Мультипликативная теория чисел
Мультипликативная теория чисел — это раздел аналитической теории чисел , который занимается простыми числами , а также факторизацией и делителями . Обычно основное внимание уделяется разработке приблизительных формул для подсчета этих объектов в различных контекстах. Теорема о простых числах является ключевым результатом в этом предмете. Классификация предметов математики для мультипликативной теории чисел - 11Nxx.
Область применения [ править ]
Мультипликативная теория чисел занимается главным образом асимптотическими оценками арифметических функций . Исторически в этом вопросе доминировала теорема о простых числах , сначала попытки доказать ее, а затем улучшения в термине ошибки. Задача о делителях Дирихле , которая оценивает средний порядок функции делителя d(n), и задача Гаусса о круге , которая оценивает средний порядок числа представлений числа в виде суммы двух квадратов, также являются классическими проблемами, и снова в центре внимания находится по улучшению оценок ошибок.
Распределение простых чисел между классами вычетов по целому модулю является областью активных исследований. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях показывает, что существует бесконечное число простых чисел в каждом взаимно-простом классе вычетов, а теорема о простых числах для арифметических прогрессий показывает, что простые числа асимптотически равномерно распределены между классами вычетов. Теорема Бомбьери-Виноградова дает более точную меру того, насколько равномерно они распределены. Большой интерес также представляет размер наименьшего простого числа в арифметической прогрессии; Теорема Линника дает оценку.
Гипотеза о простых числах-близнецах , а именно о том, что существует бесконечное число простых чисел p таких, что p +2 также является простым, является предметом активных исследований. Теорема Чена показывает, что существует бесконечное количество простых чисел p таких, что p +2 либо простое число, либо произведение двух простых чисел.
Методы [ править ]
Методы относятся преимущественно к аналитической теории чисел , но элементарные методы, особенно ситовые методы большое значение имеют и . Большое сито и экспоненциальные суммы обычно считаются частью мультипликативной теории чисел.
Распределение простых чисел тесно связано с поведением дзета-функции Римана и гипотезы Римана , и эти предметы изучаются как с точки зрения теории чисел , так и с точки зрения комплексного анализа .
Стандартные тексты [ править ]
Большая часть аналитической теории чисел посвящена мультипликативным проблемам, поэтому большинство ее текстов содержат разделы, посвященные мультипликативной теории чисел. Вот некоторые известные тексты, посвященные конкретно мультипликативным проблемам:
- Давенпорт, Гарольд (2000). Мультипликативная теория чисел (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-0-387-95097-6 .
- Монтгомери, Хью ; Роберт С. Воган (2005). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6 .