Сигма-идеал

В математике , особенно в теории меры , 𝜎-идеал или сигма-идеал σ -алгебры (𝜎, читайте «сигма») представляет собой подмножество с определенными желаемыми свойствами замыкания . Это особый тип идеала . Его наиболее частое применение находится в теории вероятностей .

Позволять $(X,\Sigma )$ быть измеримым пространством (то есть $\Sigma$ является 𝜎-алгеброй подмножеств $X$). Подмножество $N$ из $\Sigma$ является 𝜎-идеалом, если выполняются следующие свойства:

1. $\varnothing \in N$;
2. Когда $A\in N$ и $B\in \Sigma$ затем $B\subseteq A$ подразумевает $B\in N$;
3. Если $\left\{A_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq N$ затем ${\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in N.}$

Короче говоря, сигма-идеал должен содержать пустое множество, а также подмножества и счетные объединения его элементов. Понятие 𝜎-идеала двойственно понятию счётно полного (𝜎-) фильтра .

Если мера $\mu$ дается на $(X,\Sigma ),$ набор $\mu$- пренебрежимо малые множества ( $S\in \Sigma$ такой, что $\mu (S)=0$) является 𝜎-идеалом.

Это понятие можно обобщить на предзаказы. $(P,\leq ,0)$ с нижним элементом $0$ следующее: $I$ является 𝜎-идеалом $P$ как раз тогда, когда

(я') $0\in I,$

(ii') $x\leq y{\text{ and }}y\in I$ подразумевает $x\in I,$ и

(iii') задана последовательность $x_{1},x_{2},\ldots \in I,$ существует какой-то $y\in I$ такой, что $x_{n}\leq y$ для каждого $n.$

Таким образом $I$ содержит нижний элемент, замкнут вниз и удовлетворяет счетному аналогу свойства быть направленным вверх .

𝜎 -идеал множества $X$ является 𝜎-идеалом степенного множества $X.$ То есть, когда 𝜎-алгебра не указана, просто берется полный набор степеней базового набора. Например, скудными подмножествами топологического пространства являются те, которые находятся в 𝜎-идеале, порожденном совокупностью замкнутых подмножеств с пустой внутренней частью.

См. также

• δ -кольцо - Кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений.
• Поле множеств - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Соединение (сигма-алгебра) – алгебраическая структура алгебры множеств. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• 𝜆-система (система Дынкина) - семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений.
• Измеримая функция - функция, для которой прообраз измеримого множества измерим.
• π -система - семейство множеств, замкнутых при пересечении.
• Кольцо множеств - Семья, замкнутая союзами и относительными дополнениями.
• Пространство выборки - набор всех возможных исходов или результатов статистического испытания или эксперимента.
• 𝜎-алгебра - алгебраическая структура алгебры множеств.
• 𝜎-кольцо – кольцо, замкнутое счетными объединениями.
• Сигма-аддитивность — функция сопоставления. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Ссылки

• Бауэр, Хайнц (2001): Теория меры и интеграции . Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Берлин, Германия.