Незначительный набор

В математике называется пренебрежимо малым множеством множество , достаточно маленькое, чтобы его можно было игнорировать для какой-то цели. В качестве распространенных примеров: конечные множества можно игнорировать при изучении предела последовательности , а нулевые множества можно игнорировать при изучении интеграла измеримой функции .

Незначительные множества определяют несколько полезных концепций, которые можно применять в различных ситуациях, например, истина почти везде . Для того, чтобы они работали, обычно необходимо только, чтобы пренебрежимо малые множества образовывали идеал ; то есть пустое множество будет пренебрежимо малым, объединение двух пренебрежимо малых множеств будет пренебрежимо малым и любое подмножество пренебрежимо малого множества будет пренебрежимо малым. Для некоторых целей нам также нужно, чтобы этот идеал был сигма-идеалом , чтобы счетные объединения пренебрежимо малых множеств также были пренебрежимо малы. Если I и J оба являются идеалами подмножеств одного и того же множества X , то можно говорить об I -пренебрежимых и J -пренебрежимых подмножествах.

Противоположностью пренебрежимо малого множества является родовое свойство , имеющее различные формы.

Примеры

Пусть X — множество N натуральных чисел , и пусть подмножество N пренебрежимо мало, если оно конечно . Тогда пренебрежимо малые множества образуют идеал. Эту идею можно применить к любому бесконечному множеству ; но если применить его к конечному множеству, каждое подмножество будет незначительным, а это не очень полезное понятие.

Или пусть X — несчетное множество , и пусть подмножество X пренебрежимо мало, если оно счетно . Тогда пренебрежимо малые множества образуют сигма-идеал.

Пусть X — измеримое пространство , снабженное мерой m, и пусть подмножество X пренебрежимо мало, если оно m - null . Тогда пренебрежимо малые множества образуют сигма-идеал. Любой сигма-идеал на X можно восстановить таким образом, поместив на X подходящую меру , хотя эта мера может оказаться весьма патологической.

Пусть X — множество R действительных чисел , и пусть подмножество A из R пренебрежимо мало, если для каждого ε > 0 существует конечный или счетный набор I ₁ , I ₂ , … интервалов (возможно, перекрывающихся), удовлетворяющих:

$A\subset \bigcup _{k}I_{k}$

и

$\sum _{k}|I_{k}|<\epsilon .$

Это частный случай предыдущего примера с использованием меры Лебега , но описанный элементарно.

Пусть X — топологическое пространство , и пусть подмножество пренебрежимо мало, если оно относится к первой категории , то есть если оно представляет собой счетное объединение нигде не плотных множеств (где множество нигде не плотно, если оно не плотно ни в одном открытом пространстве) . набор ). Тогда пренебрежимо малые множества образуют сигма-идеал.

Пусть X — ориентированное множество подмножество , и пусть его пренебрежимо мало, если оно имеет верхнюю границу . Тогда пренебрежимо малые множества образуют идеал. Первый пример является частным случаем использования обычного N. порядка

В грубой структуре управляемые множества незначительны.

Производные понятия

Пусть X — множество , пусть — идеал пренебрежимо малых подмножеств X. и I Если p — утверждение об элементах X , то p истинно почти всюду, если множество точек, в которых p истинно, является дополнением незначительного множества. То есть p не всегда может быть истинным, но оно так редко бывает ложным, что для наших целей этим можно пренебречь.

Если f и g — функции из X в одно и то же пространство Y , то f и g эквивалентны , если они равны почти всюду. Чтобы сделать вводный абзац более точным, пусть X будет N и пусть пренебрежимо малыми множествами будут конечные множества. Тогда f и g — последовательности. Если Y — топологическое пространство , то f и g имеют одинаковый предел или оба не имеют его. (Когда вы обобщите это на ориентированные множества, вы получите тот же результат, но для сетей .) Или пусть X — пространство с мерой, а пренебрежимо малые множества — это нулевые множества. Если Y — действительная линия R , то либо f и g имеют одинаковый интеграл, либо ни один из интегралов не определен.

См. также

• Незначительная функция
• Родовое свойство