✖


Jump to content

Почти все

В математике термин « почти все » означает «все, кроме незначительного количества». Точнее, если представляет собой множество , «почти все элементы «означает» все элементы но те, которые входят ничтожную подгруппу в «. Значение слова «незначительный» зависит от математического контекста; например, оно может означать «конечный» , «счетный» или «нулевой» .

Напротив, « почти нет » означает «незначительное количество»; то есть «почти нет элементов «означает «незначительное количество элементов ".

Значения в разных областях математики [ править ]

Распространенное значение [ править ]

Дополнительная информация: Набор Cofinite.

В математике слово «почти все» иногда используется для обозначения «всех (элементов бесконечного множества ), за исключением конечного числа». [1] [2] Такое использование встречается и в философии. [3] Точно так же «почти все» может означать «все (элементы несчетного множества ), кроме счетного числа». [сек 1]

Примеры:

Значение в теории меры [ править ]

Дополнительная информация: Почти везде.
как Функция Кантора функция, имеющая почти всюду нулевую производную.

Говоря о вещественных числах , иногда «почти все» может означать «все вещественные числа, кроме нулевого множества ». [6] [7] [сек 2] Аналогично, если S — некоторый набор действительных чисел, «почти все числа в S » могут означать «все числа в S, за исключением тех, которые входят в нулевой набор». [8] Реальную линию можно представить как одномерное евклидово пространство . В более общем случае n -мерного пространства (где n — целое положительное число) эти определения можно обобщить на «все точки, кроме тех, которые находятся в нулевом множестве». [сек 3] или «все точки в S, кроме тех, которые находятся в нулевом наборе» (на этот раз S — это набор точек в пространстве). [9] В более общем смысле слова «почти все» иногда используются в смысле « почти везде » в теории меры . [10] [11] [сек 4] или в близком смысле слова « почти наверняка » в теории вероятностей . [11] [сек 5]

Примеры:

Значение в теории чисел [ править ]

Дополнительная информация: Асимптотически почти наверняка.

В теории чисел «почти все положительные целые числа» могут означать «натуральные целые числа в наборе, естественная плотность которых равна 1». То есть, если A — набор положительных целых чисел, и если доля положительных целых чисел в A ниже n (из всех положительных целых чисел ниже n ) стремится к когда n стремится к бесконечности, то почти все положительные целые числа находятся в A. 1 , [16] [17] [сек 7]

В более общем смысле, пусть S будет бесконечным набором положительных целых чисел, таким как набор четных положительных чисел или набор простых чисел , если A является подмножеством S и если доля элементов S ниже n , которые находятся в A ( из всех элементов S ниже n ) стремится к 1, когда стремится к бесконечности, то можно сказать, что почти все элементы S находятся в A. n

Примеры:

  • Естественная плотность коконитных множеств натуральных чисел равна 1, поэтому каждое из них содержит почти все положительные целые числа.
  • Почти все положительные целые числа являются составными . [сек 7] [доказательство 1]
  • Почти все четные положительные числа можно выразить в виде суммы двух простых чисел. [4] : 489 
  • Почти все простые числа изолированы . Более того, для каждого положительного целого числа g почти все простые числа имеют пробелы между простыми числами более g как слева, так и справа; нет другого простого числа то есть между p − g и p + g . [18]

Значение в теории графов [ править ]

В теории графов , если A представляет собой набор (конечных помеченных ) графов , можно сказать, что он содержит почти все графы, если доля графов с n вершинами, находящихся в A, стремится к 1, поскольку n стремится к бесконечности. [19] Однако иногда проще работать с вероятностями, [20] поэтому определение переформулируется следующим образом. Доля графов с n вершинами, находящихся в A, равна вероятности того, что случайный граф с n вершинами (выбранный с равномерным распределением ) находится в A , и выбор графа таким образом имеет тот же результат, что и создание графа путем переворачивания графа. монета за каждую пару вершин, чтобы решить, соединять ли их. [21] Следовательно, что эквивалентно предыдущему определению, множество A содержит почти все графы, если вероятность того, что граф, созданный подбрасыванием монеты с n вершинами, находится в A, стремится к 1, поскольку n стремится к бесконечности. [20] [22] Иногда последнее определение модифицируется так, что граф выбирается случайным образом каким-либо другим способом , при котором не все графы с n вершинами имеют одинаковую вероятность. [21] и эти модифицированные определения не всегда эквивалентны основному.

Использование термина «почти все» в теории графов не является стандартным; термин « асимптотически почти наверняка ». Для этой концепции чаще используется [20]

Пример:

Значение в топологии [ править ]

В топологии [24] и особенно теория динамических систем [25] [26] [27] (в том числе приложения в экономике), [28] «почти все» точки топологического пространства могут означать «все точки пространства, за исключением тех, которые входят в скудное множество ». Некоторые используют более ограниченное определение, согласно которому подмножество содержит почти все точки пространства, только если оно содержит некоторое открытое плотное множество . [26] [29] [30]

Пример:

Значение в алгебре [ править ]

В абстрактной алгебре и математической логике , если U является ультрафильтром на множестве X, «почти все элементы X » иногда означают «элементы некоторого элемента U » . [31] [32] [33] [34] Для любого разделения X одно на два непересекающихся множества из них обязательно будет содержать почти все элементы X. Можно думать, что элементы фильтра на X содержат почти все элементы X , даже если это не ультрафильтр. [34]

Доказательства [ править ]

  1. ^ Теорема о простых числах показывает, что количество простых чисел, меньших или равных n, асимптотически равно n /ln( n ). Следовательно, доля простых чисел равна примерно ln( n )/ n , которая стремится к 0, когда n стремится к бесконечности , поэтому доля составных чисел, меньших или равных n, стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. [17]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Первоисточники [ править ]

  1. ^ Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (3 декабря 1996 г.). Целочисленные полиномы . Математические обзоры и монографии . Том. 48. Американское математическое общество . п. XIX. ISBN  978-0-8218-0388-2 . ISSN   0076-5376 .
  2. ^ Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (7 декабря 2010 г.) [Впервые опубликовано в 2000 г.]. «Глава 4: Что нового в целочисленных полиномах в подмножестве?». В Хазевинкеле, Михил (ред.). Ненётерова коммутативная теория колец . Математика и ее приложения. Том. 520. Спрингер . п. 85. дои : 10.1007/978-1-4757-3180-4 . ISBN  978-1-4419-4835-9 .
  3. ^ Герденфорс, Питер (22 августа 2005 г.). Динамика мысли . Синтезирующая библиотека. Том. 300. Спрингер . стр. 190–191. ISBN  978-1-4020-3398-8 .
  4. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт ; Стюарт, Ян (18 июля 1996 г.). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-510519-3 .
  5. ^ Мовшовиц-хадар, Ница; Шрики, Атара (08 октября 2018 г.). Логика в стране чудес: введение в логику через чтение «Приключений Алисы в стране чудес» — пособие для учителя . Всемирная научная. п. 38. ISBN  978-981-320-864-3 . Это также можно выразить в утверждении: «Почти все простые числа нечетные».
  6. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Кореваар, Джейкоб (1 января 1968 г.). Математические методы: Линейная алгебра/Нормированные пространства/Распределения/Интегрирование . Том. 1. Нью-Йорк: Академик Пресс . стр. 359–360. ISBN  978-1-4832-2813-6 .
  7. ^ Натансон, Исидор П. (июнь 1961 г.). Теория функций действительного переменного . Том. 1. Перевод Борона Лео Ф. (переработанная ред.). Нью-Йорк: Издательство Фредерика Унгара . п. 90. ИСБН  978-0-8044-7020-9 .
  8. ^ Сохраб, Хоушанг Х. (15 ноября 2014 г.). Базовый реальный анализ (2-е изд.). Биркхойзер . п. 307. дои : 10.1007/978-1-4939-1841-6 . ISBN  978-1-4939-1841-6 .
  9. ^ Хельмберг, Гилберт (декабрь 1969 г.). Введение в спектральную теорию в гильбертовом пространстве . Серия Северной Голландии по прикладной математике и механике. Том. 6 (1-е изд.). Амстердам: Издательская компания Северной Голландии . п. 320. ИСБН  978-0-7204-2356-3 .
  10. ^ Веструп, Эрик М. (18 сентября 2003 г.). Теория меры и интегрирование . Ряд Уайли по вероятности и статистике. США: Wiley-Interscience . п. 182. ИСБН  978-0-471-24977-1 .
  11. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Биллингсли, Патрик (1 мая 1995 г.). Вероятность и мера (PDF) . Серия Уайли по вероятности и статистике (3-е изд.). США: Wiley-Interscience . п. 60. ИСБН  978-0-471-00710-4 . Архивировано из оригинала (PDF) 23 мая 2018 года.
  12. ^ Нивен, Иван (1 июня 1956 г.). Иррациональные числа . Карус Математические монографии . Том. 11. Рэуэй: Математическая ассоциация Америки . стр. 2–5. ISBN  978-0-88385-011-4 .
  13. ^ Бейкер, Алан (1984). Краткое введение в теорию чисел . Издательство Кембриджского университета . п. 53 . ISBN  978-0-521-24383-4 .
  14. ^ Гранвилл, Эндрю ; Рудник, Зеев (7 января 2007 г.). Равнораспределение в теории чисел. Введение . Наука НАТО, серия II. Том. 237. Спрингер . п. 11. ISBN  978-1-4020-5404-4 .
  15. ^ Берк, Фрэнк (3 ноября 1997 г.). Мера Лебега и интегрирование: Введение . Серия текстов, монографий и трактатов Wiley-Interscience. США: Wiley-Interscience . п. 260. ИСБН  978-0-471-17978-8 .
  16. ^ Харди, GH (1940). Рамануджан: Двенадцать лекций на темы, предложенные его жизнью и творчеством . Издательство Кембриджского университета . п. 50.
  17. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (декабрь 1960 г.). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета . стр. 8–9. ISBN  978-0-19-853310-8 .
  18. ^ Прачар, Карл (1957). Распределение простых чисел . Основные учения математических наук (на немецком языке). Том 91. Берлин: Springer . п. 164. Цитируется в Гроссвальд, Эмиль (1 января 1984 г.). Темы из теории чисел (2-е изд.). Бостон: Биркхойзер . п. 30. ISBN  978-0-8176-3044-7 .
  19. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Бабай, Ласло (25 декабря 1995 г.). «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция». В Грэме, Рональде ; Гретшель, Мартин ; Ловас, Ласло (ред.). Справочник по комбинаторике . Том 2. Нидерланды: Издательство Северной Голландии . п. 1462. ИСБН  978-0-444-82351-9 .
  20. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Спенсер, Джоэл (9 августа 2001 г.). Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. Том. 22. Спрингер . стр. 3–4. ISBN  978-3-540-41654-8 .
  21. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Боллобас, Бела (8 октября 2001 г.). Случайные графики . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 73 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . стр. 34–36. ISBN  978-0-521-79722-1 .
  22. ^ Гредель, Эрик; Колайтис, Фокион Г.; Либкин Леонид ; Маркс, Мартен; Спенсер, Джоэл ; Варди, Моше Ю .; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (11 июня 2007 г.). Теория конечных моделей и ее приложения . Тексты по теоретической информатике ( серия EATCS ). Спрингер . п. 298. ИСБН  978-3-540-00428-8 .
  23. ^ Бакли, Фред; Харари, Фрэнк (21 января 1990 г.). Расстояние в графиках . Аддисон-Уэсли . п. 109. ИСБН  978-0-201-09591-3 .
  24. ^ Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория . Тексты для аспирантов по математике . Том. 2 (2-е изд.). США: Спрингер . стр. 59, 68. ISBN.  978-0-387-90508-2 . Хотя Окстоби не дает здесь явного определения этого термина, Бабай заимствовал его из «Меры и категорий» в своей главе «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция» Грэма, Гретшеля и Ловаса «Справочника по комбинаторике» (том 2), а также Броера и Такенса. обратите внимание в своей книге «Динамические системы и хаос» , что «Мера и категория» сравнивают это значение слова «почти все» с теоретико-мерным значением в реальной линии (хотя в книге Окстоби также обсуждаются скудные множества в общих топологических пространствах).
  25. ^ Барашар, Лоран (1987). «Недавние и новые результаты в Rational L 2 Приближение». В Curtain, Рут Ф. (ред.). Моделирование, устойчивость и снижение чувствительности в системах управления . Серия NATO ASI F. Том 34. Springer . стр. 123. doi : 10.1007/978-3-642-87516 -8 . ​  978-3-642-87516-8 .
  26. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Брат Хенк; Такенс, Флорис (28 октября 2010 г.). Динамические системы и хаос . Прикладные математические науки. Том. 172. Спрингер . п. 245. дои : 10.1007/978-1-4419-6870-8 . ISBN  978-1-4419-6870-8 .
  27. ^ Шарковский А.Н.; Коляда, Сан-Франциско; Сивак, АГ; Федоренко В.В. (30 апреля 1997 г.). Динамика одномерных карт . Математика и ее приложения. Том. 407. Спрингер . п. 33. дои : 10.1007/978-94-015-8897-3 . ISBN  978-94-015-8897-3 .
  28. ^ Юань, Джордж Сянь-Чжи (9 февраля 1999 г.). Теория ККМ и ее приложения в нелинейном анализе . Чистая и прикладная математика; Серия монографий и учебников. Марсель Деккер . п. 21. ISBN  978-0-8247-0031-7 .
  29. ^ Альбертини, Франческа; Зонтаг, Эдуардо Д. (1 сентября 1991 г.). «Транзитивность и прямая доступность нелинейных систем с дискретным временем». В Боннаре, Бернар; Невеста, Бернар; Готье, Жан-Поль; Купка, Иван (ред.). Анализ управляемых динамических систем . Прогресс в теории систем и управления. Том. 8. Биркхойзер . п. 29. дои : 10.1007/978-1-4612-3214-8 . ISBN  978-1-4612-3214-8 .
  30. ^ Де ла Фуэнте, Анхель (28 января 2000 г.). Математические модели и методы для экономистов . Издательство Кембриджского университета . п. 217. ИСБН  978-0-521-58529-3 .
  31. ^ Комьят, Питер ; Тотик, Вилмос (2 мая 2006 г.). Проблемы и теоремы классической теории множеств . Задачи по математике. США: Спрингер . п. 75. ИСБН  978-0387-30293-5 .
  32. ^ Зальцманн, Гельмут; Грундхёфер, Тео; Хель, Герман; Лёвен, Райнер (24 сентября 2007 г.). Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 112. Издательство Кембриджского университета . п. 155 . ISBN  978-0-521-86516-6 .
  33. ^ Схоутенс, Ганс (2 августа 2010 г.). Использование ультрапроизведений в коммутативной алгебре . Конспект лекций по математике . Том. 1999. Спрингер . п. 8. дои : 10.1007/978-3-642-13368-8 . ISBN  978-3-642-13367-1 .
  34. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Раутенберг, Вольфганг (17 декабря 2009 г.). Краткое изложение математической логики . Университетский текст (3-е изд.). Спрингер . стр. 210–212. дои : 10.1007/978-1-4419-1221-3 . ISBN  978-1-4419-1221-3 .

Вторичные источники [ править ]

  1. ^ Шварцман, Стивен (1 мая 1994 г.). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . Серия Спектр. Математическая ассоциация Америки . п. 22 . ISBN  978-0-88385-511-9 .
  2. ^ Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (7 июня 2009 г.). Краткий Оксфордский математический словарь . Оксфордские справочники в мягкой обложке (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 38. ISBN  978-0-19-923594-0 .
  3. ^ Джеймс, Роберт К. (31 июля 1992 г.). Математический словарь (5-е изд.). Чепмен и Холл . п. 269. ИСБН  978-0-412-99031-1 .
  4. ^ Битюцков, Вадим И. (30 ноября 1987 г.). «Почти везде» . В Хазевинкеле, Михил (ред.). Энциклопедия математики . Том. 1. Академическое издательство Клювер . п. 153. дои : 10.1007/978-94-015-1239-8 . ISBN  978-94-015-1239-8 .
  5. ^ Ито, Кийоси , изд. (4 июня 1993 г.). Энциклопедический словарь математики . Том. 2 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press . п. 1267. ИСБН  978-0-262-09026-1 .
  6. ^ «Почти все действительные числа трансцендентны — ProofWiki» . prowiki.org . Проверено 11 ноября 2019 г.
  7. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Вайсштейн, Эрик В. «Почти все» . Математический мир . См. также Вайсштейн, Эрик В. (25 ноября 1988 г.). CRC Краткая математическая энциклопедия (1-е изд.). ЦРК Пресс . п. 41. ИСБН  978-0-8493-9640-3 .
  8. ^ Ито, Кийоси , изд. (4 июня 1993 г.). Энциклопедический словарь математики . Том. 1 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press . п. 67. ИСБН  978-0-262-09026-1 .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Almost_all&oldid=1219637243"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 4de16fa7405faf3ff6f627e7eee5e8a2__1713472500
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/4d/a2/4de16fa7405faf3ff6f627e7eee5e8a2.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Almost all - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)