Почти все

В математике термин « почти все » означает «все, кроме незначительного количества». Точнее, если $X$ представляет собой множество , «почти все элементы $X$ «означает» все элементы $X$ но те, которые входят ничтожную подгруппу в $X$ «. Значение слова «незначительный» зависит от математического контекста; например, оно может означать «конечный» , «счетный» или «нулевой» .

Напротив, « почти нет » означает «незначительное количество»; то есть «почти нет элементов $X$ «означает «незначительное количество элементов $X$ ".

Значения в разных областях математики [ править ]

Распространенное значение [ править ]

В математике слово «почти все» иногда используется для обозначения «всех (элементов бесконечного множества ), за исключением конечного числа». ^[1]^[2] Такое использование встречается и в философии. ^[3] Точно так же «почти все» может означать «все (элементы несчетного множества ), кроме счетного числа». ^{[сек 1]}

Примеры:

Почти все положительные целые числа больше 10. ¹². ^[4]^: 293
Почти все простые числа нечетны (единственное исключение — 2). ^[5]
Почти все многогранники неправильные и (так как есть только девять исключений: пять платоновых тел четыре многогранника Кеплера-Пуансо ).
Если P — ненулевой полином , то P(x) ≠ 0 для почти всех x (если не для всех x ).

Значение в теории меры [ править ]

как Функция Кантора функция, имеющая почти всюду нулевую производную.

Говоря о вещественных числах , иногда «почти все» может означать «все вещественные числа, кроме нулевого множества ». ^[6]^[7]^{[сек 2]} Аналогично, если S — некоторый набор действительных чисел, «почти все числа в S » могут означать «все числа в S, за исключением тех, которые входят в нулевой набор». ^[8]Реальную линию можно рассматривать как одномерное евклидово пространство . В более общем случае n -мерного пространства (где n — целое положительное число) эти определения можно обобщить на «все точки, кроме тех, которые находятся в нулевом множестве». ^{[сек 3]} или «все точки в S, кроме тех, которые находятся в нулевом наборе» (на этот раз S — это набор точек в пространстве). ^[9] В более общем смысле слова «почти все» иногда используются в смысле « почти везде » в теории меры . ^[10]^[11]^{[сек 4]} или в близком смысле слова « почти наверняка » в теории вероятностей . ^[11]^{[сек 5]}

Примеры:

В пространстве меры , таком как действительная линия, счетные множества равны нулю. Множество рациональных чисел счетно, поэтому почти все действительные числа иррациональны. ^[12]
Первая статья Георга Кантора по теории множеств доказала, что множество алгебраических чисел также счетно, поэтому почти все действительные числа трансцендентны . ^[13]^{[сек 6]}
Почти все реалы в норме . ^[14]
также Множество Кантора равно нулю. Таким образом, в нем нет почти всех реалов, хотя он и несчетен. ^[6]
Производная функции Кантора равна 0 почти для всех чисел единичного интервала . ^[15] Это следует из предыдущего примера, поскольку функция Кантора локально постоянна и, следовательно, имеет производную 0 вне множества Кантора.

Значение в теории чисел [ править ]

В теории чисел «почти все положительные целые числа» могут означать «целые положительные числа в наборе, естественная плотность которых равна 1». То есть, если A — набор положительных целых чисел, и если доля положительных целых чисел в A ниже n (из всех положительных целых чисел ниже ) стремится к 1, когда n стремится к бесконечности, то почти все положительные целые числа находятся в A. n ^[16]^[17]^{[сек 7]}

В более общем смысле, пусть S будет бесконечным набором положительных целых чисел, таким как набор четных положительных чисел или набор простых чисел , если A является подмножеством S и если доля элементов S ниже n , которые находятся в A ( из всех элементов S ниже n ) стремится к 1, когда стремится к бесконечности, то можно сказать, что почти все элементы S находятся в A. n

Примеры:

Естественная плотность коконитных множеств натуральных чисел равна 1, поэтому каждое из них содержит почти все положительные целые числа.
Почти все положительные целые числа являются составными . ^{[сек 7]}^{[доказательство 1]}
Почти все четные положительные числа можно выразить в виде суммы двух простых чисел. ^[4]^: 489
Почти все простые числа изолированы . Более того, для каждого положительного целого числа $g$ почти все простые числа имеют пробелы между простыми числами более $g$ как слева, так и справа; нет другого простого числа $то есть между p - g$ и $p + g$ . ^[18]

Значение в теории графов [ править ]

В теории графов , если A представляет собой набор (конечных помеченных ) графов , можно сказать, что он содержит почти все графы, если доля графов с n вершинами, находящихся в A , стремится к 1, поскольку n стремится к бесконечности. ^[19] Однако иногда проще работать с вероятностями, ^[20]поэтому определение переформулируется следующим образом. Доля графов с n вершинами, находящихся в A, равна вероятности того, что случайный граф с n вершинами (выбранный с равномерным распределением ) находится в A , и выбор графа таким образом имеет тот же результат, что и создание графа путем переворачивания графа. монета за каждую пару вершин, чтобы решить, соединять ли их. ^[21] Следовательно, что эквивалентно предыдущему определению, множество A содержит почти все графы, если вероятность того, что граф, созданный подбрасыванием монеты с n вершинами, находится в A , стремится к 1, поскольку n стремится к бесконечности. ^[20]^[22] Иногда последнее определение модифицируется так, что граф выбирается случайно каким-либо другим способом , при котором не все графы с n вершинами имеют одинаковую вероятность. ^[21] и эти модифицированные определения не всегда эквивалентны основному.

Использование термина «почти все» в теории графов не является стандартным; термин « асимптотически почти наверняка ». Для этой концепции чаще используется ^[20]

Пример:

Почти все графики асимметричны . ^[19]
Почти все графы имеют диаметр 2. ^[23]

Значение в топологии [ править ]

В топологии ^[24] и особенно теория динамических систем ^[25]^[26]^[27] (в том числе приложения в экономике), ^[28]«почти все» точки топологического пространства могут означать «все точки пространства, за исключением тех, которые входят в скудное множество ». Некоторые используют более ограниченное определение, согласно которому подмножество содержит почти все точки пространства, только если оно содержит некоторое открытое плотное множество . ^[26]^[29]^[30]

Пример:

Для неприводимого алгебраического многообразия , свойства которые справедливы для почти всех точек многообразия, являются в точности общими свойствами . ^{[сек 8]} Это связано с тем, что в неприводимом алгебраическом многообразии, снабженном топологией Зарисского , все непустые открытые множества плотны.

Значение в алгебре [ править ]

В абстрактной алгебре и математической логике , если U является ультрафильтром на множестве X, «почти все элементы X » иногда означают «элементы некоторого элемента U » . ^[31]^[32]^[33]^[34] Для любого разделения X на на два непересекающихся множества одно из них обязательно будет содержать почти все элементы X. Можно думать, что элементы фильтра X содержат почти все элементы X , даже если это не ультрафильтр. ^[34]

Доказательства [ править ]

^ Теорема о простых числах показывает, что количество простых чисел, меньших или равных n , асимптотически равно n /ln( n ). Следовательно, доля простых чисел равна примерно ln( n )/ n , которая стремится к 0, когда n стремится к бесконечности , поэтому доля составных чисел, меньших или равных n , стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. ^[17]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Первоисточники [ править ]

^ Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (3 декабря 1996 г.). Целочисленные полиномы . Математические обзоры и монографии . Том. 48. Американское математическое общество . п. XIX. ISBN 978-0-8218-0388-2 . ISSN 0076-5376 .
^ Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (7 декабря 2010 г.) [Впервые опубликовано в 2000 г.]. «Глава 4: Что нового в целочисленных полиномах в подмножестве?». В Хазевинкеле, Михил (ред.). Ненётерова коммутативная теория колец . Математика и ее приложения. Том. 520. Спрингер . п. 85. дои : 10.1007/978-1-4757-3180-4 . ISBN 978-1-4419-4835-9 .
^ Герденфорс, Питер (22 августа 2005 г.). Динамика мысли . Синтезирующая библиотека. Том. 300. Спрингер . стр. 190–191. ISBN 978-1-4020-3398-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт ; Стюарт, Ян (18 июля 1996 г.). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-510519-3 .
^ Мовшовиц-хадар, Ница; Шрики, Атара (08 октября 2018 г.). Логика в стране чудес: введение в логику через чтение «Приключений Алисы в стране чудес» — пособие для учителя . Всемирная научная. п. 38. ISBN 978-981-320-864-3 . Это также можно выразить в утверждении: «Почти все простые числа нечетные».
^ Перейти обратно: ^а ^б Кореваар, Джейкоб (1 января 1968 г.). Математические методы: Линейная алгебра / Нормированные пространства / Распределения / Интегрирование . Том. 1. Нью-Йорк: Академик Пресс . стр. 359–360. ISBN 978-1-4832-2813-6 .
^ Натансон, Исидор П. (июнь 1961 г.). Теория функций действительного переменного . Том. 1. Перевод Борона Лео Ф. (переработанная ред.). Нью-Йорк: Издательство Фредерика Унгара . п. 90. ИСБН 978-0-8044-7020-9 .
^ Сохраб, Хоушанг Х. (15 ноября 2014 г.). Базовый реальный анализ (2-е изд.). Березовые домики . стр. 307. дои : 10.1007/978-1-4939-1841-6 . ISBN 978-1-4939-1841-6 .
^ Хельмберг, Гилберт (декабрь 1969 г.). Введение в спектральную теорию в гильбертовом пространстве . Серия Северной Голландии по прикладной математике и механике. Том. 6 (1-е изд.). Амстердам: Издательство Северной Голландии . п. 320. ИСБН 978-0-7204-2356-3 .
^ Веструп, Эрик М. (18 сентября 2003 г.). Теория меры и интегрирование . Ряд Уайли по вероятности и статистике. США: Wiley-Interscience . п. 182. ИСБН 978-0-471-24977-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Биллингсли, Патрик (1 мая 1995 г.). Вероятность и мера (PDF) . Серия Уайли по вероятности и статистике (3-е изд.). США: Wiley-Interscience . п. 60. ИСБН 978-0-471-00710-4 . Архивировано из оригинала (PDF) 23 мая 2018 года.
^ Нивен, Иван (1 июня 1956 г.). Иррациональные числа . Карус Математические монографии . Том. 11. Рэуэй: Математическая ассоциация Америки . стр. 100-1 2–5. ISBN 978-0-88385-011-4 .
^ Бейкер, Алан (1984). Краткое введение в теорию чисел . Издательство Кембриджского университета . п. 53 . ISBN 978-0-521-24383-4 .
^ Гранвилл, Эндрю ; Рудник, Зеев (7 января 2007 г.). Равнораспределение в теории чисел. Введение . Наука НАТО, серия II. Том. 237. Спрингер . п. 11. ISBN 978-1-4020-5404-4 .
^ Берк, Фрэнк (3 ноября 1997 г.). Мера Лебега и интегрирование: Введение . Серия текстов, монографий и трактатов Wiley-Interscience. США: Wiley-Interscience . п. 260. ИСБН 978-0-471-17978-8 .
^ Харди, GH (1940). Рамануджан: Двенадцать лекций на темы, предложенные его жизнью и творчеством . Издательство Кембриджского университета . п. 50.
^ Перейти обратно: ^а ^б Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (декабрь 1960 г.). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета . стр. 8–9. ISBN 978-0-19-853310-8 .
^ Прачар, Карл (1957). Распределение простых чисел . Основные учения математических наук (на немецком языке). Том 91. Берлин: Springer . п. 164. Цитируется в Гроссвальд, Эмиль (1 января 1984 г.). Темы из теории чисел (2-е изд.). Бостон: Биркхойзер . п. 30. ISBN 978-0-8176-3044-7 .
^ Jump up to: ^a ^b Babai, László (25 December 1995). "Automorphism Groups, Isomorphism, Reconstruction". In Graham, Ronald; Grötschel, Martin; Lovász, László (eds.). Handbook of Combinatorics. Vol. 2. Netherlands: North-Holland Publishing Company. p. 1462. ISBN 978-0-444-82351-9.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Спенсер, Джоэл (9 августа 2001 г.). Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. Том. 22. Спрингер . стр. 3–4. ISBN 978-3-540-41654-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Боллобас, Белла (8 октября 2001 г.). Случайные графики . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 73 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . стр. 100-1 34–36. ISBN 978-0-521-79722-1 .
^ Градел, Эрик; Колайтис, Фокион Г.; Либкин Леонид ; Маркс, Мартин; Спенсер, Джоэл ; Варди, Моисей Ю .; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (11 июня 2007 г.). Теория конечных моделей и ее приложения . Тексты по теоретической информатике ( серия EATCS ). Спрингер . п. 298. ИСБН 978-3-540-00428-8 .
^ Бакли, Фред; Харари, Фрэнк (21 января 1990 г.). Расстояние в графиках . Аддисон-Уэсли . п. 109. ИСБН 978-0-201-09591-3 .
^ Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория Тексты для выпускников по математике Том. 2 (2-е изд.). США: Спрингер . стр. 100-1 59, 68. ISBN 978-0-387-90508-2 . Хотя Окстоби не дает здесь явного определения этого термина, Бабай заимствовал его из « Меры и категории» в своей главе «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция» Грэма, Гретшеля и Ловаса «Справочника по комбинаторике» (том 2), а также Броера и Такенса. обратите внимание в своей книге «Динамические системы и хаос» , что « Мера и категория» сравнивают это значение слова «почти все» с теоретико-мерным значением в реальной линии (хотя в книге Окстоби также обсуждаются скудные множества в общих топологических пространствах).
^ Барашар, Лоран (1987). «Недавние и новые результаты в Rational L ² Приближение». В Curtain, Рут Ф. (ред.). Моделирование, устойчивость и снижение чувствительности в системах управления . Серия NATO ASI F. Том 34. Springer . стр. 123. doi : 10.1007/978-3-642-87516 -8 . 978-3-642-87516-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Броер, Хенк; Такенс, Флорис (28 октября 2010 г.). Динамические системы и хаос . Прикладные математические науки. Том. 172. Спрингер . п. 245. дои : 10.1007/978-1-4419-6870-8 . ISBN 978-1-4419-6870-8 .
^ Шарковский А.Н.; Коляда, СФ; Сивак, АГ; Федоренко В.В. (30 апреля 1997 г.). Динамика одномерных карт . Математика и ее приложения. Том. 407. Спрингер . п. 33. дои : 10.1007/978-94-015-8897-3 . ISBN 978-94-015-8897-3 .
^ Юань, Джордж Сянь-Чжи (9 февраля 1999 г.). Теория ККМ и ее приложения в нелинейном анализе . Чистая и прикладная математика; Серия монографий и учебников. Марсель Деккер . п. 21. ISBN 978-0-8247-0031-7 .
^ Альбертини, Франческа; Зонтаг, Эдуардо Д. (1 сентября 1991 г.). «Транзитивность и прямая доступность нелинейных систем с дискретным временем». В Боннаре, Бернар; Невеста, Бернар; Готье, Жан-Поль; Купка, Иван (ред.). Анализ управляемых динамических систем . Прогресс в теории систем и управления. Том. 8. Биркхойзер . п. 29. дои : 10.1007/978-1-4612-3214-8 . ISBN 978-1-4612-3214-8 .
^ Де ла Фуэнте, Анхель (28 января 2000 г.). Математические модели и методы для экономистов . Издательство Кембриджского университета . п. 217. ИСБН 978-0-521-58529-3 .
^ Комьят, Питер ; Тотик, Вилмос (2 мая 2006 г.). Проблемы и теоремы классической теории множеств . Задачи по математике. США: Спрингер . п. 75. ИСБН 978-0387-30293-5 .
^ Зальцманн, Гельмут; Грундхёфер, Тео; Хель, Герман; Лёвен, Райнер (24 сентября 2007 г.). Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 112. Издательство Кембриджского университета . п. 155 . ISBN 978-0-521-86516-6 .
^ Схоутенс, Ганс (2 августа 2010 г.). Использование ультрапроизведений в коммутативной алгебре . Конспект лекций по математике . Том. 1999. Спрингер . п. 8. дои : 10.1007/978-3-642-13368-8 . ISBN 978-3-642-13367-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Раутенберг, Вольфганг (17 декабря 2009 г.). Краткое изложение математической логики . Университетский текст (3-е изд.). Спрингер . стр. 210–212. дои : 10.1007/978-1-4419-1221-3 . ISBN 978-1-4419-1221-3 .

Вторичные источники [ править ]

^ Шварцман, Стивен (1 мая 1994 г.). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . Серия Спектр. Математическая ассоциация Америки . п. 22 . ISBN 978-0-88385-511-9 .
^ Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (7 июня 2009 г.). Краткий Оксфордский математический словарь . Оксфордские справочники в мягкой обложке (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 38. ISBN 978-0-19-923594-0 .
^ Джеймс, Роберт К. (31 июля 1992 г.). Математический словарь (5-е изд.). Чепмен и Холл . п. 269. ИСБН 978-0-412-99031-1 .
^ Битюцков, Вадим И. (30 ноября 1987 г.). "Почти везде" . В Хазевинкеле, Майкл (ред.). Энциклопедия математики Том. 1. Академическое издательство Клювер . п. 153. дои : 10.1007/978-94-015-1239-8 . ISBN 978-94-015-1239-8 .
^ Ито, Кийоси , изд. (4 июня 1993 г.). словарь Энциклопедический математический Том. 2 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press . п. 1267. ИСБН 978-0-262-09026-1 .
^ «Почти все действительные числа трансцендентны — ProofWiki» . prowiki.org . Проверено 11 ноября 2019 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Почти все» . Математический мир . Смотрите также Вайсштейн, Эрик В. (25 ноября 1988 г.). CRC Краткая математическая энциклопедия (1-е изд.). ЦРК Пресс . п. 41. ИСБН 978-0-8493-9640-3 .
^ Ито, Кийоси , изд. (4 июня 1993 г.). словарь Энциклопедический математический Том. 1 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press . п. 67. ИСБН 978-0-262-09026-1 .

[25] Теорема о простых числах показывает, что количество простых чисел, меньших или равных n , асимптотически равно n /ln( n ). Следовательно, доля простых чисел равна примерно ln( n )/ n , которая стремится к 0, когда n стремится к бесконечности , поэтому доля составных чисел, меньших или равных n , стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. ^[17]

[Cahen1-1] Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (3 декабря 1996 г.). Целочисленные полиномы . Математические обзоры и монографии . Том. 48. Американское математическое общество . п. XIX. ISBN 978-0-8218-0388-2 . ISSN 0076-5376 .

[Cahen2-2] Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (7 декабря 2010 г.) [Впервые опубликовано в 2000 г.]. «Глава 4: Что нового в целочисленных полиномах в подмножестве?». В Хазевинкеле, Михил (ред.). Ненётерова коммутативная теория колец . Математика и ее приложения. Том. 520. Спрингер . п. 85. дои : 10.1007/978-1-4757-3180-4 . ISBN 978-1-4419-4835-9 .

[Gardenfors-3] Герденфорс, Питер (22 августа 2005 г.). Динамика мысли . Синтезирующая библиотека. Том. 300. Спрингер . стр. 190–191. ISBN 978-1-4020-3398-8 .

[Courant-5] Перейти обратно: ^а ^б Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт ; Стюарт, Ян (18 июля 1996 г.). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-510519-3 .

[6] Мовшовиц-хадар, Ница; Шрики, Атара (08 октября 2018 г.). Логика в стране чудес: введение в логику через чтение «Приключений Алисы в стране чудес» — пособие для учителя . Всемирная научная. п. 38. ISBN 978-981-320-864-3 . Это также можно выразить в утверждении: «Почти все простые числа нечетные».

[Korevaar-7] Перейти обратно: ^а ^б Кореваар, Джейкоб (1 января 1968 г.). Математические методы: Линейная алгебра / Нормированные пространства / Распределения / Интегрирование . Том. 1. Нью-Йорк: Академик Пресс . стр. 359–360. ISBN 978-1-4832-2813-6 .

[Natanson-8] Натансон, Исидор П. (июнь 1961 г.). Теория функций действительного переменного . Том. 1. Перевод Борона Лео Ф. (переработанная ред.). Нью-Йорк: Издательство Фредерика Унгара . п. 90. ИСБН 978-0-8044-7020-9 .

[Sohrab-10] Сохраб, Хоушанг Х. (15 ноября 2014 г.). Базовый реальный анализ (2-е изд.). Березовые домики . стр. 307. дои : 10.1007/978-1-4939-1841-6 . ISBN 978-1-4939-1841-6 .

[Helmberg-12] Хельмберг, Гилберт (декабрь 1969 г.). Введение в спектральную теорию в гильбертовом пространстве . Серия Северной Голландии по прикладной математике и механике. Том. 6 (1-е изд.). Амстердам: Издательство Северной Голландии . п. 320. ИСБН 978-0-7204-2356-3 .

[Vestrup-13] Веструп, Эрик М. (18 сентября 2003 г.). Теория меры и интегрирование . Ряд Уайли по вероятности и статистике. США: Wiley-Interscience . п. 182. ИСБН 978-0-471-24977-1 .

[Billingsley-14] Перейти обратно: ^а ^б Биллингсли, Патрик (1 мая 1995 г.). Вероятность и мера (PDF) . Серия Уайли по вероятности и статистике (3-е изд.). США: Wiley-Interscience . п. 60. ИСБН 978-0-471-00710-4 . Архивировано из оригинала (PDF) 23 мая 2018 года.

[Niven-17] Нивен, Иван (1 июня 1956 г.). Иррациональные числа . Карус Математические монографии . Том. 11. Рэуэй: Математическая ассоциация Америки . стр. 100-1 2–5. ISBN 978-0-88385-011-4 .

[Baker-18] Бейкер, Алан (1984). Краткое введение в теорию чисел . Издательство Кембриджского университета . п. 53 . ISBN 978-0-521-24383-4 .

[Granville-20] Гранвилл, Эндрю ; Рудник, Зеев (7 января 2007 г.). Равнораспределение в теории чисел. Введение . Наука НАТО, серия II. Том. 237. Спрингер . п. 11. ISBN 978-1-4020-5404-4 .

[Burk-21] Берк, Фрэнк (3 ноября 1997 г.). Мера Лебега и интегрирование: Введение . Серия текстов, монографий и трактатов Wiley-Interscience. США: Wiley-Interscience . п. 260. ИСБН 978-0-471-17978-8 .

[Hardy1-22] Харди, GH (1940). Рамануджан: Двенадцать лекций на темы, предложенные его жизнью и творчеством . Издательство Кембриджского университета . п. 50.

[Hardy2-23] Перейти обратно: ^а ^б Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (декабрь 1960 г.). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета . стр. 8–9. ISBN 978-0-19-853310-8 .

[Prachar-26] Прачар, Карл (1957). Распределение простых чисел . Основные учения математических наук (на немецком языке). Том 91. Берлин: Springer . п. 164. Цитируется в Гроссвальд, Эмиль (1 января 1984 г.). Темы из теории чисел (2-е изд.). Бостон: Биркхойзер . п. 30. ISBN 978-0-8176-3044-7 .

[Babai-27] Jump up to: ^a ^b Babai, László (25 December 1995). "Automorphism Groups, Isomorphism, Reconstruction". In Graham, Ronald; Grötschel, Martin; Lovász, László (eds.). Handbook of Combinatorics. Vol. 2. Netherlands: North-Holland Publishing Company. p. 1462. ISBN 978-0-444-82351-9.

[Spencer-28] Перейти обратно: ^а ^б ^с Спенсер, Джоэл (9 августа 2001 г.). Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. Том. 22. Спрингер . стр. 3–4. ISBN 978-3-540-41654-8 .

[Bollobas-29] Перейти обратно: ^а ^б Боллобас, Белла (8 октября 2001 г.). Случайные графики . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 73 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . стр. 100-1 34–36. ISBN 978-0-521-79722-1 .

[Gradel-30] Градел, Эрик; Колайтис, Фокион Г.; Либкин Леонид ; Маркс, Мартин; Спенсер, Джоэл ; Варди, Моисей Ю .; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (11 июня 2007 г.). Теория конечных моделей и ее приложения . Тексты по теоретической информатике ( серия EATCS ). Спрингер . п. 298. ИСБН 978-3-540-00428-8 .

[Buckley-31] Бакли, Фред; Харари, Фрэнк (21 января 1990 г.). Расстояние в графиках . Аддисон-Уэсли . п. 109. ИСБН 978-0-201-09591-3 .

[Oxtoby-32] Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория Тексты для выпускников по математике Том. 2 (2-е изд.). США: Спрингер . стр. 100-1 59, 68. ISBN 978-0-387-90508-2 . Хотя Окстоби не дает здесь явного определения этого термина, Бабай заимствовал его из « Меры и категории» в своей главе «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция» Грэма, Гретшеля и Ловаса «Справочника по комбинаторике» (том 2), а также Броера и Такенса. обратите внимание в своей книге «Динамические системы и хаос» , что « Мера и категория» сравнивают это значение слова «почти все» с теоретико-мерным значением в реальной линии (хотя в книге Окстоби также обсуждаются скудные множества в общих топологических пространствах).

[Baratchart-33] Барашар, Лоран (1987). «Недавние и новые результаты в Rational L ² Приближение». В Curtain, Рут Ф. (ред.). Моделирование, устойчивость и снижение чувствительности в системах управления . Серия NATO ASI F. Том 34. Springer . стр. 123. doi : 10.1007/978-3-642-87516 -8 . 978-3-642-87516-8 .

[Broer-34] Перейти обратно: ^а ^б Броер, Хенк; Такенс, Флорис (28 октября 2010 г.). Динамические системы и хаос . Прикладные математические науки. Том. 172. Спрингер . п. 245. дои : 10.1007/978-1-4419-6870-8 . ISBN 978-1-4419-6870-8 .

[Sharkovsky-35] Шарковский А.Н.; Коляда, СФ; Сивак, АГ; Федоренко В.В. (30 апреля 1997 г.). Динамика одномерных карт . Математика и ее приложения. Том. 407. Спрингер . п. 33. дои : 10.1007/978-94-015-8897-3 . ISBN 978-94-015-8897-3 .

[Yuan-36] Юань, Джордж Сянь-Чжи (9 февраля 1999 г.). Теория ККМ и ее приложения в нелинейном анализе . Чистая и прикладная математика; Серия монографий и учебников. Марсель Деккер . п. 21. ISBN 978-0-8247-0031-7 .

[Albertini-37] Альбертини, Франческа; Зонтаг, Эдуардо Д. (1 сентября 1991 г.). «Транзитивность и прямая доступность нелинейных систем с дискретным временем». В Боннаре, Бернар; Невеста, Бернар; Готье, Жан-Поль; Купка, Иван (ред.). Анализ управляемых динамических систем . Прогресс в теории систем и управления. Том. 8. Биркхойзер . п. 29. дои : 10.1007/978-1-4612-3214-8 . ISBN 978-1-4612-3214-8 .

[Fuente-38] Де ла Фуэнте, Анхель (28 января 2000 г.). Математические модели и методы для экономистов . Издательство Кембриджского университета . п. 217. ИСБН 978-0-521-58529-3 .

[Komjath-40] Комьят, Питер ; Тотик, Вилмос (2 мая 2006 г.). Проблемы и теоремы классической теории множеств . Задачи по математике. США: Спрингер . п. 75. ИСБН 978-0387-30293-5 .

[Salzmann-41] Зальцманн, Гельмут; Грундхёфер, Тео; Хель, Герман; Лёвен, Райнер (24 сентября 2007 г.). Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 112. Издательство Кембриджского университета . п. 155 . ISBN 978-0-521-86516-6 .

[Schoutens-42] Схоутенс, Ганс (2 августа 2010 г.). Использование ультрапроизведений в коммутативной алгебре . Конспект лекций по математике . Том. 1999. Спрингер . п. 8. дои : 10.1007/978-3-642-13368-8 . ISBN 978-3-642-13367-1 .

[Rautenberg-43] Перейти обратно: ^а ^б Раутенберг, Вольфганг (17 декабря 2009 г.). Краткое изложение математической логики . Университетский текст (3-е изд.). Спрингер . стр. 210–212. дои : 10.1007/978-1-4419-1221-3 . ISBN 978-1-4419-1221-3 .

[Schwartzman-4] Шварцман, Стивен (1 мая 1994 г.). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . Серия Спектр. Математическая ассоциация Америки . п. 22 . ISBN 978-0-88385-511-9 .

[Clapham-9] Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (7 июня 2009 г.). Краткий Оксфордский математический словарь . Оксфордские справочники в мягкой обложке (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 38. ISBN 978-0-19-923594-0 .

[James-11] Джеймс, Роберт К. (31 июля 1992 г.). Математический словарь (5-е изд.). Чепмен и Холл . п. 269. ИСБН 978-0-412-99031-1 .

[Bityutskov-15] Битюцков, Вадим И. (30 ноября 1987 г.). "Почти везде" . В Хазевинкеле, Майкл (ред.). Энциклопедия математики Том. 1. Академическое издательство Клювер . п. 153. дои : 10.1007/978-94-015-1239-8 . ISBN 978-94-015-1239-8 .

[Ito2-16] Ито, Кийоси , изд. (4 июня 1993 г.). словарь Энциклопедический математический Том. 2 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press . п. 1267. ИСБН 978-0-262-09026-1 .

[RealTrans-19] «Почти все действительные числа трансцендентны — ProofWiki» . prowiki.org . Проверено 11 ноября 2019 г.

[Weisstein-24] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Почти все» . Математический мир . Смотрите также Вайсштейн, Эрик В. (25 ноября 1988 г.). CRC Краткая математическая энциклопедия (1-е изд.). ЦРК Пресс . п. 41. ИСБН 978-0-8493-9640-3 .

[Ito1-39] Ито, Кийоси , изд. (4 июня 1993 г.). словарь Энциклопедический математический Том. 1 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press . п. 67. ИСБН 978-0-262-09026-1 .

[1]

[2]

[3]

[сек 1]

[4]

[5]

[6]

[7]

[сек 2]

[8]

[сек 3]

[9]

[10]

[11]

[сек 4]

[сек 5]

[12]

[13]

[сек 6]

[14]

[15]

[16]

[17]

[сек 7]

[доказательство 1]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[сек 8]

[31]

[32]

[33]

[34]