Равнораспределенная последовательность

В математике последовательность членов, попадающих в подинтервал , ( s1 _если , s2 _, , s3 _доля ,...) действительных чисел называется равнораспределенной или равномерно распределенной пропорциональна длине этого подинтервала. Такие последовательности изучаются в теории диофантовых приближений и имеют приложения к интегрированию Монте-Карло .

Определение

Последовательность ( s1 _[ , s2 _b , s3 _c ...) действительных чисел называется равнораспределенной на невырожденном интервале , a , ] , если для каждого подинтервала [ , d ]   из [ a , b ] у нас есть

$\lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}.$

(Здесь обозначение |{ s ₁ ,..., s _n } ∩ [ c , d   ]| обозначает количество элементов из первых n элементов последовательности, которые находятся между c и d .)

Например, если последовательность равномерно распределена в [0, 2], поскольку интервал [0,5, 0,9] занимает 1/5 длины интервала [0, 2], по мере того, как n становится большим, доля первых n члены последовательности, попадающие в диапазон от 0,5 до 0,9, должны приближаться к 1/5. Грубо говоря, можно сказать, что каждый член последовательности с равной вероятностью попадет в любое место своего диапазона. Однако это не означает, что ( s _n ) является последовательностью случайных величин ; скорее, это определенная последовательность действительных чисел.

Несоответствие

Определим невязку DN _, для последовательности ( s ₁ , s ₂ a s ₃ , ...) относительно интервала [ , b ] как

$D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {\frac {\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{N}\,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {d-c}{b-a}}\right\vert .$

Таким образом, последовательность является равнораспределенной, если невязка DN _N стремится к нулю, когда стремится к бесконечности.

Равнораспределение — довольно слабый критерий, позволяющий выразить тот факт, что последовательность заполняет сегмент, не оставляя пробелов. Например, рисунки случайной величины, однородные по сегменту, будут равномерно распределены в сегменте, но будут большие пробелы по сравнению с последовательностью, которая сначала перечисляет кратные ε в сегменте для некоторых малых ε соответствующим образом выбранным способом. , а затем продолжает делать это при все меньших и меньших значениях ε. Более строгие критерии и конструкции последовательностей, которые распределены более равномерно, см. в разделе «Последовательность с низким расхождением» .

Интегральный критерий Римана равнораспределения

Напомним, что если f — функция, имеющая интеграл Римана в интервале [ a , b ], то ее интеграл — это предел сумм Римана, взятых путем выборки функции f в наборе точек, выбранных из тонкого разбиения интервала. Следовательно, если некоторая последовательность равномерно распределена в [ a , b ], ожидается, что эту последовательность можно использовать для вычисления интеграла функции, интегрируемой по Риману. Это приводит к следующему критерию для равнораспределенной последовательности:

Предположим, ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) — последовательность, содержащаяся в интервале [ a , b ]. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. Последовательность равномерно распределена на [ a , b ].
2. Для каждой интегрируемой по Риману ( комплекснозначной ) функции f : [ a , b ] → $\mathbb {C}$, имеет место следующий предел:

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

showДоказательство

First note that the definition of an equidistributed sequence is equivalent to the integral criterion whenever f is the indicator function of an interval: If f = 1[c, d], then the left hand side is the proportion of points of the sequence falling in the interval [c, d], and the right hand side is exactly $\textstyle {\frac {d-c}{b-a}}.$ This means 2 ⇒ 1 (since indicator functions are Riemann-integrable), and 1 ⇒ 2 for f being an indicator function of an interval. It remains to assume that the integral criterion holds for indicator functions and prove that it holds for general Riemann-integrable functions as well. Note that both sides of the integral criterion equation are linear in f, and therefore the criterion holds for linear combinations of interval indicators, that is, step functions. To show it holds for f being a general Riemann-integrable function, first assume f is real-valued. Then by using Darboux's definition of the integral, we have for every ε > 0 two step functions f1 and f2 such that f1 ≤ f ≤ f2 and $\textstyle \int _{a}^{b}(f_{2}(x)-f_{1}(x))\,dx\leq \varepsilon (b-a).$ Notice that: ${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f_{1}(s_{n})\leq \liminf _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})$ ${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f_{2}(s_{n})\geq \limsup _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})$ By subtracting, we see that the limit superior and limit inferior of $\textstyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})$ differ by at most ε. Since ε is arbitrary, we have the existence of the limit, and by Darboux's definition of the integral, it is the correct limit. Finally, for complex-valued Riemann-integrable functions, the result follows again from linearity, and from the fact that every such function can be written as f = u + vi, where u, v are real-valued and Riemann-integrable. ∎

Этот критерий приводит к идее интегрирования Монте-Карло , где интегралы вычисляются путем выборки функции по последовательности случайных величин, равнораспределенных в интервале.

Невозможно обобщить интегральный критерий на класс функций, больший, чем просто интегрируемые по Риману. Например, если интеграл Лебега рассматривать и считать, что f находится в L ¹ , то этот критерий не выполняется. В качестве контрпримера возьмем f в качестве индикаторной функции некоторой равнораспределенной последовательности. Тогда в критерии левая часть всегда равна 1, тогда как правая часть равна нулю, поскольку последовательность счетна , поэтому f равно нулю почти везде .

Фактически, теорема де Брейна–Поста утверждает обратное вышеуказанному критерию: если f — функция такая, что указанный выше критерий выполняется для любой равнораспределенной последовательности в [ a , b ], то f интегрируема по Риману в [ a , b] ].

Равнораспределение по модулю 1

Последовательность ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) действительных чисел называется равнораспределенной по модулю 1 или равномерно распределенной по модулю 1, последовательность частей n дробных _если , обозначаемая ( an _{, ...} ) или a _n − ⌊ a _n ⌋, равнораспределено в интервале [0, 1].

Примеры

Иллюстрация заполнения единичного интервала ( ось x ) с использованием первых n членов последовательности Ван дер Корпута, для n от 0 до 999 ( ось y ). Градация цвета обусловлена ​​алиасингом.

• Теорема о равнораспределении : последовательность всех кратных иррационального α ,

0, а , 2 а , 3 а , 4 а , ...

равнораспределена по модулю 1.

• В более общем смысле, если p является полиномом по крайней мере с одним коэффициентом, отличным от постоянного иррационального члена, то последовательность p ( n ) равномерно распределена по модулю 1.

Это было доказано Вейлем и является применением разностной теоремы Ван дер Корпута.

• Последовательность log( n ) не распределена равномерно по модулю 1. Этот факт связан с законом Бенфорда .
• Последовательность всех кратных иррациональному α последовательных простых чисел ,

2а , 3а , 5а , 7а , 11а , ...

равнораспределена по модулю 1. Это знаменитая теорема аналитической теории чисел , опубликованная И. М. Виноградовым в 1948 году.

• Последовательность Ван дер Корпута равнораспределена.

критерий Вейля

Критерий Вейля утверждает, что последовательность a _n равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для всех ненулевых целых чисел ℓ

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}=0.$

Критерий назван в честь Германа Вейля и был впервые сформулирован . Это позволяет свести вопросы равнораспределения к оценкам экспоненциальных сумм , что является фундаментальным и общим методом.

showЭскиз доказательства

If the sequence is equidistributed modulo 1, then we can apply the Riemann integral criterion (described above) on the function $\textstyle f(x)=e^{2\pi i\ell x},$ which has integral zero on the interval [0, 1]. This gives Weyl's criterion immediately. Conversely, suppose Weyl's criterion holds. Then the Riemann integral criterion holds for functions f as above, and by linearity of the criterion, it holds for f being any trigonometric polynomial. By the Stone–Weierstrass theorem and an approximation argument, this extends to any continuous function f. Finally, let f be the indicator function of an interval. It is possible to bound f from above and below by two continuous functions on the interval, whose integrals differ by an arbitrary ε. By an argument similar to the proof of the Riemann integral criterion, it is possible to extend the result to any interval indicator function f, thereby proving equidistribution modulo 1 of the given sequence. ∎

Обобщения

• Количественная форма критерия Вейля дается неравенством Эрдеша-Турана .
• Критерий Вейля естественным образом распространяется на более высокие размерности , предполагая естественное обобщение определения равнораспределения по модулю 1:

Последовательность v _n векторов из R ^к равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для любого ненулевого вектора ℓ ∈ Z ^к ,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell \cdot v_{j}}=0.$

Пример использования

Критерий Вейля можно использовать для легкого доказательства теоремы о равнораспределении , утверждающей, что последовательность кратных 0, α , 2 α , 3 α , ... некоторого действительного числа α равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда α иррационально.

Предположим, что α иррационально, и обозначим нашу последовательность через a _j = jα (где j начинается с 0, чтобы позже упростить формулу). Пусть ℓ ≠ 0 — целое число. Поскольку α иррационально, ℓα никогда не может быть целым числом, поэтому ${\textstyle e^{2\pi i\ell \alpha }}$ никогда не может быть 1. Используя формулу суммы конечной геометрической прогрессии ,

$\left|\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell j\alpha }\right|=\left|\sum _{j=0}^{n-1}\left(e^{2\pi i\ell \alpha }\right)^{j}\right|=\left|{\frac {1-e^{2\pi i\ell n\alpha }}{1-e^{2\pi i\ell \alpha }}}\right|\leq {\frac {2}{\left|1-e^{2\pi i\ell \alpha }\right|}},$

конечная граница, не зависящая от n . Следовательно, после деления на n и стремления n к бесконечности левая часть стремится к нулю, и критерий Вейля удовлетворяется.

И наоборот, обратите внимание, что если α рационально , то эта последовательность не является равнораспределенной по модулю 1, поскольку существует только конечное число вариантов дробной части a _j = jα .

Полное равномерное распределение

Последовательность $(a_{1},a_{2},\dots )$ действительных чисел называется k-равномерно распределенной по модулю 1, если не только последовательность дробных частей $a_{n}':=a_{n}-[a_{n}]$ равномерно распределен в $[0,1]$ но и последовательность $(b_{1},b_{2},\dots )$, где $b_{n}$ определяется как $b_{n}:=(a'_{n+1},\dots ,a'_{n+k})\in [0,1]^{k}$, равномерно распределен в $[0,1]^{k}$.

Последовательность $(a_{1},a_{2},\dots )$ , что действительные числа полностью равномерно распределены по модулю 1. Говорят $k$-равномерно распределено для каждого натурального числа $k\geq 1$.

Например, последовательность $(\alpha ,2\alpha ,\dots )$ равномерно распределен по модулю 1 (или 1-равномерно) для любого иррационального числа $\alpha$, но никогда не распределяется даже 2-равномерно. Напротив, последовательность $(\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\dots )$ абсолютно равномерно распределена практически по всем $\alpha >1$ (т.е. для всех $\alpha$ кроме набора меры 0).

разностная теорема Ван дер Корпута

Теорема Йоханнеса ван дер Корпута. утверждает, что если для каждого h последовательность s _{n + h} − s _n равномерно распределена по модулю 1, то и s _n .

Множество Ван дер Корпута — это множество H целых чисел такое, что если для каждого h из H последовательность s _{n + h} − s _n равномерно распределена по модулю 1, то и s _n .

Метрические теоремы

Метрические теоремы описывают поведение параметризованной последовательности почти для всех значений некоторого параметра α : то есть для значений α, не лежащих в некотором исключительном множестве нулевой меры Лебега .

• Для любой последовательности различных целых чисел b _n последовательность ( b _n α ) равнораспределена по модулю 1 почти для всех значений α .
• Последовательность ( α ^н ) равнораспределено по модулю 1 почти для всех значений α > 1.

Неизвестно, будут ли последовательности ( e ^н) или ( π ^н) равнораспределены по модулю 1. Однако известно, что последовательность ( α ^н ) не является равнораспределенным по модулю 1, если α является числом PV .

Хорошо распределенная последовательность

Последовательность ( s1 _c , s2 _, , s3 _a ,...) действительных чисел называется хорошо распределенной на [ , b ] если для любого подинтервала [ b , d   ] из [ a , имеем ] мы

$\lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{k+1},\dots ,s_{k+n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}$

равномерно по k . Очевидно, что каждая хорошо распределенная последовательность распределена равномерно, но обратное неверно. Определение хорошо распределенного по модулю 1 аналогично.

Последовательности, равнораспределенные относительно произвольной меры

Для произвольного пространства вероятностной меры $(X,\mu )$, последовательность точек $(x_{n})$ говорят, что оно равнораспределено относительно $\mu$ если среднее точечных мер слабо сходится к $\mu$:

${\frac {\sum _{k=1}^{n}\delta _{x_{k}}}{n}}\Rightarrow \mu \ .$

В любой борелевской вероятностной мере на сепарабельном метризуемом пространстве существует равнораспределенная последовательность относительно меры; действительно, это непосредственно следует из того, что такое пространство является стандартным .

Общий феномен равнораспределения часто встречается в динамических системах, связанных с группами Ли , например, в решении Маргулисом гипотезы Оппенгейма .

См. также

• Теорема о равнораспределении
• Последовательность с низким расхождением
• Неравенство Эрдеша – Турана

Ссылки

• Койперс, Л.; Нидеррайтер, Х. (2006) [1974]. Равномерное распределение последовательностей . Дуврские публикации. ISBN  0-486-45019-8 .
• Койперс, Л.; Нидеррайтер, Х. (1974). Равномерное распределение последовательностей . John Wiley & Sons Inc. ISBN  0-471-51045-9 . Збл   0281.10001 .
• Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о стыке аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0737-4 . Збл   0814.11001 .

Дальнейшее чтение

• Гранвилл, Эндрю; Рудник, Зеев, ред. (2007). Равнораспределение в теории чисел, введение. Труды Института перспективных исследований НАТО по равнораспределению в теории чисел, Монреаль, Канада, 11–22 июля 2005 г. Серия НАТО по науке II: Математика, физика и химия. Том. 237. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN  978-1-4020-5403-7 . Збл   1121.11004 .
• Тао, Теренс (2012). Анализ Фурье высшего порядка . Аспирантура по математике . Том. 142. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8986-2 . Збл   1277.11010 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Равнораспределенная последовательность» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Критерий Вейля» . Математический мир .
• Критерий Вейля в PlanetMath .
• Конспекты лекций Чарльза Уокдена с доказательством критерия Вейля