Теорема о равнораспределении

Иллюстрация заполнения единичного интервала (горизонтальная ось) первыми n членами с использованием теоремы равнораспределения с четырьмя общими иррациональными числами для n от 0 до 999 (вертикальная ось). 113 различных полос для π обусловлены близостью его значения к рациональному числу 355/113. Точно так же семь различных групп возникают из-за того, что π составляет примерно 22/7.
(нажмите для подробного просмотра)

В математике теорема о равнораспределении — это утверждение о том, что последовательность

а , 2 а , 3 а , ... мод 1

распределен равномерно по окружности $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$, когда a — иррациональное число . Это частный случай эргодической теоремы , когда берется нормированная угловая мера. $\mu ={\frac {d\theta }{2\pi }}$.

История

Хотя эта теорема была доказана отдельно в 1909 и 1910 годах Германом Вейлем , Вацлавом Серпинским и Пирсом Болем , варианты этой теоремы продолжают изучаться и по сей день.

В 1916 году Вейль доказал, что последовательность a , 2 ² а , 3 ² a , ... mod 1 равномерно распределена на единичном интервале. В 1937 году Иван Виноградов доказал, что последовательность p _n a mod 1 распределена равномерно, где p _n -е — n простое число . Доказательство Виноградова было побочным продуктом нечетной гипотезы Гольдбаха о том, что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел.

Джордж Биркгоф в 1931 году и Александр Хинчин в 1933 году доказали, что обобщение x + na для почти всех x равнораспределено на любом измеримом по Лебегу подмножестве единичного интервала. Соответствующие обобщения результатов Вейля и Виноградова были доказаны Жаном Бургеном в 1988 году.

В частности, Хинчин показал, что тождество

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f((x+ka){\bmod {1}})=\int _{0}^{1}f(y)\,dy$

справедливо для почти всех x и любой интегрируемой по Лебегу функции ƒ. В современных формулировках задается вопрос, при каких условиях тождество

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f((x+b_{k}a){\bmod {1}})=\int _{0}^{1}f(y)\,dy$

может выполняться при наличии некоторой общей последовательности b _k .

Один примечательный результат состоит в том, что последовательность 2 ^к mod 1 равномерно распределен почти для всех, но не для всех, иррациональных a . Аналогично для последовательности b _k = 2 ^к a, для каждого иррационального a и почти всех x существует функция ƒ, для которой сумма расходится. В этом смысле эта последовательность считается универсально плохой усредняющей последовательностью , в отличие от b _k = k , которую называют универсально хорошей усредняющей последовательностью , поскольку она не имеет последнего недостатка.

Мощным общим результатом является критерий Вейля , который показывает, что равнораспределение эквивалентно наличию нетривиальной оценки экспоненциальных сумм, образованных с помощью последовательности в качестве показателей. Для случая кратных a критерий Вейля сводит задачу к суммированию конечных геометрических рядов .

См. также

• Диофантово приближение
• Последовательность с низким расхождением
• Аппроксимационная теорема Дирихле
• Теорема о трех пробелах

Ссылки

Исторические справки

• П. Бол, (1909) О проблеме, возникающей в теории вековых расстройств , J. pure Angew 135 , стр. 189–283.
• Вейль, Х. (1910). «О явлении Гиббса и связанных с ним явлениях конвергенции» . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 330 :377-407. дои : 10.1007/bf03014883 . S2CID   122545523 .
• В. Серпинский, (1910) Об асимптотическом значении некоторой суммы , Bull Intl. акад. Польская научная. и письма (Краков) серия А , с. 9–11.
• Вейль, Х. (1916). «О равномерном распределении чисел мод. Один» . Математика . 77 (3): 313–352. дои : 10.1007/BF01475864 . S2CID   123470919 .
• Биркгоф, Г.Д. (1931). «Доказательство эргодической теоремы» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 17 (12): 656–660. Бибкод : 1931PNAS...17..656B . дои : 10.1073/pnas.17.12.656 . ПМЦ   1076138 . ПМИД   16577406 .
• Я. Хинчин, А. (1933). «О решении Биркгофа эргодической задачи». Математика . 107 : 485-488. дои : 10.1007/BF01448905 . S2CID   122289068 .

Современные ссылки

• Джозеф М. Розенблатт и Мате Вейрдл, Поточечные эргодические теоремы посредством гармонического анализа , (1993), опубликованные в «Эргодической теории и ее связи с гармоническим анализом», Труды Александрийской конференции 1993 года , (1995) Карл Э. Петерсен и Ибрагим А. Салама, ред. . , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, ISBN   0-521-45999-0 . (Обширный обзор эргодических свойств обобщений теоремы о равнораспределении карт сдвига на единичном интервале . Основное внимание уделяется методам, разработанным Бургеном.)
• Элиас М. Штайн и Рами Шакарчи, Анализ Фурье. Введение , (2003) Princeton University Press, стр. 105–113 (Доказательство теоремы Вейля, основанное на анализе Фурье)