, большие двух, где P — множество простых чисел ) и проблема Уоринга (которая спрашивает, насколько большим должно быть h, чтобы гарантировать, что hA _k содержит все положительные целые числа, где

$A_{k}=\{0^{k},1^{k},2^{k},3^{k},\ldots \}$

– набор k-х степеней). Многие из этих задач изучаются с использованием инструментов метода кругов Харди-Литтлвуда и ситовых методов . Например, Виноградов доказал, что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел, и поэтому каждое достаточно большое четное целое число является суммой четырех простых чисел. Гильберт доказал, что для любого целого числа k > 1 каждое неотрицательное целое число является суммой ограниченного числа k -х степеней. В общем, набор A целых неотрицательных чисел называется базисом порядка h, если hA содержит все положительные целые числа, и асимптотическим базисом, если hA содержит все достаточно большие целые числа. Многие современные исследования в этой области касаются свойств общих асимптотических базисов конечного порядка. Например, набор A называется минимальным асимптотическим базисом порядка h, если A является асимптотическим базисом порядка h, но ни одно собственное подмножество A не является асимптотическим базисом порядка h . Доказано, что минимальные асимптотические базы порядка h существуют для всех h , а также существуют асимптотические базы порядка h , не содержащие минимальных асимптотических баз порядка h . Другой вопрос, который следует рассмотреть, заключается в том, насколько малым может быть количество представлений n в виде суммы h элементов в асимптотическом базисе. В этом состоит содержание гипотезы Эрдеша-Турана об аддитивных базисах .

См. также

• Лемма Шепли – Фолкмана.
• Мультипликативная теория чисел

Ссылки

• Генри Манн (1976). Теоремы сложения: теоремы сложения теории групп и теории чисел (исправленное переиздание издания Wiley 1965 года). Хантингтон, Нью-Йорк: Издательство Роберта Э. Кригера. ISBN  0-88275-418-1 .
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы . Тексты для аспирантов по математике . Том. 164. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-94656-Х . Збл   0859.11002 .
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: обратные задачи и геометрия сумм . Тексты для аспирантов по математике . Том. 165. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-94655-1 . Збл   0859.11003 .
• Тао, Теренс ; Ву, Ван (2006). Аддитивная комбинаторика . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 105. Издательство Кембриджского университета .

Внешние ссылки

• «Аддитивная теория чисел» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Аддитивная теория чисел» . Математический мир .